课件74张PPT。 相似形复习 第22章知识要点11. 成比例的数(线段):一、比例线段其中 :a、b、c、d 叫做组成比例的项,a、d 叫做比例外项,b、c 叫做比例内项,比例的性质:a∶b=c∶d1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d= 62、下列各组线段的长度成比例的是( )A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4 D巩固练习: 653、4、已知 (1) x:(x+2)=(2—x):3,求x。
(2)若 求
(3) 若 求 1或-47/31/5,-4/556 已知1, 2, 3三个数,请你再添上一个数, 写出一个比例式。6或2/3或1.52.比例中项:练习:当两个比例内项相等时,那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.3.黄金分割:练习:定义:对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似比:相似三角形的对应边的比,叫做相似三角形的相似比。二、相似三角形知识要点2三角形相似的判定方法有哪几种?预备定理∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC相似三角形判定定理1:三边对应成比例的两个三角形相似.相似三角形判定定理2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.相似三角形判定定理3:两个角对应相等的两个三角形相似相似三角形的判定:(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)相交;
(2)两角对应相等;
(3)两边对应成比例且夹角相等;
(4)三边对应成比例;ADEBACBABCD△ADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合∠ACB=Rt∠CD⊥AB相似三角形基本图形的回顾:1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例2、相似三角形的周长比等于相似比,对应高、对应角平分线,对应中线的比都等于相似比3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。相似三角形的性质:1、已知:△ABC∽△DEF,相似比为2,那么他们的周长比为 ,面积比为 。2、如图(3),DE∥AB,则△ ∽△ ,有 ,若DE=3cm,BE=2cm,CE=4cm 则AB= 24ABCDECBC4.5巩固练习:3、如图(4),DE∥BC,则△ ABC ∽△ ,若AE=6,AB=2,AC=1,则CD= 4、如图(5),P是△ ABC 中AB边上的一点,要使△ACP ∽△ABC需添加一个条件为 。 AED4∠ACP= ∠B或∠APC= ∠ACB或AB/AC=AC/AP5、如图,已知:AB⊥DB于点B ,CD⊥DB于点D,AB=6,CD=4,BD=14.问:在DB上是否存在P点,使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似?如果存在,计算出点P的位置;如果不存在,请说明理由。解(1)假设存在这样的点P,使△ABP∽△CDP
设PD=x,则PB=14―x,
∴6:4=(14―x):x则有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P(2)假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则
则有AB:PD=PB:CD设PD=x,则PB=14―x,
∴6: x =(14―x): 4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时,以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAp知识要点3 1.相似三角形的对应角相等,对应边的比相等. 3.相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.三、相似三角形的性质 2.相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应
角平分线的比都等于相似比.1、 两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的相似叫做位似,点O叫做位似中心.2、利用位似的方法,可以把一个多边形放大或缩小知识要点4四、位似图形3.如何作位似图形(放大).5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.4.如何作位似图形(缩小).1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.2.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.3.位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.位似图形的定义及性质:DEFAOBC1.如何把三角形ABC放大为原来的2倍?DEFAOBC对应点连线都交于____________对应线段_______________________________位似中心平行或在一条直线上同向位似变换反向位似变换xyo3.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )A′B′C′D′你还有其他办法吗?试试看.xyo3.在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为2画它的位似图形.BACA′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )放大后对应点的坐标分别是多少?B'A'C'还有其他办法吗?2461213624xyo3.在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大.A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 )BAC放大后对应点的坐标分别是多少?B”A”位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.1.找一找:(1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有_____对三角形相似.(2) 如图2,已知:△ABC中, ∠ACB=900 ,CD⊥ AB于D,DE⊥BC于E,则图中共有_____个三角形和△ABC相似.34五、知识运用44.若如图所示,△ABC∽△ADB,那么下列关系成立的是
