人教版高中数学选修2-1知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.3 简单的逻辑联结词高二数学（理）

知识
一、逻辑联结词“且”
1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作p且q.
2．关于逻辑联结词“且”
（1）“且”的含义与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须__________成立．
（2）从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2__________时，灯才能亮；当两个开关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．
（3）从集合角度理解“且”即集合运算“__________”．
设命题p：，命题q：，
则且．
（4）“”是这样的一个复合命题：当p、q都是真命题时，是__________命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，是__________命题．
二、逻辑联结词“或”
1．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作p或q.
2．关于逻辑联结词“或”
（1）“或”的含义和日常语言中的“或者”相当．是“要么……要么……”的意义，二者中有__________成立即可．
（2）从并联开关电路上看，当两个开关S1、S2至少有一个闭合时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2__________时，灯才不会亮．
（3）从集合角度理解“或”即集合运算“__________”．
设命题p：，命题q：，
则或．
（4）当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，是__________命题；当p、q两个命题都是假命题时，是__________命题．
注意：逻辑联结词中的“或”与生活用语中的“或”含义不同，生活用语中的“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”.
三、逻辑联结词“非”
1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作__________，读作__________或__________．
2．若p是真命题，则?p是__________命题，若p是假命题，则?p是__________命题．
含有逻辑联结词的命题的真假判断如表：
或
且
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
3．根据“且”、“或”的含义，“p∧q”的否定为“__________”，“p∨q”的否定为“__________”．
命题的否定与否命题
命题的否定一般是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定后组成的命题.
知识参考答案：
一、1． 2．（1）同时 （2）都闭合 （3）交 （4）真 假
二、1． 2．（1）一个 （2）都断开 （3）并 （4）真 假
三、1． 非 的否定 2．假 真 3．
重点
重点
了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义
难点
掌握的真假性的判断，关键在于与的真假的判断
易错
易混淆否命题与命题的否定
1．含有逻辑联结词的命题的构成形式
找出命题中的逻辑联结词→判断命题的形式→确定命题的构成.
用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题与得到，时，一般情况下要直接联结两个命题，当的条件或结论相同时，在不改变命题真假的前提下，可以省略一个条件或结论.
【例1】对下列各组命题，分别利用逻辑联结词“且”“或”构造新命题:
（1）p:能被5整除的整数的末位数字一定是5，q:能被5整除的整数的末位数字一定是0;
（2）p:2=2，q:2<2.

2．判断含有逻辑联结词“且”、“或”的命题的真假
（1）判断“”、“”形式复合命题真假的步骤：
第一步，确定复合命题的构成形式；
第二步，判断简单命题p、q的真假；
第三步，根据真值表作出判断．
注意：一真“或”为真，一假“且”为假．
（2）不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式．
（3）当为真，p与q一真一假；为假时，p与q至少有一个为假.
【例2】对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断它们的真假：
（1）12是3的倍数，12是4的倍数；
（2）,；
（3），则，，则．
【解析】（1） ：“12是3的倍数且是4的倍数”，是真命题.
（2）:“大于3且小于2”，是假命题.
（3）：“，则，且，则”，是假命题．
【易错点睛】（3）中写形式的命题时，有的同学会误写为“且，则”.注意：两个命题的条件不同，结论相同时，不能用“且”联结两个条件.事实上，上述命题是真命题，这与用逻辑联结词联结后的命题的真假性（假命题）不符合.
【例3】对下列各组命题，利用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假：
（1）正数的平方大于0，负数的平方大于0；
（2）3>4，3<4；
（3）方程的根是，方程的根是.
【易错点睛】（3）中形式的命题不能写为“方程的根是或”，显然p，q均为假命题，也应为假命题，而上述命题是真命题.
【例4】判断下列命题的真假：
（1）正方形的对角线互相平分且互相垂直;
（2）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形;
（3）A?A∪B．
【解析】（1）这个命题是“p∧q”形式的命题,其中p:正方形的对角线互相平分,q:正方形的对角线互相垂直.
∵p真,q真,∴“p∧q”为真,∴原命题为真.
