沪科版九年级数学上册第22章 相似形单元测试卷1含解析

绝密★启用前
相似形单元测试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)
一、单选题(每题4分共40分)
1．若＝，则下列变形错误的是（　　）
A． B． C．3a＝2b D．2a＝3b
2．已知四条线段a，b，c，d的长度，它们成比例的是( )
A.1，2，3，4 B.16，8，10，5 C.8，5，6，10 D.5，5，6，7
3．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，且，DF=15，则DE=（　　）

A．3 B．6 C．9 D．10
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（　　）
A．AB2=AP?PB B．AP2=BP?AB
C．BP2=AP?AB D．AP?AB=PB?AP
6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若，则下列结论中一定正确的是（ ）

A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.③和④相似
7．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=30cm，EF=15cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=7m，则树高AB=（　　）m．

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
8．在边上有一点（点不与点、点重合），过点作直线截，使截得的三角形与相似，满足条件的直线共有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
9．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是　　
A． B．
C．或 D．或
10．如图所示，四边形的两条对角线交于点，且，下列结论中总能成立的有（ ）
①与相似；②与相似；③；④．

A．个 B．个 C．个 D．个
第II卷（非选择题)
二、填空题(每题5分共20分)
11．若a︰b︰c=2︰3︰4,且2a+3b-c=18,则a+2b+c=_______
12．如图RtABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AD=4，BD=2，则CD=_________．

13．如图，、分别在的边上、上，请你添加一个条件___使得．

14．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，DE＝4BE，连接CE，过点E作EF⊥CE交AB的延长线于点F，若AF＝8，则正方形ABCD的边长为_____．


三、解答题（共9大题，满分90分）
15．已知：如图，中，，，，．求的长．

16．已知a，b，c为的三边，且，.
(1)求a，b，c的值；(2)判断的形状.
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：AD?BE＝BD?CE．

18．一个直立的油桶高米，在顶部的一个开口中将一根长米的木杆斜着插入桶内，上端正好与桶面相平，抽出后看到杆上油浸到部分长米，求油桶内油面的高度．

19．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大到原来的倍后得到，其中、在图中格点上，点、的对应点分别为、。

（1）在第一象限内画出；
（2）若的面积为3.5，求的面积。
20．如图，已知.求证：.

21．如图所示，已知AB⊥l，CD⊥l，且AB＝2，CD＝3，BD＝7.若P是线段BD上一点，使得以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，求此时BP的长.

22．定义:有两条边长的比值为的直角三角形叫做“半生三角形”.如图，在中，，是的中点，是的中点，平行AE交于点.

（1）当时，是半生三角形吗？请判断： （填“是”或“否”）
（2）当时，求证：是“半生三角形”；
（3）当是“半生三角形”，且时，求线段的长.
23．如图，在矩形ABCD中，，，，点P从点E出发，沿EB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（），解答下列问题：

（1）当t为何值时，？
（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形PBCQ的面积是四边形PQDE的面积的4倍？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
（4）连接BD，点O是BD的中点，是否存在某一时刻t，使P，O，Q在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据比例的性质逐项分析即可.
【详解】
A. ∵＝，∴，故正确；
B. ∵＝，∴ ，故正确；
C. ∵＝，∴3a＝2b，故C正确，D错误；
故选D.
【点睛】
本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）.
2．B
【解析】
【分析】
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
【详解】
∴不能够成比例；
∴能够成比例；
∴不能够成比例；
∴不能够成比例；
故选B.
【点睛】
此题考查比例线段的关系，解题关键比例线段乘积的计算.
3．B
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】
解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
∵DF＝15，
∴DE＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
直接利用已知表示出，的值，进而代入原式求出答案．
【详解】
设，，
则，
故选：．
【点睛】
主要考查了比例式，正确表示出各未知数是解题关键．
5．B
【解析】
【分析】
由AP＞BP知PA是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2=BP?AB．
【详解】
解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP2=BP?AB．
故选：B．
【点睛】
本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可．
6．B
【解析】
【分析】
由题图可知，，由，可得 即可得出
【详解】
由题图可知，，结合，可得.
故选B.
【点睛】
当题中所给条件中有两个三角形的两边成比例时，通常考虑利用“两边成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角形相似一定要记准相等的角是两边的“夹角”，否则，结论不成立（类似判定三角形全等的方法“SAS"）.
7．D
【解析】
【分析】
利用直角三角形DEF和直角三角形DCB相似求得BC的长，再加上AC的长即可求得树高AB．
【详解】
∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴BC：EF=DC：DE，
∵DE=30cm=0.3m，EF=15cm=1.5m，AC=1.5m，CD=7m，
∴，
∴BC=3.5米，
∴AB=AC+BC=1.5+3.5=5m，
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
8．B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法，从判定条件出发，寻找可能满足判定条件的作图方法。
已知：平行于三角形的一边的直线与另一边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似。所以根据已知判定方法，过P点作平行于三角形边的直线或使得新三角形中有两个角与原三角形相等。
【详解】

