人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系学案设计（含答案）

第二十一章　一元二次方程
21.2　一元二次方程解法复习
*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系

学习目标
1.探究并能推导一元二次方程的根与系数的关系.
2.熟练运用根与系数的关系求两根和、两根积.
3.提高综合运用基础知识解决较复杂问题的能力.
学习过程
一、设计问题,创设情境
(一)温故知新
1.一元二次方程的一般形式是什么?



2.一元二次方程的求根公式是什么?使用它的前提又是什么?



3.你能说一下哪些方面能反映一元二次方程的系数与根的关系吗?


(二)探究活动
1.一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗?
填写下表:
方程 两个根 两根之和 两根之积
x1 x2 x1+x2 x1x2
x2+x-6=0
x2+10x+9=0
x2-6x+8=0


　　2.你发现了吗:如果x2+px+q=0有两个根x1,x2,那么这两个根与系数有怎样的关系?




3.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)如果有两个根x1,x2,那么它们与系数会有怎样的关系呢?你能推导出你的结论吗?




二、信息交流,揭示规律
1.学生尝试推导得出的结论
方法一:ax2+bx+c=0(a≠0)?x2+x+=0,
那么就有:x1+x2=-,x1x2=.
方法二:根据求根公式x=(b2-4ac≥0),
推导:



2.师生共同得出结论:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1,x2,那么:



3.教师总结:上述结论称为一元二次方程的根与系数的关系,也叫韦达定理(可以根据学生能力决定是否给出定理的名字).
三、运用规律,解决问题
1.例题:根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1与x2的和与积:
(1)x2-6x-15=0;(2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2.

2.跟踪练习:不解方程,求下列方程两个根的和与积:
(1)x2-3x=15;(2)3x2+2=1-4x;(3)5x2-1=4x2+x;(4)2x2+x+2=3x+1.



3.学生讨论:通过前面的练习,总结在运用关系解决问题时对步骤有什么要求?



四、变式训练,深化提高
1.设x1,x2是方程x2-4x+1=0的两个根,则x1+x2=　　　　,x1x2=　　　　.?
2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1,则p=　　　,q=　　　.?
3.如果-1是方程2x2-x+m=0的一个根,则另一个根是　　　　,m=　　　　.?
4.已知两个数的和是1,积是-2,则这两个数是　　　　.?
5.判断正误:以2和-3为根的方程是x2-x-6=0.(　　)
6.设想x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,不解方程求下列式子的值:
+;+;x2+x1.



7.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,且(x1+1)(x2+1)=4.
(1)求k的值;(2)求(x1-x2)2的值.
五、反思小结,观点提高
1.本节课我们学习了一个什么关系?



2.在利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积时要注意什么步骤?



3.同学们会利用根与系数的关系解决哪些类型的问题了?在解决问题的过程中你有哪些收获和疑惑?



参考答案
　　一、设计问题,创设情境
(一)温故知新
1.ax2+bx+c=0(a≠0).
2.x=(b2-4ac≥0).
3.根的判别式　求根公式.
(二)探究活动
填写下表
方程 两个根 两根之和 两根之积
x1 x2 x1+x2 x1x2
x2+x-6=0 -3 2 -1 -6
x2+10x+9=0 -1 -9 -10 9
x2-6x+8=0 2 4 6 8


　　2.x1+x2=-p,x1x2=q
x1+x2=-,x1x2=
二、信息交流,揭示规律
1.x1+x2=+===.
x1x2=·===.
2.x1+x2=-;x1x2=.
三、运用规律,解决问题
1.解:(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15.
(2)x1+x2=-,x1x2=-3.
(3)方程化为4x2-5x+1=0.
x1+x2=,x1x2=.
2.解:(1)原方程化为x2-3x-15=0,
则x1+x2=3,x1x2=-15.
(2)原方程化为3x2+4x+1=0,
则x1+x2=-,x1x2=.
(3)原方程化为x2-x-1=0,
则x1+x2=1,x1x2=-1.
(4)原方程化为2x2-2x+1=0,
则x1+x2=1,x1x2=.
3.略
四、变式训练,深化提高
1.4　1　2.1　-2　3.　-3　4.2　-1　5.×
6.解:根据根与系数的关系,x1+x2=3,x1x2=,所以
+===2,
+=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×=6,
x2+x1=(x1+x2)x1x2=3×=.
7.解:(1)根据根与系数的关系,x1+x2=-k;x1x2=,
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=+(-k)+1=4,
解得k=-7.
(2)因为k=-7,所以x1+x2=7,x1x2=-4,
则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=72-4×(-4)=65.