小专题椭圆----斜率之积是定值-

椭圆一个性质的应用
性质 如图1，椭圆上任意一点与过中心的弦的两端点、连线、与坐标轴不平行，则直线、的斜率之积为定值．










证明 设，，则．
所以 ①
②
由①－②得，
所以，
所以为定值．
这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明．





一、证明直线垂直
例1 如图2，已知椭圆，是其左、右顶点，动点满足，连结交椭圆于点．求证：．





证明 设，由性质知，即 ③　　
直线，的斜率分别为 ，，
所以 　　 　 ④
将④代入③得，
所以．

例2 如图3，PQ是椭圆不过中心的弦，A1、A2为长轴的两端点，A1P与Q A2相交于M，P A2与A1Q相交于点N，则MN⊥A1A2．

证明 设M（x1，y1），N（x2，y2）．

由性质知，即，所以 ⑤
， 即，所以 ⑥
比较⑤与⑥得
，
所以，
所以．
所以MN⊥x轴，即MN⊥A1A2．
二、证明直线定向
例3 如图4，已知A(2，1)，B(－2，－1)是椭圆E：＋＝1上的两点，C，D是椭圆E上异于A，B的两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．CA，CB，DA，DB的斜率都存在．
求证：直线MN的斜率为定值．

证明 设，，由性质知，即，
，即．
所以， ⑦
， ⑧
由⑦－⑧得
所以，即直线MN的斜率为定值．
三、证明点的纵坐标之积为定值
例4 如图5，已知椭圆C：＋＝1，过椭圆C的右焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点．
记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，求证：yM·yN为定值．







证明 当直线AB的斜率k不存在时，易得yM·yN＝－9.
当直线AB的斜率k存在时，由性质知kPAk＝－，所以kPA＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(－x2，－y2)，
所以直线PA的方程为y＋y2＝－(x＋x2)，
因为右准线l的方程为，
所以yM＝－(x2＋4)－y2，
因为三点共线，所以直线AB的斜率k＝.
所以yM＝－－y2.
因为直线PB的方程为y＝x，所以yN＝.
所以yMyN＝－3×－.
又因为＋＝1，所以4y＝12－3x，
所以yMyN＝－3×＝－9，
所以yMyN为定值－9.
由以上几个例题，同学们会看到，这个性质解决问题中起到了化繁为简作用，希望同学们领悟其中的道理，并进一步运用这个性质解决更多的问题．




图2

图3

x

y

A

O

B

C

D

M

N

图4

图5



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