第一个，点P在边AB上，过点P作PD∥AC，根据平行于三角形的一边的直线与另一边相交，所构成的三角形与原三角形相似，得到△BPD∽△BAC；
第二个，点P在AB边上，过P作PD∥BC，根据平行于三角形的一边的直线与另一边相交，所构成的三角形与原三角形相似，得到△APD∽△ABC；
第三个，点P在边AB上，过点P作PD⊥AB，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，得到△APD∽△ACB；
故选B．
【点睛】
此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解和运用。
9．D
【解析】
【分析】
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案．
【详解】
解：点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，
点A的对应点的坐标是：或．
故选：D．
【点睛】
考查了位似图形与坐标的关系此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于．
10．B
【解析】
【分析】
由AB∥CD可得△ABO∽△CDO，于是可判断①，进一步根据相似三角形的性质可判断③，根据同底等高的两个三角形面积相等可得，从而可判断④，而②则无法证明其相似，问题即得解决.
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴，∴①正确，③错误；
∵AB∥CD，
∴，
∴，∴④正确；
而△ABD与△ABC无法证明相似，∴②错误；
∴正确的有①④两个，故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、同底等高的两个三角形面积相等等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
11．24
【解析】
【分析】
根据比例的性质可设a=2k，b=3k，c=4k，则利用2a+3b-c=18得到解得k的值，于是可求出a、b、c的值，然后计算a-2b+3c的值即可．
【详解】
解：∵a：b：c=2：3：4，
∴设a=2k，b=3k，c=4k，
而2a+3b-c=18，
∴4k+9k-4k=18，解得：k=2，
∴a=4，b=6，c=8，
∴a+2b+c=4+12+8=24
【点睛】
本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
12．
【解析】
【分析】
由于AC⊥BC，CD⊥AB，可得一组对应角相等，进而可证得，因此可证得△BCD∽△CAD，列出比例式可求CD．
【详解】
解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴，
∴,
,
∴,
∴△BCD∽△CAD,
∴,
∴,
∵AD=4，BD=2，
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形性质和判定的应用，解题的关键是推出△BCD∽△CAD.
13．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．
【详解】
解：由图可得，，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．
可添加条件：，则．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
14．5
【解析】
【分析】
由∠EHC＝∠BHF，∠CEH＝∠FBH＝90°可判定△ECH∽△BFH，从而得到∠ECH＝∠BFH；作辅助线可证明四边形ENBM是正方形，根据正方形的性质得EM＝EN，由角角边可证明△EMC≌△ENF，得CM＝FN；因DE＝4BE，△BEM∽△BDC，△BEN∽△BDA和线段的和差可求出正方形ABCD的边长．
【详解】
解：如图所示：

过点E作EM⊥BC，EN⊥AB，分别交BC、AB于M、N两点，
且EF与BC相交于点H．
∵EF⊥CE，∠ABC＝90°，∠ABC+∠HBF＝180°，
∴∠CEH＝∠FBH＝90°，
又∵∠EHC＝∠BHF，
∴△ECH∽△BFH（AA），
∴∠ECH＝∠BFH，
∵EM⊥BC，EN⊥AB，四边形ABCD是正方形，
∴四边形ENBM是正方形，
∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENF＝90°，
在△EMC和△ENF中
,
∴△EMC≌△ENF（AAS）
∴CM＝FN，
∵EM∥DC，∴△BEM∽△BDC，
∴．
又∵DE＝4BE，
∴，
同理可得：，
设BN＝a，则AB＝5a，CM＝AN＝NF＝4a，
∵AF＝8，AF＝AN+FN，
∴8a＝8
解得：a＝1，
∴AB＝5
故答案为：5
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，线段的和差等综合知识，重点是掌握三角形相似和全等的判定的方法，难点是作辅助线构建两个三角形全等．
15．
【解析】
【分析】
根据平行行线分线段成比例定理得出，进而求出AE即可．
【详解】
解：∵△ABC中，DE∥BC，
∴，
∵AB＝8，AD＝5，EC＝4，
∴，
解得：AE＝．
【点睛】
此题主要考查了平行行线分线段成比例定理，利用DE∥BC，得出是解题关键．
16．（1），，；（2）是直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）解此类含等比式的题目，解题关键是能否想到设出比例系数k，从而通过解方程组来得到a、b、c和k的值.
（2）判断△ABC的形状，通常首先想到直角三角形和等腰三角形或者等腰直角三角形，通过计算来判断出a，b，c三者之间的关系.
【详解】
解：（1）∵，
∴.
设，
则解得
又∵，
∴，解得.
∴，，.
(2)∵，
∴是直角三角形.
【点睛】
此题考查比例的性质，勾股定理的逆定理，解题关键在于利用“设k法”.
17．证明见解析.
【解析】
【分析】
先证明两三角形相似，再根据三角形相似性质证明.
【详解】
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°．
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴，
∴AD?BE＝BD?CE．
【点睛】
此题重点考察学生对两三角形相似的判定，熟练掌握两三角形相似判定方法是解题的关键.
18．油桶的油面为0.64米．
【解析】
【分析】
长1米的木杆放入油桶后，油浸到的部分为0.8米，则油桶内油面的高度和油桶的高度比值与油浸到部分和木杆长度的比值相同．
【详解】
解：如图：AC=0.8米，AB=1米，BE=0.8米，

