圆锥曲线过定点问题

圆锥曲线过定点问题：
一、小题自测
1. 无论取任何实数，直线必经过一个定点，则这个定点的坐标为 .
2. 已知直线；圆，则直线与圆的位置关系为 .





二、几个常见结论：
满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。
1、过定点模型：是圆锥曲线上的两动点，是一定点，其中分别为的倾斜角，则有下面的结论：
①、为定值直线恒过定点； ②、为定值直线恒过定点；
③、直线恒过定点.
2、抛物线中的过定点模型：是抛物线上的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：
直线恒过定点.
3、椭圆中的过定点模型：是椭圆上异于右顶点的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：
直线恒过定点.


三、方法归纳：
★参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
★特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
★关系法：对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。






四、例题分析：
例1：过椭圆的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点.求证：直线MN过定点，
并求出该定点坐标．
★证明：
解法一：设，直线.

，
，，
化简得：
解得：，直线，过定点.

解法二：（考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题）
令，此时，所以直线过定点.
当，.
三点共线，即：直线过定点.
解法三：设直线，则直线

所以点，同理：点
，直线
令得，所以直线过定点.

例2：2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）
已知椭圆：，四点，，，中恰有三点
在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，
证明：过定点．

★分析：出现（是曲线上一动点，是曲线另外两点），可以得到直线
过定点。

★解：（1）根据椭圆对称性，必过、，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点
将代入椭圆方程得，解得，∴椭圆的方程为：．
（2）当斜率不存在时，设
，得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
当斜率存在时，设，
联立，整理得，，，则又此时，存在使得成立．
∴直线的方程为，当时，，所以过定点．



★小结：此类问题的解题步骤：
第一步：设直线的方程为，联立曲线方程得根与系数的关系，用求出参数的取值范围；
第二步：由与的关系，得到一次函数或者；
第三步：将或者代入，得




例3：已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的
动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程； （2）若P为线段AB的中点，求k1；
（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．
★分析：第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动
弦的中点所在直线过定点．
★解：依题设c=1，且右焦点(1，0)．所以，2a==，
b2=a2－c2=2，故所求的椭圆的标准方程为．
(2)设A(，)，B(，)，则①，②．
②－①，得 ．
所以，k1=． (3)依题设，k1≠k2．
设M(,)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，
代入椭圆方程并化简得 ．
于是，，． 同理，，．
当k1k2≠0时，直线MN的斜率k==．
直线MN的方程为，
即 ，亦即 ．
此时直线过定点．当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点．
综上，直线MN恒过定点，且坐标为．
★小结：此类问题的解题步骤：（交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤）
第一步：设其中一条直线的斜率为，求出直线方程；
第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示这条弦的中点，并且类比
出另外一条的中点坐标；
第三步：由上述两步，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；
第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。

★拓展：若过抛物线的某定点作两条直线，这两条直线的斜率之和(积)为定值，那么两条线的中点连线必过一定点。
五、练习反馈：
1．如图，已知椭圆，直线l：，A，B是长轴的两端点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，设直线AM交直线l于点P，直线BM交直线l于点Q，则以PQ为直径的圆C经过定点 .
2.已知椭圆的上顶点为，直线
交椭圆于两点，设直线的斜率分别为.
（1）若时，求的值；
（2）若时，证明：直线过定点.












3.已知椭圆经过点，它的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是直线上的一个动点，过点作椭圆的两条切线、，分别为切点，求证：直线过定点，并求出此定点坐标.（注：经过椭圆上一点的椭圆的切线方程为）.







4.已知椭圆：（）过点，且离心率为。过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点（、与点不重合）。求证：直线过定点，并求该定点的坐标。










5.已知椭圆的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，
使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
















6.已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知点和圆:,过点的动直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点,满足:,,(且).求证:点总在某定直线上.





































圆锥曲线过定点问题答案：
一、小题自测答案：
1、（2,2） 2、相交
五、练习反馈答案：
1、设直线，易得直线，
圆C：，整理得：

由得定点为.
2、解：（1）设，则

（2）设，,

所以，直线过定点
3、
（2）由题意得：，设，
则直线，直线，
又在上述两切线上，∴，
∴直线，
即：，由得，
∴直线过定点，且定点坐标为.
4、【解答】依题意，有，且。
解得，。
∴ 椭圆的方程为。
易知直线斜率存在，设方程为。
由，得
……… ①
设，，
则， 。
由知，。
∴ ，
即 。
∴ 。
∴ 。
∴ 。由直线不过点，知。
∴ ，，直线方程化为。
∴ 直线过定点。
5、解：（1）设椭圆的方程为，离心率，—1分
又抛物线的焦点为，所以， ——2分
椭圆的方程是. ——3分
（2）若直线与轴重合，则以为直径的圆是，若直线垂直于轴，
则以为直径的圆是. ——4分
由解得即两圆相切于点. ——5分
因此所求的点如果存在，只能是. ——6分[来源:Z§xx§k.Com]
当直线不垂直于轴时，可设直线. ——7分
由消去得. ——8分
设，则 ——9分
又因为，
——10分

——11分
,即以为直径的圆恒过点.
故在坐标平面上存在一个定点满足条件. ——12分
6、解：方法1：由知,设,
因在抛物线上,故…①
又,则……②, 由①②解得,
椭圆的两个焦点,,点椭圆上,
由椭圆定义
∴,又,∴, ∴椭圆的方程为.
方法2：由知,设,因在抛物线上,故…①
又,则……②, 由①②解得,.
而点椭圆上,故有即…③, 又,则…④
由③④可解得,,∴椭圆的方程为
（2）设,,
由可得:,即
由可得:,即
⑤⑦得:
⑥⑧得:两式相加得又点在圆上，且,所以, 即, ∴点总在定直线上.







A

B

O

y

x

M

P

Q

l:x=4

x

y

O

P

Q

l

A



47



8