人教版数学八年级上册第十二章 全等三角形12.3：角的平分线的性质同步练习（解析版）

人教版数学八年级上册12.3：角的平分线的性质 同步练习
姓名：___________班级：___________
一．选择题（共10小题）
1．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8cm，则OM长为（　　）

A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm
2．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝4．若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为（　　）

A．34 B．17 C．8.5 D．4
4．到三角形三边距离相等的点的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图所示，点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连结EF，BC⊥AD于点D，则下列结论中①DE＝DF；②AE＝AF；③∠ABD＝∠ACD；④∠EDB＝∠FDC，其中正确的序号是（　　）

A．② B．①② C．①②③ D．①②③④
7．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
8．下列画图的语句中，正确的为（　　）
A．画直线AB＝10cm
B．画射线OB＝10cm
C．延长射线BA到C，使BA＝BC
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交
9．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
二．填空题（共8小题）
11．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是　 　．

12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AB＝15，CD＝4．△ABD的面积为　 　．

13．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝9cm，BD＝6cm，那么AB的长是　 　．

14．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是　 　．

15．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　 　．

16．如图，已知P是∠ACB平分线CD上一点，PM⊥CA，PN⊥CB，垂足分别是M、N，如果PM＝4，那么PN＝　 　．

17．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有　 　个．

18．如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝　 　．

三．解答题（共6小题）
19．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．

20．如图，△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，AB+BC+AC＝12，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝2，求△ABC的面积．

21．如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM平分∠DAB；
（2）DM⊥AM．

22．已知，如图，BD、CD是△ABC外角的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：点D在∠A平分线上．

23．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，∠BPC＝40°．
（1）求∠BAC；
（2）证明：点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
（3）求∠CAP．

24．已知，如图，OP是∠MON的平分线，PA⊥OM，PB⊥ON，A、B分别为垂足，点C、D分别在OA、OB上，∠CPD＝∠APB．
求证：PD是∠BDC的平分线．




人教版数学八年级上册12.3：角的平分线的性质 同步练习
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8cm，则OM长为（　　）

A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm
【分析】根据角平分线的性质解答．
【解答】解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，
∴OM＝ON＝8cm，
故选：C．
2．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，依据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
【解答】解：如图所示，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，
∵点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，
∴OE＝OD＝OF，
∵△ABC的面积是12，周长是8，
∴AB×OE+BC×OD+AC×OF＝12，
即×8×OD＝12，
即OD＝3，
故选：C．

3．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝4．若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为（　　）

A．34 B．17 C．8.5 D．4
【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，根据角平分线的性质得OE＝OF＝OD＝4，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO进行计算即可．
【解答】解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，
∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD＝4，
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝AB?OE+BC?OD+AC?OF
＝×4×（AB+BC+AC）
＝×4×17
＝34．
故选：A．

4．到三角形三边距离相等的点的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，在三角形的内部，有一个点（是三角形角平分线的交点）到三角形三边的距离相等；在三角形的外部，由于三角形的外角平分线的交点有三个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．
【解答】解：在三角形的所在的平面内到三角形三边距离相等的点有4个．
故选：D．
5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由垂线段最短可知当PQ⊥OM时PQ最小，当PQ⊥OM时，则由角平分线的性质可知PA＝PQ，可求得PQ＝2．
【解答】解：
∵垂线段最短，
∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，
又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ＝PA＝2，
故选：B．
6．如图所示，点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连结EF，BC⊥AD于点D，则下列结论中①DE＝DF；②AE＝AF；③∠ABD＝∠ACD；④∠EDB＝∠FDC，其中正确的序号是（　　）

A．② B．①② C．①②③ D．①②③④
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，全等三角形对应角相等可得∠ADE＝∠ADF，根据垂直的定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后求出∠EDB＝∠FDC，再根据等角的余角相等可得∠ABD＝∠ACD．
【解答】解：∵点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，故①正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，故②正确；
∵BC⊥AD，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADB﹣∠ADE＝∠ADC﹣∠ADF，
即∠EDB＝∠FDC，故④正确；
∵∠ABD+∠EDB＝90°，∠ACD+∠FDC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACD，故③正确；
综上所述，正确的是①②③④．
故选：D．
7．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
8．下列画图的语句中，正确的为（　　）
A．画直线AB＝10cm
B．画射线OB＝10cm
C．延长射线BA到C，使BA＝BC
D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交
【分析】根据直线、射线、线段的性质即可一一判断；
【解答】解：A、错误．直线没有长度；
B、错误．射线没有长度；
C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长；
D、正确．
故选：D．
9．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等分货物中转站在三条公路围成的三角形内部和外部两种情况作出图形即可得解．
【解答】解：如图，货物中转站在三角形内部有一个位置，在外部有三个位置，
共有4个位置可选．
故选B．

10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD＝∠CBD，由角平分线性质即可得AD＝DP，由AD的长可得DP的长．
【解答】解：解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，
∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，
∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD＝DP，又AD＝4cm，
∴DP＝4cm．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是　6　．

【分析】根据角平分线的性质可得D点到AB的距离等于CD长度2，△ABD的底边AB上的高便是2，面积可求．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，CD⊥AC，
∴D点到AB的距离等于CD长度2．
所以△ABD面积＝×6×2＝6．
故答案为6．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AB＝15，CD＝4．△ABD的面积为　30　．

