2019-2020学年山东省潍坊市青州二中高二（上）10月月考数学试卷（解析版）

2019-2020学年山东省潍坊市青州二中高二（上）10月月考
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（　　）
A．a3＞b3 B．＜ C．a2＞b2 D．0＜b﹣a＜1
2．（5分）等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，则{an}的前4项和为（　　）
A．81 B．120 C．168 D．192
3．（5分）若不等式x2+2x﹣3≥0的解集是（　　）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|x≤﹣3或x≥1} C．{x|x≥1} D．{x|x≤﹣3}
4．（5分）已知等差数列{an}中，a2+a4＝6，则前5项和S5为（　　）
A．5 B．6 C．15 D．30
5．（5分）已知等差数列{an}中，且a4+a12＝10，则前15项和S15＝（　　）
A．15 B．20 C．21 D．75
6．（5分）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（　　）
A．（2，3） B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）
C．（） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
7．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b，则＞ D．若a＞b＞0，则＞
8．（5分）已知等差数列{an}满足a1+a2＝10，a4＝a3+2，则a3+a4＝（　　）
A．2 B．14 C．18 D．40
9．（5分）等差数列{an}中，a1＝1，a2＝3，数列{}的前n项和为，则n的值为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
10．（5分）若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝3，a4＝2，则a5等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．（5分）已知a1＝2，an+1＝，则a2016＝（　　）
A．504 B．1008 C．2016 D．4032
12．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn＝log2an，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且a9?a2008＝，则b1+b2+b3+…+b2016＝（　　）
A．﹣2016 B．2016 C．log22016 D．1008
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）若关于x的不等式＞0的解集为R，则k的范围为　 　．
14．（5分）如果数列 {an}满足 ﹣＝1，a1＝1，则 a2015＝　 　．
15．（5分）在数列{an}中，，，则a2＝　 　，{an}的前48项和S48＝　 　．
16．（5分）已知函数，则f（﹣2018）+f（﹣2017）+…+f（0）+f（1）+…+f（2018）＝　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17．（10分）已知数列{an}的通项公式是，写出数列{an}的前5项．
18．（12分）如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设AB＝x米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米500元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．
（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．

19．（12分）已知{an}为等差数列，且a1+a3＝8，a2+a4＝12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
20．（12分）已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝（﹣1）n+1?n（n∈N*），求数列{an?bn}的前n项和Tn．
21．（12分）已知不等式x2﹣3ax+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}．
（Ⅰ）求 a，b的值；
（Ⅱ）解不等式（x﹣b）（x﹣m）＜0．
22．（12分）已知{an}是各项为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2+b3＝2a3，a5﹣3b2＝7．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和为Sn．



2019-2020学年山东省潍坊市青州二中高二（上）10月月考
数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1．（5分）设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是（　　）
A．a3＞b3 B．＜ C．a2＞b2 D．0＜b﹣a＜1
【分析】由0＜a＜b＜1，可得0＜b﹣a＜1．即可得出．
【解答】解：∵0＜a＜b＜1，
∴0＜b﹣a＜1．
故选：D．
2．（5分）等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，则{an}的前4项和为（　　）
A．81 B．120 C．168 D．192
【分析】首先通过等比数列的通项公式求出公比q，然后根据前n项和公式求出结果．
【解答】解：∵a1＝3，a4＝81
∴＝q3＝＝27
∴q＝3
∴s4＝＝＝120
故选：B．
3．（5分）若不等式x2+2x﹣3≥0的解集是（　　）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|x≤﹣3或x≥1} C．{x|x≥1} D．{x|x≤﹣3}
【分析】把不等式x2+2x﹣3≥0化为（x+3）（x﹣1）≥0，求出解集即可．
【解答】解：不等式x2+2x﹣3≥0可化为
（x+3）（x﹣1）≥0，
解得x≤﹣3，或x≥1；
∴不等式的解集是{x|x≤﹣3或x≥1}．
故选：B．
4．（5分）已知等差数列{an}中，a2+a4＝6，则前5项和S5为（　　）
A．5 B．6 C．15 D．30
【分析】由已知结合等差数列的性质求得a3，再由等差数列的前n项和公式得答案．