（2）这个命题是“p∨q”形式的命题,其中p:有一个内角为60°的三角形是正三角形,q:有一个内角为60°的三角形是直角三角形.∵p假,q假,∴“p∨q”为假,∴原命题为假.
（3）这个命题是“?p”的形式,其中p:A?A∪B．
∵p真,∴“?p”为假,∴原命题为假.
【解题技巧】1．辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．
2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．
3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．
如a≥3是a>3或a＝3；xy＝0是x＝0或y＝0；x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.
3．命题的否定
由命题p写?p时，只否定其结论. 在区分命题的否定和否命题时，需分清题设和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定结论．
【例5】写出下列命题的否定,并判断真假.
（1）p:是奇函数;
（2）q:0.5是整数;
（3）m:2,3都是8的约数;
（4）一元二次方程至多有两个解.

4．求解含逻辑联结词命题中的参数
命题“p或q”是真命题,意味着“p真”“q真”中至少有一个成立,即“p真”或“q真”,此时用逻辑联结词“或”的含义来理解“为什么只求出‘p真’‘q真’时各自对应的参数范围，最后取并集”就易懂了.
这样做避免了将“p真”“q真”中至少有一个成立,分解成“p真q假”“p假q真”“p真q真”三种情况，再分别求解参数范围的繁琐过程.
【例6】已知命题函数在区间上是减函数；命题关于的不等式无解.如果“”为假，“”为真，求的取值范围.
【解析】若为真，则对称轴，即；
若为真，则，即，解得.
因为“”为假，“”为真，所以一真一假.
若真假，则，得或；
若真假，则，得.
综上，或，即的取值范围是.
【名师点睛】由简单命题和逻辑联结词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假，若p且q真，则p真，q真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．
5．混淆命题的否定与否命题
【例7】已知 ，，则?p是?q的什么条件．
【错解】∵p：|5x－2|>3，∴?p：|5x－2|≤3，
∴，即，
又∵q：，∴，
∴，即，
∴?p?q且?q?p，
故?p是?q的既不充分也不必要条件．
【错因分析】将命题q：的否定形式错误地认为：，∴导致错误．
【正解】∵，∴或，
∴或，∴：.
∵ ，∴，∴或，
∴，∴，但，
故是的充分不必要条件．
【规律总结】对命题“若p，则q”来说，其否定形式应是：“若p，则非q”，其否命题应是：“若非p，则非q”
基础训练
1．“”的含义为
A．都不为0 B．至少有一个为0
C．至少有一个不为0 D．不为0且为0,或不为0且为0
2．对于命题“等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边”,下列说法正确的是
A．没有使用逻辑联结词 B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且” D．使用了逻辑联结词“非”
3．已知命题、均为真命题，下列4个命题：
①；②；③；④.
其中，真命题的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
4．下列命题中既是形式的命题，又是真命题的是
A．10或15是5的倍数
B．方程的两根是和1
C．方程没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
5．已知命题：所有有理数都是实数，命题：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是
A． B．
C． D．
6．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题．（填“真”，“假”）
7．命题，命题，则“或”是__________命题.(填“真”或“假”）
8．已知命题；命题：对于任意实数，关于的不等式有解，若且是真命题，则实数的取值范围是__________．
9．分别指出下列命题的形式及构成它们的命题,并判断真假.
（1）属于集合Q,也属于集合R;
（2）圆中垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
10．写出下列各命题的否定形式及否命题．
（1）面积相等的三角形是全等三角形；
（2）若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零．
11．设实数满足，其中；实数满足．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
能力提升
12．“为假”是“为假”的( )条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
13．由下列命题构成的“p或q”“p且q”均为真命题的是
A．p:菱形是正方形,q:正方形是菱形 B．p:2是偶数,q:2不是质数
C．p:15是质数,q:4是12的约数 D．p:a∈{a,b,c},q:{a}?{a,b,c}
14．一道判断命题为真命题的单选题，题干模糊，只能看清选项，四个选项分别为
A． B．
C． D．
则正确的答案为：
A．A B．B
C．C D．D
15．在中，，，，现有以下四个命题：
；
的面积为；
；
中最大角的余弦值为．
那么，下列命题中为真命题的是
A． B．
C． D．
16．已知函数和，命题在定义域内是增函数；函数的零点所在的区间为（0,2），则在命题：中，真命题的个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
17．已知且，设命题：函数在上单调递减，命题：对任意实数，不等式 恒成立.
