江西省“山江湖”协作体2019-2020学年高二（统招班）上学期第一次联考数学（文）试卷

山江湖协作体联考高二数学试卷（文科）（统招班）
命题人： 审题人： 时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）
1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是．
A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．a2＞b2 D．＜
2．下列结论不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
3．不等式的解集是：
A． B．
C． D．
4．盐水溶液的浓度公式为，向盐水中再加入克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ）
A. B. C. D.
5．在平面直角坐标系中，不等式组 为正常数)表示的平面区域的面积是4，则的最大值为（ ）
A.8 B.6 C.4 D.0
6．在 表示的平面区域内的一个点是（ ）.
A． B． C． D．
7．函数的最小值为 （ ）
A.-1 B.1 C.2 D.3
8．三边，满足，则三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形
9．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)
A. B. C. D.
10．设正项等差数列的前n项和为，若，则的最小值为
A.1 B. C. D.
11．已知向量，若则的最小值为
A.12 B. C.15 D.
12．若正数满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题: （本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．中,三边所对的角分别为,若,则角______.
14．下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______
∵
即……①
即……②
即……③
∵ 可证得……④
15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.
16．设关于x，y的不等式组表示的平面区域为．记区域上的点与点距离的最小值为，若，则的取值范围是__________；
三、解答题:本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知.
(1)求证： ；
(2)若，且，求证：．
18．（本小题满分12分）（本小题满分10分）已知关于的函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.
19．（本小题满分12分）在中，，且的边a，b，c所对的角分别为A，B，C.
（1）求的值；
（2）若，试求周长的最大值.
20．（本小题满分12分）已知数列的前项的和，满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项的和.
21．（本小题满分12分）如图，三条直线型公路，，在点处交汇，其中与、与的夹角都为，在公路上取一点，且km，过铺设一直线型的管道，其中点在上，点在上（，足够长），设km，km．
（1）求出，的关系式；
（2）试确定，的位置，使得公路段与段的长度之和最小．
22．（本小题满分12分）
已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式，；
（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.
高二数学试卷答案（文科）（统招班）
第I卷（选择题)
一、单选题
1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是．
A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．a2＞b2 D．＜
【答案】C
【解析】
试题分析：根据不等式的性质判断即可．
解：∵a＜b＜0，
∴a﹣b＜0，a+b＜0，＞，
∴（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2＞0，即a2＞b2，
故C正确，C，D不正确
当c=0时，ac=bc，故B不一定正确，
故选：C．
考点：不等式的基本性质．
2．下列结论不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
对于A选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A正确.对于B选项，若，则，故B选项错误.对于C、D选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C、D正确.综上所述，本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.
3．不等式的解集是：
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把不等式转化为不等式，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，不等式，等价于，解得，
即不等式的解集为，故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．盐水溶液的浓度公式为，向盐水中再加入克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
向盐水溶液中加入克盐，得出加入后的盐水浓度为，根据盐水更咸，说明盐的浓度更大，由此得出不等关系，可得出正确选项.
【详解】
向盐水溶液中加入克盐，盐水的浓度变为，此时浓度变大，盐水更咸，即，
故选：A.
【点睛】
本题考查不等关系的确定，解题时要将题中的文字信息转化为数学语言，考查转化思想，属于基础题.
5．在平面直角坐标系中，不等式组 为正常数)表示的平面区域的面积是4，则的最大值为（ ）
A.8 B.6 C.4 D.0
【答案】A
【解析】
【分析】
先画出约束条件的可行域，再分析不等式组（a为常数）表示的平面区域面积是4，我们可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出实数a的值，最后利用几何意义求出最大值．
【详解】
解：由题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．
解得三角形的三个顶点为A（0，0），B（a，﹣a），C（a，a）
所以S△ABC＝×2a×a＝4，
解得a＝2或a＝﹣2（舍去）．
在△ABC中满足z＝x-3y的最大值是点B（2，-2），代入得最大值等于8．
故选：A．
【点睛】
本题考查线性规划求最值的问题，解题的关键先根据可行域的面积计算a的值，属于基础题.
6．在 表示的平面区域内的一个点是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
把 ， ， ，代入，可知 使得不等式成立，在表示的平面区域内的一个点是．故选A．
7．函数的最小值为 （ ）
A.-1 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】
【分析】
降次-配凑-均值不等式
【详解】
，则，，当时取“=”，所以正确选项为A。
【点睛】
本题考查利用均值不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题
8．三边，满足，则三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状。
【详解】
为三边，，由基本不等式可得，
将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，
所以，是等边三角形，故选：C。
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题。
9．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本不等式可得到a＝2，b＝1，得到g(x)＝2|x＋1|，该函数图象可看做y＝2|x|的图像向左平移1个单位得到，从而求得结果.
【详解】
因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，
所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，
当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，
所以a＝2，b＝1，
此时g(x)＝2|x＋1|＝
此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到．
结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值和指数函数的图像和性质，利用基本不等式求出a＝2，b＝1是本题的关键，考查学生的逻辑推理能力和综合分析能力，属中档题.
10．设正项等差数列的前n项和为，若，则的最小值为
A.1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用等差数列的求和公式得出，再利用等差数列的基本性质得出，再将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】
由等差数列的前项和公式可得，所以，，
由等差数列的基本性质可得，
，
所以，，当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，故选：D.