【解答】解：在等差数列{an}中，由a2+a4＝6，得2a3＝6，a3＝3．
∴前5项和S5＝5a3＝5×3＝15．
故选：C．
5．（5分）已知等差数列{an}中，且a4+a12＝10，则前15项和S15＝（　　）
A．15 B．20 C．21 D．75
【分析】等差数列{an}的性质可得：a1+a15＝a4+a12＝10，再利用求和公式即可得出．
【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a1+a15＝a4+a12＝10，
∴前15项和S15＝＝＝75．
故选：D．
6．（5分）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（　　）
A．（2，3） B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）
C．（） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【分析】先根据不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，判断a＜0，从而求出a，b值，代入不等式x2﹣bx﹣a＜0，从而求解．
【解答】解：∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，
∴a＜0，
∴方程ax2﹣bx﹣1＝0的两个根为﹣，﹣，
﹣＝﹣﹣，＝，
∴a＝﹣6，b＝5，
∴x2﹣bx﹣a＜0，
∴x2﹣5x+6＜0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＜0，
∴不等式的解集为：2＜x＜3．
故选：A．
7．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b，则＞ D．若a＞b＞0，则＞
【分析】A．c＝0时不成立；
B．利用不等式的基本性质由a＜b＜0，可得a2＞ab＞b2；
C．取a＝﹣1，b＝﹣2时，即可判断出；
D．由a＞b＞0，可得＜．
【解答】解：A．c＝0时不成立；
B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；
C．取a＝﹣1，b＝﹣2时，＝﹣1，＝﹣，则＞不成立；
D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．
故选：B．
8．（5分）已知等差数列{an}满足a1+a2＝10，a4＝a3+2，则a3+a4＝（　　）
A．2 B．14 C．18 D．40
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1+a2＝10，a4＝a3+2，
∴2a1+d＝10，d＝2，
解得a1＝4，d＝2．
∴an＝4+2（n﹣1）＝2n+2．
则a3+a4＝2×3+2+2×4+2＝18．
故选：C．
9．（5分）等差数列{an}中，a1＝1，a2＝3，数列{}的前n项和为，则n的值为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
【分析】求出数列的通项公式，利用裂项法求法数列的和，求出n即可．
【解答】解：等差数列{an}中，a1＝1，a2＝3，d＝2，an＝2n﹣1，
数列＝＝．
数列{}的前n项和为，
∴＝
＝，
解得n＝15．
故选：A．
10．（5分）若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝3，a4＝2，则a5等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S6＝3，a4＝2，
∴6a1+d＝3，a1+3d＝2，
解得a1＝﹣7，d＝3．
则a5＝﹣7+3×4＝5，
故选：A．
11．（5分）已知a1＝2，an+1＝，则a2016＝（　　）
A．504 B．1008 C．2016 D．4032
【分析】a1＝2，an+1＝，可得＝（n≥2）．利用“累乘求积”方法即可得出．
【解答】解：∵a1＝2，an+1＝，∴＝（n≥2）．
∴an＝?…?a1＝??…?×2＝2n．
则a2016＝2×2016＝4032．
故选：D．
12．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn＝log2an，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且a9?a2008＝，则b1+b2+b3+…+b2016＝（　　）
A．﹣2016 B．2016 C．log22016 D．1008
【分析】由已知得a1?a2016＝a2?a2015＝…＝a9?a2008＝，由此能求出结果．
【解答】解：∵数列{an}，{bn}满足bn＝log2an，n∈N*，其中{bn}是等差数列，
∴数列{an}是等比数列，
∴a1?a2016＝a2?a2015＝…＝a9?a2008＝，
∴b1+b2+b3+…+b2016＝log2（a1?a2…a2016）＝log2（a9?a2008）1008＝＝﹣2016．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）若关于x的不等式＞0的解集为R，则k的范围为　[1，9）　．
【分析】关于x的不等式＞0的解集为R，x2+x+1＝+＞0，转化为（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R．对k分类讨论，利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出．
【解答】解：∵关于x的不等式＞0的解集为R，x2+x+1＝+＞0，
∴（k﹣1）x2+（k﹣1）x+2＞0的解集为R．
当k＝1时，2＞0恒成立，因此k＝1满足条件．
当k≠0时，可得，解得1＜k＜9，
综上可得：k的范围为[1，9）．
故答案为：[1，9）．
14．（5分）如果数列 {an}满足 ﹣＝1，a1＝1，则 a2015＝　　．
【分析】由已知得{}是首项为1，公差为1的等差数列，从而＝n，进而an＝，由此能求出a2015．
【解答】解：∵{an}满足﹣＝1，a1＝1，
∴＝1，∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝1+（n﹣1）×1＝n，
∴an＝，
∴a2015＝．
故答案为：．
15．（5分）在数列{an}中，，，则a2＝　3　，{an}的前48项和S48＝　63　．
【分析】利用递推思想依次求出数列的前5项，得到数列{an}是周期为4的周期数列，由此能求出数列{an}的前48项和．
【解答】解：∵数列{an}满足a1＝，，
∴a2＝＝3，
a3＝＝2，
a4＝＝﹣，
a5＝＝，
∴数列{an}是周期为4的周期数列，
∵48＝12×4＝12×（+3+2﹣）＝63．