（1）写出命题的否定，并求非为真时，实数的取值范围；
（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.
真题练习
18．（2019年高考重庆模拟） 已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是
A． B．
C． D．
19．（2019年高考辽宁模拟）设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是
A． B．
C． D．
20．（2019年高考湖南模拟）已知命题在命题
①中，真命题是
A．①③ B.①④
C.②③ D.②④
21．（2018年高考湖北模拟）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A． B．
C． D．
参考答案
1
2
3
4
5
12
13
14
15
16
18
19
20
21
C
C
B
D
D
A
D
C
B
C
D
A
C
A
1．【答案】C
【解析】等价于或,即至少有一个不为0.
2．【答案】C
【解析】命题可改写为:三角形顶角的平分线垂直底边,且三角形顶角的平分线平分底边,是“p且q”形式的命题,故选C．
3．【答案】B
4．【答案】D
【解析】A中的命题是型命题，B中的命题是假命题，C中的命题是的形式，D中的命题为 型，且为真命题．
5．【答案】D
【解析】∵命题：所有有理数都是实数，是真命题，命题：正数的对数都是负数，是假命题，∴是假命题，是真命题，∴是假命题，是假命题，是真命题，是假命题，故选D．
6．【答案】或　真
【解析】命题“”是由命题p: ,命题，用“或”联结词构成的新命题，且为真命题，故应填或，真.
7．【答案】真
【解析】因为，所以p为假命题,因为，所以q为真命题,
因此“或”是真命题.
8．【答案】
【解析】若p且q为真命题，则命题p和命题q都为真命题，对于命题q：对于任意实数有解，所以.对于命题p：.
综上，的取值范围为，即的取值范围为.
9．【解析】（1）此命题为“p且q”形式的命题,其中p:属于集合Q，q:属于集合R.因为p为假命题,q为真命题,所以“p且q”为假命题,故原命题为假命题.
（2）此命题为“p且q”形式的命题,其中p:圆中垂直于弦的直径平分这条弦,q:圆中垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.因为p,q都为真命题,所以“p且q”为真命题,故原命题为真命题.
【名师点睛】1.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键，解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定．
2．注意复合命题“”“p∧q”的否定．
11．【解析】（1）当时，若命题为真，则；若命题为真，则，
∵为真，即，都为真，
∴，即实数的取值范围是
（2）若是的充分不必要条件，则，
所以，实数的取值范围是.
12．【答案】A
【解析】当“为假”时，则都为假，故“为假”；反之，当“为假”时，则中至少有一个为假，此时“为假”不一定成立．所以“为假”是“为假”的充分不必要条件．故选A．
13．【答案】D
【解析】“p或q”“p且q”均为真命题,则p,q均为真命题,满足条件的选项为D．
14．【答案】C
【解析】由题可知若是假命题，则至少可选择BC，与单选题矛盾，故是真命题；若是真命题，则至少可选择AB，与单选题矛盾，故是假命题，故选C．
15．【答案】B
16．【答案】C
【解析】是增函数，但是减函数，因此命题是假命题.
是增函数，，，则在上有唯一零点，命题是真命题.
因此和是真命题，故选C．
17．【解析】（1）命题的否定是：存在实数?,使得不等式成立.
非为真时，，即，
又且，
所以.
（2）若命题为真，则，
若命题为真，则或，
因为命题为真命题，为假命题，
所以命题和一真一假，
若真假，则，所以；
若假真，则，所以.
综上，的取值范围是.
18．【答案】D
【解析】由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；
所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题，故选D.
19．【答案】A
20．【答案】C
【解析】当时,两边同乘以可得,所以命题为真命题,当时,因为,所以命题为假命题,则为真命题,所以根据真值表可得②③为真命题,故选C.
21．【答案】A
【解析】 “至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”.故选A.