∵EF∥BC，
∴△AFE∽△ACB，

即
解得：CF=0.64米，
∴油桶的油面为0.64米．
【点睛】
本题考查了相似三角形对应边相等在实际生活中的运用，本题中找到隐藏的相似三角形的对应边是解题的关键．
19．（1）详见解析；（2）14.
【解析】
试题分析：（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据相似三角形的性质可求.
试题解析：（1）如图所示；

（2）∵ 将放大到原来的倍后得到
∴=1:4
∴=4×3.5 =14.
20．见解析
【解析】
【分析】
先由，得出，由，得出；接下来再将上步得到的两式相加，即可得出结论.
【详解】
∵，∴，∵，∴，∴.
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例，关键是运用平行线分线段成比例的知识求解.
21．、1或6
【解析】
【分析】
分两种情况讨论，①当△ABP∽△CDP时，②　当△ABP∽△PDC时，根据对应边成比例的性质列出等式，代入数值可求出BP的长
【详解】
解：①当△ABP∽△CDP时，可得：
　
∴　　
解得；
②　当△ABP∽△PDC时，可得：

∴　　
解得.
综上所述，当BP的值为、1或6时，以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，注意要分类讨论，不要漏解.
22．（1）是；（2）见解析；（3）线段AC的长为5或或或．
【解析】
【分析】
（1）根据30°的直角三角形所对的边是斜边的一半即可判定.
(2) 延长AE交BC于G，由平行线的性质得出∠AED=∠CDF，BF=GF，再由已知得出∠CDF=∠DCB，证出DF=CF，由平行线得出CG=GF，得出BF=GF=CG，因此DF=CF=2GF=2BF，得出，即可得出结论；
(3) 先求出BC=3，按线段比分四种情况；在“半生三角形”中分别求出BD的长，再由勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：（1）是半生三角形,
理由如下：∵∠B=90°，，
∴∠CAB=30°，
∴
∴是半生三角形,
（2）证明：延长AE交BC于G，如图所示：

∵DF∥AE，D是AB的中点，
∴∠AED=∠CDF，BF=GF，
∵∠AED=∠DCB，
∴∠CDF=∠DCB，
∴DF=CF，
∵DF∥AE，E是CD的中点，
∴CG=GF，
∴BF=GF=CG，
∴DF=CF=2GF=2BF，
∴.
,
是“半生三角形”.
（3）解：由（2）得BC=3BF=3
当是“半生三角形”，且时，有：
①当时，则，
.
，，
.
②当时，则，
.
，，，
==
③当时，则，
，，
.
④当时，则，
，，
.
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了数学学习能力，灵活运用“半生三角形”的性质与判定是解题的关键，分类讨论思想的应用是解题难点；本题综合性强，有一定难度．
23．（1）；（2）；（3）存在. （4）不存在，详见解析。
【解析】
【分析】
根据题意可知（1）根据勾股定理可得出BE的值，再由平行线分线段成比例可得出答案。（2）根据三角形相似对应边成比例可得到BF与PF的值，再利用面积的和得出结论。（3）先求出梯形BCDE的面积，进而得到四边形BCQP的面积，建立方程联系进行求解（4）分别讨论当点P在点O上方和下方两种情况，利用平行线分线段成比例，建立联系，进行证明。
【详解】
解：（1）由题意，得，，.
在Rt△ABE中，，，
∴.
则.若.则，即，∴.
（2）如图，过点P作，则，

∴.
又∵，
∴.
∴，即，
∴，.
∴.
∴.
.
∴y与t的函数关系式为.
（3）存在.由题意，得
.
∵，
∴，
解得（舍去），，∴当时，四边形PBCQ的面积是四动形PQDE的面积的4倍.
（4）不存在.理由：
①当点P在点O上方，点Q在点O下方时，如图1，延长QO至点Q'易得，

过点P作于点M，
∴，∴，即..
∵，但实际，∴此时不存在.
②当点P在点O下方，点Q在点O上方时，如图2，延长QO交AB于点Q'，作于点G，于点H.

则，.
∵，
∴，.
易证，
∴，
，
易证，
∴，
∴，即，
∴，∴方程无解，∴不存在.
综上所述，不存在某一时刻t，使P，O，Q在同一直线上.
【点睛】
本题综合性较强，做该类试题时，应该充分利用题干信息，灵活运用所学几何性质定理，且辅助线务必正确简明，分情况讨论，不漏解。
答案第1页，总2页
答案第1页，总2页