( ) A.∠ADB=∠ACB
B.∠ADB=∠ABC
C.∠CDB=∠CAB
D.∠ABD=∠BDC BC6.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写出一对相似三角形(不全等) .△ADE、△BAE、△CDA都相似7.如图,正方形ABCD的边长为8,E是AB的中点,点M,N分别在BC,CD上,且CM=2,则当CN=_________时,△CMN与△ADE相似。1或48.在平面直角坐标系,B(1,0), A(3,-3), C(3,0),点P在y轴的正半轴上运动,若以O,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,则点P的坐标是__________________.·P(0,1.5)或(0,2/3)9、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
△ABC相似,那么AF=________10、 如图, 在直角梯形中, ∠BAD=∠D=∠ACB=90。,
CD= 4, AB= 9, 则 AC=______611、如图, 已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点,且PB=3,BF⊥BP. 试问在射线BF上是否存在一点E,使以点B、E、C为顶点的三角形与△ABP相似?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.FEE12、在?ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,经几秒钟?BPQ与?BAC相似?或AP:AC=AC:AB13、如图点P是△ABC的AB边上的一点,要使△APC∽△ACB,则需补上哪一个条件?14、 如图D,E分别AB,AC是上的点, ∠AED=72o,
∠A=58o,∠B=50o, 那么△ADE和△ABC相似吗?若AE=2,AC=4,则BC是DE的 倍.15、若△ ACP∽△ABC,AP=4,BP=5,则AC=_______,△ ACP与△ABC的相似比是_______,周长之比是_______,面积之比是_______。62 : 32 : 34 : 916、如图:已知∠ABC=∠CDB=90°,AC=5cm,BC=3cm,当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似?4(2)以正方形的边长等量过渡.(3)请找出图中的相似三角形18、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.若S△AEF=6cm2,则S△CDF = cm254S △ADF=____cm218
19、如图(6), △ABC中,DE??FG??BC,
AD=DF=FB,则S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG=_________
答案:1:3:520、已知梯形ABCD中, AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,若△AOD的面积为4cm2, △BOC的面积为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_________cm2∵AD∥BC2521、如图,点C,D在线段AB上, △PCD是等边三角形.
(1)当AC,CD,DB满足怎样关系时, △PCA∽△BDP.
(2)当△PCA∽ △BDP时,求∠APB的度数.22.Rt △ABC的斜边AB上有一动点P(不与点A、B重合 ),过P点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似 ,则满足这样条件的直线共有多少条,请你画出来。 DEF23、在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图4×4的格纸中, △ABC是一个格点三角形(1)在右图中,请你画一个格点三角形,使它与△ABC相似(相似比不为1)(2)在右图中,请你再画一个格点三角形,使它与△ABC相似(相似比不为1),但与图1中所画的三角形大小不一样.证明:∵四边形ABCD是正方形∴BC=CD=AD,∠D=∠C=90°∴△ADE∽△ECF∴∠1=∠2∵∠D=90°∴∠1+ ∠3=90 °∴∠2+ ∠3=90°∴ AE⊥EF六、例题讲解 例2、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36.
求△ABC的面积.解:∵DE∥BC,EF∥AB∴∠A=∠CEF,∠AED=∠C∴△ADE∽△EFC∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵ S△ADE=25∴S △ABC=121例3. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G .
求证:EA2 = EF· EG . 分析:要证明
EA2 = EF· EG ,
即 证明 成
立,而EA、EG、EF三条线段在同一直线上,无法构成两个三角形,此时应采用换线段、换比例的方法。可证明:△AED∽△FEB, △AEB ∽ △GED.证明:∵ AD∥BF AB∥BC
∴△AED ∽△FEB
△AEB ∽△GED
∴
∴例4、如图, 在△ABC中,∠ACB= 900,四边形BEDC为正方形, AE交BC于F, FG∥AC交AB于G. 求证: FC=FG. 证明: ∵四边形BEDC为正方形∴CF∥DE ∴△ACF∽△ADE又∵FG ∥AC∥BE∴△AGF∽△ABE又∵ DE=BE∴FC=FG例5、如图, AB/AD=BC/DE=AC/AE.
