青岛版九年级数学上册同步练习附答案解析3.7 正多边形与圆

3.7 正多边形与圆
1. 正八边形的每个内角为( )
A.120° B.135° C.140° D.144°
2.对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 ( )
A.正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B.正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
4.一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )
A.12 mm B.12 mm C.6 mm D.6 mm
5.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝( )
第5题图
A.30° B.35° C.45° D.60°
6.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A. B. C. D.
7.为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( )
第7题图
A.2a2 B.3a2 C.4a2 D.5a2
8.用尺规画正八边形时，先将半径为R的圆____________等分，再将____________平分，最后依次连接各分点即可得正八边形.
9.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为____________.
第9题图
10.在⊙O中，弦AB是内接正三角形的一边，弦AC是内接正六边形的一边，则∠BAC＝____________.
11.在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一种画圆内接正三角形的方法：
(1)如图，作直径AD；
(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；
(3)连接AB，AC，那么△ABC为所求的三角形.
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由.
12.若一个正六边形的周长为24，求该正六边形的面积.(结果保留根号)
13.如图，已知⊙O的两直径AB，CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E.求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长.
第13题图
14.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM.
(1)求证：△BCF≌△CDM；
(2)求∠BPM的度数.
第14题图
15.如图1，2，3，…，m中，M，N分别是⊙O的内接正△ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是____________，图3中∠MON的度数是____________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系.(直接写出答案)
第15题图
参考答案
1.B　2.B　3.C　4.A　5.A 6.A　7.A　
8.四　直角 9.π　 10.30°或90°
11.【解】图略.两位同学的方法正确.连BO，CO，设BC交AD于点E.∵BC垂直平分OD，∴在Rt△OEB中，cos∠BOE＝＝.∴∠BOE＝60°.由垂径定理得∠COE＝∠BOE＝60°.∵AD为直径，∴∠AOB＝∠AOC＝120°.∴AB＝BC＝CA，即△ABC为等边三角形.
12.【解】如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点D.∵∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形.∵正六边形的周长为24，∴AB＝4.∵OD⊥AB，∴∠AOD＝30°，AD＝2.
在Rt△AOD中，根据勾股定理得OD＝2.∴S△AOB＝×4×2＝4.∴S正六边形＝6×4＝24.
13.【证明】连接OM.∵MN⊥OB，OE＝OB＝OM，∴∠EMO＝30°.∴∠MOB＝60°.∴∠MOC＝30°，∠MOB＝＝60°，∠MOC＝＝30°.∴MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长.
14.(1)【证明】∵五边形ABCDE是正五边形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠CDM.
在△BCF和△CDM中，∴△BCF≌△CDM(SAS).
(2)【解】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCF＝＝108°.∴∠CBF＋∠CFB＝180°－∠BCF＝72°.∵△BCF≌△CDM，∴∠MCD＝∠CBF.∴∠MCD＋∠CFB＝72°.∴∠BPM＝∠CPF＝180°－(∠MCD＋∠CFB)＝108°.
15.【解】(1)连接OB，OC.∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OBN＝∠OCN＝30°.∴∠BOC＝120°.而BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN(SAS).∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON＝∠BOC＝120°.
(2)90°　72°
(3)∠MON＝.