江苏省仪征市扬子中学2019年八年级上数学第3章勾股定理复习导学案（无答案）

八年级数学第3章《勾股定理》复习导学案
【同步知识梳理】
知识点一：勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_____________________（勾三、股四、弦五）（揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系）
勾股定理的叙述形式：
①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.
②斜边的平方等于 .
从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍了赵爽弦图，这是一种面积证法.
常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.
常见方法如下：
方法一：（赵爽弦图/毕达哥拉斯证法）
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形
方法三：（美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德）
知识点二： 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足_________________；那么这个三角形是直角三角形.
（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
步骤：?找出最长边?计算两短边的平方和是否与最长边的平方相等
（3）直角三角形的判定：
①有一个角是直角的三角形是直角三角形。
②有两个角互余的三角形是直角三角形。
③两短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形。
(4)勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数
如：____________________……以及这些数组的倍数组成的数组。
1）确定勾股数：?三个数都是 ?两个较小数的平方和等于最大数的平方
2）如果a,b,c是一组勾股数，那么na,nb,nc(n为正整数)也是一组勾股数.

【典型例题讲练】
考点1：勾股定理
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，AB=20，CD⊥AB于点D．
（1）求BC的长；（2）求CD的长


【总结】：考查的是勾股定理，利用a2+b2=c2即可算出BC.CD利用等面积法即可
2、一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
【总结】：考查的是勾股定理，利用a2+b2=c2即设一边为x，另一边x+2。
变式训练：
1、在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=_______ .
【总结】：考查的是勾股定理，利用a2+b2=c2即可
2、若ABC的三边、、满足条件，试判断ABC的形状。
【总结】：考查的是0+0的类型，以及勾股定理，利用a2+b2=c2即可。

考点2：勾股定理与方程思想
1、小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：（1）如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
（2）如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．

【总结】：（1）利用对称找准相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后利用周长求得答案；
（2）利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案．
2、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为

【总结】：考查的是解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
变式训练：
1、如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为16,宽AB为8,则折叠后重合部分的面积是

【总结】：设FC=x，则BF=16-x，在Rt△ABF中利用勾股定理求出x的值，进而可得出△ABF的面积，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABF≌Rt△AD′E，故可得出结论．
2、如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=4,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=.则AB的长为( )

【总结】：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出EC的长，△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
考点3：等面积法证明勾股定理
1、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB=90°）
求证：a2+b2=c2．

【总结】：首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．

2、如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，试利用图①验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则=_________．

【总结】：（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）可设AC=x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．


变式训练：
1、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：．证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．





【总结】：首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
2、如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab

【总结】：先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．

考点4：勾股定理的逆定理
1、如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12， AD＝13．求四边形ABCD的面积．

【总结】：连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积

变式训练:
1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【总结】：先根据比值设出直角三角形的两直角边，用勾股定理求出未知数x，即两条直角边，用面积公式计算即可．

2、△ABC中，已知，AB=m2＋n2， BC＝2mn，AC=m2-n2.求证：△ABC是直角三角形，并指出直角
【总结】：考查的是由a2+b2=c2，可得直角三角形.
考点5：勾股数
1、下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A． B．
C． D．
【总结】：利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
变式训练：
1、判断a、b、c是否是勾股数。
（1）a=7，b=24，c=25 （2）a=5，b=13，c=12
（3）a=4，b=5，c=6 （4） a=0.5，b=0.3，c=0.4
【总结】：判断是否为勾股数：首先看看是不是常用的勾股数如3 4 5,6 8 10, 5 12 13等,如果不是就用最大的一个数的平方去减剩余两个数中较大数的平方(用平方差公式),看是否等于最小数的平方.
2、我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：?
若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和 ?请用所学知识说明它们是一组勾股数．
【总结】：（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61，进而得出答案；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
考点6：翻折问题
1、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积.

【总结】：由题意，得EC=BC=6，AE=AB=4，∠1=∠2，又由四边形ABCD是矩形，易得△AFC是等腰三角形：DF=FE，然后设DF=x，则FE=x，CF=6-x，在Rt△CDF中，DF2+CD2=CF2，即可得方程x2+42=（6-x）2，解此方程即可求得DF的长，继而求得△ACF的面积和周长．
2、三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，求三角形ACE的面积


【总结】：要求三角形ACE的面积，则必须求得一边及对应的高，由已知的条件及折叠的性质，根据勾股定理很容易求得．
考点7：旋转问题
1、如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长.

【总结】：如图，作旋转变换，运用旋转变换的性质首先证明△APQ为等边三角形，得到∠APQ=60°；然后证明△BPQ为直角三角形；求出线段AM、PM的长度，运用勾股定理求出AB的长度，即可解决问题．
2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°， 试探究间的关系，并说明理由.

【总结】：首先把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG，可得△ACF≌△ABG．进而得到AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°，然后再证明△AEG≌△AFE可得EF=EG，再利用勾股定理可得结论．

【巩固练习】
1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( )
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
2、如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

3、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大的正方形E的面积是( )．


3、如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=（ ）

5、如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC. 求证：.

6、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求（1）DE的长；（2）EF的长。

7、如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，且DE=6，求正方形ABCD的面积

8、如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转到CBE的位置，若BP=，求：以PE为边长的正方形的面积


A

B

C

D