(1) 求证: ∠BAD= ∠CAE;
(2) 若已知 AB=6, BD=3, AC=4, 求 CE 的长.∴ΔABC∽ΔADE ∴ ∠BAC=∠DAE∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE∵∠BAD=∠CAE ∴ΔABD∽ΔACE证明:例6:直角三角形铁片ABC的两条直角边AB、BC的长分别是3和4,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,请甲、乙两位同学进行设计加工方案,甲设计方案如图1,乙设计方案如图2。试比较哪一种剪法剪下的正方形铁片面积较大 ,并说明理由.
图1图2解:设图⑴中正方形的边长为 x cm ,则AD = (4 – x)cm.∵DE∥BC,∴△ADE∽ △ACB,∴正方形DCFE的面积S1 =
设图⑵中正方形的边长为 y cm ,过点 C 作CH⊥AB,垂足为H ,交 DE 于点M.∵DE∥AB,∴△CDE∽ △CAB,∴正方形DEFG的面积S2 = >>图 1图 2变式: (1)若改为加工成一个面积最大的矩形桌面,其他条件不变,结果又怎么样? (2)矩形的面积可以变化,我们想到用什么表示?
(3)若在图1中面积设为y,其中一边设为x,怎么建立函数求出面积最大的矩形? 1、如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网5米的位置上,求球拍击球的高度h.七、综合应用 2、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例,在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
解:设高楼的高度为X米,则
答:楼高36米. 3、皮皮欲测楼房高度,他借助一长5m的标竿,当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时,其他人测出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请你帮他算出楼房的高度。4、已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m 和CD=12m,两树的根部的距离BD=5,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进,当他与走边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端C?ABCDEFGHFG=8米5、如图,教学楼旁边有一棵树,数学小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米,当他们马上测量树的影子长时,发现树的影子不全落在地面上,于是他们测得落在地面上的影子长2.7米,落在墙壁上的影长1.2米,求树的高度.八、相似与函数 2. 如图, AD⊥BC, D为垂足, AD=8, BC=10, EFGH是△ABC内接矩形,(H、G是BC上的两个动点,但H不到达点B, G不到达点C) 设 EH=x,EF=y
(1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;
(2)当EF+EH=9时,求矩形EFGH的周长和面积. 4、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=45°(1)求证:△ABD∽△DCE(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,并求出当BD为何值时AE取得最小值(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长1 如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=45°(1)求证:△ABD∽△DCE∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1)21证明:∵AB=AC,∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°又∵∠ADE=45°∴∠ADE=∠B∴∠1=∠2∴ △ABD∽△DCE(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,并求出当BD为何值时AE取得最小值解:∵△ABD∽△DCE1 如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=45°(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长AD=AEAE=DEDE=AD 如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=45°1分类讨论5、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠A=900,AB=2, AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),PE⊥BP,PE交DC于点E.(1)△ABP与△DPE是否相似?请说明理由;(2)设AP=x DE=y,求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;(3)请你探索在点P运动的过程中,四边形ABED能否构成矩形?如果能,求出AP的长;如果不能,请说明理由;(4)请你探索在点P运动的过程中,△BPE能否成为等腰三角形?如果能,求出AP的长,如果不能,请说明理由。25xy5-x6.如图,梯形ABCD中 AD∥BC ,∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=10,在线段BC上任取一P,作射线PE⊥PD,与线段AB交于点E.(1)试确定CP=5时点E的位置;(2)若设CP=x,BE=y,试写出y关于自变量x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.提示:体会这个图形的“模型”作用,将会助你快速解题!
7.如图,已知抛物线与x轴交于A、B
两点,与y轴交于C点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)抛物线上有一点P,满足
∠PBC=90°,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,问在y轴
上是否存在点E,使得以A、O、E
为顶点的三角形与⊿PBC相似?若
存在,求出点E的坐标;若不存在,
请说明理由.23Q68、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m,20m的梯形空地上种植花木(如下图)
(1)他们在△AMD和△BMC地带种植太阳花,单价为8元/m2。当在△AMD地带 (图中阴影部分)中种满花后,共用去了160元。请计算种满△BMC地带所需的费用 是多少元。
(2)若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m2、10元/m2,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金?
(3)若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图2),请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APB≌ △DPC,且△APD的面积与△BPC的面积相等,并说明你的理由。