故答案是：3；63．
16．（5分）已知函数，则f（﹣2018）+f（﹣2017）+…+f（0）+f（1）+…+f（2018）＝　4037　．
【分析】由定义判断函数g（x）＝lg（）为R上的奇函数，可得g（﹣2018）+g（﹣2017）+…+g（0）+g（1）+…+g（2018）＝0，进一步求得f（﹣2018）+f（﹣2017）+…+f（0）+f（1）+…+f（2018）的值．
【解答】解：∵，∴函数g（x）＝lg（）的定义域为R，
又g（﹣x）＝lg（）＝lg＝﹣g（x），
∴y＝g（x）为实数集上的奇函数．
则g（﹣2018）+g（﹣2017）+…+g（0）+g（1）+…+g（2018）＝0；
∴f（﹣2018）+f（﹣2017）+…+f（0）+f（1）+…+f（2018）
＝g（﹣2018）+g（﹣2017）+…+g（0）+g（1）+…+g（2018）+4037＝4037．
故答案为：4037．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17．（10分）已知数列{an}的通项公式是，写出数列{an}的前5项．
【分析】利用数列的通项公式能写出数列{an}的前5项．
【解答】解：∵数列{an}的通项公式是，
∴a1＝﹣1+1＝0，
a2＝1+2＝3，
a3＝﹣1+3＝2，
a4＝1+4＝5，
a5＝﹣1+5＝4．
18．（12分）如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设AB＝x米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米500元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．
（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．

【分析】（1）根据面积确定AD的长，利用围墙（包括EF）的修建费用均为500元每平方米，即可求得函数的解析式；
（2）根据函数的特点，满足一正二定的条件，利用基本不等式，即可确定函数的最值．
【解答】解：（1）设AD＝t米，则由题意得xt＝2400，且t＞x，故t＝＞x，可得0，…（4分）
则y＝500（3x+2t）＝500（3x+2×），
所以y关于x的函数解析式为y＝1500（x+）（0）．
（2）y＝1500（x+）≥1500×2＝120000，
当且仅当x＝，即x＝40时等号成立．
故当x为40米时，y最小．y的最小值为120000元．
19．（12分）已知{an}为等差数列，且a1+a3＝8，a2+a4＝12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记的{an}前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
【分析】（1）设数列{an} 的公差为d，由等差数列的通项公式可得，解可得a1与d的值，代入等差数列的通项公式中即可得答案；
（2）由（1）可得a1与d的值，代入等差数列的前n项和公式可得Sn＝n（n+1），又由a1，ak，Sk+2成等比数列，可得（ak）2＝2（k+2）（k+3），解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设数列{an} 的公差为d，
由题意知，
解得a1＝2，d＝2，
则an＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；
（2）由（1）可得a1＝2，an＝2n，
则Sn＝＝n2+n＝n（n+1），
若a1，ak，Sk+2成等比数列，
则有（ak）2＝2（k+2）（k+3），
即4k2＝2k2+10k+12，
变形可得：k2﹣5k﹣6＝0，
解可得k＝6或k＝﹣1（舍）；
故k＝6．
20．（12分）已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝（﹣1）n+1?n（n∈N*），求数列{an?bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得an?bn＝（﹣1）n﹣1??（﹣1）n+1?n＝3n?（）n．运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，
由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可得
2（S5+a5）＝S3+a3+S4+a4，
即2（S3+a4+2a5）＝2S3+a3+2a4，
即有4a5＝a3，即为q2＝＝，
解得q＝±，
由等比数列{an}不是递减数列，可得q＝﹣，
即an＝?（﹣）n﹣1＝（﹣1）n﹣1?；
（Ⅱ）bn＝（﹣1）n+1?n，
可得an?bn＝（﹣1）n﹣1??（﹣1）n+1?n＝3n?（）n．
前n项和Tn＝3[1?+2?（）2+…+n?（）n]，
Tn＝3[1?（）2+2?（）3+…+n?（）n+1]，
两式相减可得，Tn＝3[+（）2+…+（）n﹣n?（）n+1]
＝3[﹣n?（）n+1]，
化简可得Tn＝6（1﹣）．
21．（12分）已知不等式x2﹣3ax+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}．
（Ⅰ）求 a，b的值；
（Ⅱ）解不等式（x﹣b）（x﹣m）＜0．
【分析】（Ⅰ）由一元二次不等式与对应方程的关系，结合根与系数关系，即可求出a、b的值；
（Ⅱ）根据方程（x﹣b）（x﹣m）＝0的两根，讨论m的值，即可求出对应不等式的解集．
【解答】解：（Ⅰ）由题知1和2是方程式x2﹣3ax+b＝0的根，…（2分）
由根与系数关系得，…（4分）
解得a＝1，b＝2；（5分）
（Ⅱ）方程（x﹣b）（x﹣m）＝0两根为x1＝2，x2＝m； …（6分）
当m＜2时，所求不等式的解集为{m|m＜x＜2}，…（8分）
当m＝2时，所求不等式的解集为?，…（10分）
当m＞2时，所求不等式的解集为{x|2＜x＜m}．…（12分）
22．（12分）已知{an}是各项为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2+b3＝2a3，a5﹣3b2＝7．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和为Sn．
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）有，利用错位相减法即可得出．
【解答】解：（1）设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，由题意q＞0，
由已知，有，
消去d得q4﹣2q2﹣8＝0，解得q＝2，d＝2，
所以{an}的通项公式为，{bn}的通项公式为．
（2）由（1）有，设{cn}的前n项和为Sn，
则，
，
两式相减得，
所以．