【点睛】
本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。
11．已知向量，若则的最小值为
A.12 B. C.15 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
因为，所以3a+2b=1,再利用基本不等式求最小值.
【详解】
因为，
所以3a+2b=1,
所以.
当且仅当时取到最小值.
【点睛】
本题主要考查向量平行的坐标表示和利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
12．若正数满足，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知得出的符号及的值，再根据基本不等式求解.
【详解】
∵ ；
∴
∴
∴
当且仅当，即时，等号成立.
故选B.
【点睛】
本题考查基本不等式，注意基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.
第II卷（非选择题)
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二、填空题
13．中,三边所对的角分别为,若,则角______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.
【详解】
由得，由于，所以.
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
14．下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______
∵
即……①
即……②
即……③
∵ 可证得……④
【答案】③
【解析】
【分析】
由于，所以所以即.
【详解】
由于，，
所以即，所以第③步推理错误.
【点睛】
本题考查不等式8条基本性质，其中出问题的是不等式两边同时乘以一个负数，不等号要改变方向.
15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
【分析】
在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.
【详解】
，，且，在等式两边同时除以得，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，
由于不等式恒成立，则，即，
解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.
【点睛】
本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
16．设关于x，y的不等式组表示的平面区域为．记区域上的点与点距离的最小值为，若，则的取值范围是__________；
【答案】；
【解析】
【分析】
根据不等式组表示的平面区域，又直线过点，因此可对分类讨论，以求得，当时，是到直线的距离，在其他情况下，表示与可行域内顶点间的距离．分别计算验证．
【详解】
如图，区域表示在第一象限（含轴的正半轴），直线过点，表示直线的上方，当时，满足题意，当时，直线与轴正半轴交于点，当时，，当时，，满足题意，当时，，不满足题意，
综上的取值范围是．
故答案为．
【点睛】
本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，解题关键是在求时要分类讨论．是直接求两点间的距离还是求点到直线的距离，这要区分开来．
三、解答题
17．已知.
(1)求证： ；
(2)若，且，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1) 已知直接对使用均值不等式；
(2)不等式分母为，通过降次构造，再使用均值不等式。
【详解】
证明：(1)；
(2)，当且仅当或时取“=”.
【点睛】
“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式。
18．已知关于的函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由时，根据，利用一元二次不等式的解法，即可求解；
（Ⅱ）由对任意的恒成立，得到，利用基本不等式求得最小值，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）由题意，当时，函数，
由，即，解得或，
所以不等式的解集为.
（Ⅱ）因为对任意的恒成立，即，
又由，当且仅当时，即时，取得最小值，
所以，即实数的最大值为.
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及合理利用基本不等式求得最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．在中，，且的边a，b，c所对的角分别为A，B，C.
（1）求的值；
（2）若，试求周长的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角公式化简得到答案.
（2）利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到，得到答案.
【详解】
（1）
原式
（2），

时等号成立.
周长的最大值为
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，周长的最大值，意在考查学生解决问题的能力.
20．已知数列的前项的和，满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的前项的和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据得到，再得到，两式作差，判断出数列为等差数列，进而可得出结果；
（2）根据（1）的结果，利用错位相减法，即可求出结果.
【详解】
解：
两式相减得：.........①，
则有.....②
①-②得：，
所以数列是等差数列，
①当，即
①即.
（2）①，②
两式相减得
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式，以及错位相减法求和，熟记等差数列的通项公式、求和公式，以及错位相减法的一般步骤即可，属于常考题型.
21．如图，三条直线型公路，，在点处交汇，其中与、与的夹角都为，在公路上取一点，且km，过铺设一直线型的管道，其中点在上，点在上（，足够长），设km，km．
（1）求出，的关系式；
（2）试确定，的位置，使得公路段与段的长度之和最小．
【答案】（1）（2）当时，公路段与段的总长度最小
【解析】
【分析】
（1）（法一）观察图形可得，由此根据三角形的面积公式，建立方程，化简即可得到的关系式；
（法二）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，找到各点坐标，根据三点共线，即可得到结论；
（2）运用“乘1法”，利用基本不等式，即可求得最值，得到答案．
【详解】
（1）（法一）由图形可知．
，
，
所以，即．
（法二）以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
由，，三点共线得．
（2）由（1）可知，
则（），
当且仅当（km）时取等号．
答：当时，公路段与段的总长度最小为8．.
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积公式应用，以及利用基本不等式求最值，着重考查了推理运算能力，属于基础题．
22．已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式，；
（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.
【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）1
【解析】
【分析】
（1）根据韦达定理即可。
（2）分别对三种情况进行讨论。
（3）带入，分别对时三种情况讨论。
【详解】
（1）的解集为可得1，2是方程的两根，
则，
（2）
时，
时，
时，
（3），为上的奇函数
当时，
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，在时，取得最大值，即；
当时，，则函数在上单调递减，在上单调递减，且时，，在时，取得最小值，即；
对于任意的都有则等价于
或（）
则的最小值为1
【点睛】
本题主要考查了含参数的一元二次不等式，以及绝对值不等式，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论。本题属于难题。