【分析】先根据角平分线的性质得到DE＝DC＝4，然后根据三角形面积公式计算△ABD的面积．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD的面积＝×15×4＝30．
故答案为30．
13．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝9cm，BD＝6cm，那么AB的长是　6　．

【分析】过点D作DE⊥AB于点E由角平分线的性质得出DE＝CD＝BC﹣BD＝3cm＝BD，得出△ABD的面积＝2△ACD的面积，证出AB＝2AC，设AC＝x（x＞0），则AB＝2x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD＝BC﹣BD＝3cm＝BD，
∴△ABD的面积＝2△ACD的面积，
即AB×DE＝2×AC×CD，
∴AB＝2AC，
设AC＝x（x＞0），则AB＝2x，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即x2+92＝（2x）2，
解得：x＝3，
∴AB＝2x＝6；
故答案为：6．

14．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是　在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上　．

【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，

∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
15．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　42　．

【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×4×（AB+AC+BC）
＝×4×21＝42，
故答案为：42．
16．如图，已知P是∠ACB平分线CD上一点，PM⊥CA，PN⊥CB，垂足分别是M、N，如果PM＝4，那么PN＝　4　．

【分析】根据角平分线的性质即可求解．
【解答】解：∵P是∠ACB平分线CD上一点，PM⊥CA，PN⊥CB，
∴PN＝PM＝4，
故答案为4．
17．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有　4　个．

【分析】根据到直线l1的距离是1的直线有两条，到l2的距离是1的直线有两条，这四条直线的交点有4个解答．
【解答】解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；
到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；
以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．
故答案为：4．
18．如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝　150°　．

【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【解答】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝∠BAC＝20°，
∴∠DGF＝∠CAD+∠ADG＝20°+130°＝150°．
故答案为：150°．
三．解答题（共6小题）
19．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．

【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．
【解答】解：如图，点P为所作．

20．如图，△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，AB+BC+AC＝12，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝2，求△ABC的面积．

【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OF＝OD＝2，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO进行计算即可．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，
∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，
即OE＝OF＝OD＝2，
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝AB?OE+BC?OD+AC?OF
＝×2×（AB+BC+AC）
＝×2×12
＝12．

21．如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM平分∠DAB；
（2）DM⊥AM．

【分析】（1）过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME＝MC，再求出ME＝MB，从而证明AM平分∠DAB；
（2）利用两直线平行同旁内角互补可得∠1+∠3＝90°，所以两直线垂直
【解答】（1）AM平分∠DAB．
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC，
∴∠1＝∠2，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME＝MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵MC＝MB，
∴ME＝MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

（2）DM⊥AM．
证明：∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDA+∠DAB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1＝∠CDA，∠3＝∠DAB（角平分线定义）
∴2∠1+2∠3＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠AMD＝90度．即DM⊥AM．

22．已知，如图，BD、CD是△ABC外角的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：点D在∠A平分线上．

【分析】过点D作DG⊥BC，由角平分线的性质可得出DE＝DG，DG＝DF，故可得出DE＝DF，进而可得出结论．
【解答】证明：过点D作DG⊥BC，
∵DB是∠CBE的平分线，CD是∠BCF的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DG，DG＝DF，
∴DE＝DF，
∴点D在∠A平分线上．

23．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，∠BPC＝40°．
（1）求∠BAC；
（2）证明：点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
（3）求∠CAP．

【分析】（1）根据角平分线定义、三角形的外角的性质解答；
（2）根据角平分线的性质证明；
（3）根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACD＝∠A+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠P+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠P+∠PCB＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠ABC＝∠A+∠PCB，
∴∠PCD＝∠A，
∴∠BPC＝40°，
∴∠A＝2×40°＝80°，
即∠BAC＝80°；
（2）作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∵CP是∠ACD的平分线，PF⊥AC，PG⊥BC，
∴PF＝PG，
同理，PE＝PF，
∴PE＝PF＝PG，即点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
（3）∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，
∴∠CAP＝∠CAE＝50°．

24．已知，如图，OP是∠MON的平分线，PA⊥OM，PB⊥ON，A、B分别为垂足，点C、D分别在OA、OB上，∠CPD＝∠APB．
求证：PD是∠BDC的平分线．

【分析】在ON上截取BE＝AC，连接PE，根据角平分线的性质得出PA＝PB，进而通过证得△PAC≌△PBE，证得
PC＝PE，∠APC＝∠BPE，进一步证得∠CPD＝∠EPD，然后证得△CPD≌△EPD，即可证得结论．
【解答】证明：在ON上截取BE＝AC，连接PE，
∵PA⊥OM，PB⊥ON，OP是∠MON的平分线，
∴PA＝PB，
在△PAC和△PBE中，

∴△PAC≌△PBE（SAS），
∴PC＝PE，∠APC＝∠BPE，
∵∠CPD＝∠APB，
∴∠APC+∠BPD＝∠APB，
∴∠BPE+∠BPD＝∠APB，
∴∠CPD＝∠EPD，
在△CPD和△EPD中

∴△CPD≌△EPD（SAS），
∴∠CDP＝∠EDP，
∴PD是∠BDC的平分线．