24.1圆的有关性质 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
2．用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E均在⊙O上，若∠ACD＝40°，则∠BED的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
6．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦．②半圆所对的圆周角是直角．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点且不与点A、B重合．若OP的长为整数，则符合条件的点P有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题）
9．已知在半径为5的⊙O中，弦AB的长为6，那么圆心O到AB的距离为 ．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，外角∠DCE＝85°，则∠BAD＝ ．
11．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
12．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为 ．
13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AO＝4，那么CD的长为 ．
14．如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO+EB＝ ．（用数字表示）
三．解答题（共4小题）
15．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处是否会受到噪音影响？若受到影响，求出影响的时间，若不受到影响，请说明理由．
16．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
17．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．
（1）求∠AOG的度数；
（2）若AB＝2，求CD的长．
18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求BD的长．
24.1圆的有关性质 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．
故选：D．
2．用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的（ ）
A． B．
C． D．
解：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确，其他均不正确；
故选：C．
3．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：∵CD为直径，CD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠C，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AFO＝∠CEO＝90°，
在△AFO和△CEO中
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴∠C＝∠A，
∴∠AOD＝2∠A，
∵∠AFO＝90°，
∴∠A＝30°，
∵AO＝1，
∴OF＝AO＝，AF＝OF＝，
同理CE＝，OE＝，
连接OB，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，
∴由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝，
∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+＝，
故选：C．
4．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．
5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E均在⊙O上，若∠ACD＝40°，则∠BED的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
解：∵AB为⊙O的直径，
∴的度数是180°，
∵∠ACD＝40°，
∴的度数是80°，
∴的度数是100°，
∴∠BED＝＝50°，
故选：A．
6．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
解：连接OC．
∵∠DOB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∵＝，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴＝，
∴OD⊥AC，设OA＝r，则OE＝r＝DE＝1，
∴OA＝2，
∴AE＝＝，
故选：A．
7．下列说法正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦．②半圆所对的圆周角是直角．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，①错误；
②半圆所对的圆周角是直角，②正确；
③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，③正确；
④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，④错误；
⑤圆内接平行四边形是矩形，⑤正确；
故选：C．
8．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点且不与点A、B重合．若OP的长为整数，则符合条件的点P有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：连接OA，作OC⊥AB于C，
则AC＝AB＝4，
由勾股定理得，OC＝＝3，
则3≤OP＜5，
OP＝3有一种情况，OP＝4有两种情况，
则符合条件的点P有3个，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．已知在半径为5的⊙O中，弦AB的长为6，那么圆心O到AB的距离为 4 ．
解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×6＝3，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∴OC＝＝4，
即圆心O到AB的距离为4．
故答案为：4
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，外角∠DCE＝85°，则∠BAD＝ 85° ．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD＝∠DCE＝85°，
故答案为：85°
11．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 4﹣ ．
解：连接OB，如图所示：
∵OC⊥AB，
∴BC＝AB＝3，
由勾股定理得，OC＝＝＝4，
当OD⊥AB时，点D到AB的距离的最小，
由勾股定理得，OD＝＝，
∴点D到AB的距离的最小值为：4﹣，
故答案为：4﹣．
12．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为 ．
解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝3，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，
在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，
∵＝，
∴OB⊥AF，AG＝FG，
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①
在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②
解由①②组成的方程组得到AG＝，
∴AF＝2AG＝．
故答案为．
13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AO＝4，那么CD的长为 4 ．
解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴∠OCE＝30°
∵AO＝OC＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴CE＝＝2，
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝4，
故答案为：4．
14．如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点（与C，D不重合），过B作OC的平行线交OD于点E，则EO+EB＝ 2 ．（用数字表示）
解：∵⊙O的周长为4π，
∴OD＝2，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D，
∵BE∥OC，
∴∠EBD＝∠C，
∴∠EBD＝∠D，
∴BE＝DE，
∴EO+EB＝OD＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共4小题）
15．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处是否会受到噪音影响？若受到影响，求出影响的时间，若不受到影响，请说明理由．
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，
∵∠QON＝30°，OA＝240米，
∴AC＝120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，
∵AB＝200米，AC＝120米，
∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，
∵72千米/小时＝20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20＝16（秒）．
16．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
解：（1）连结OA，
由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34；
（2）连结OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16．
∴A′B′＝32．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
17．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．
（1）求∠AOG的度数；
（2）若AB＝2，求CD的长．
解：（1）连接OD，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BOC＝∠BOD，
由圆周角定理得，∠A＝∠BOD，
∴∠A＝∠BOD，
∵∠AOG＝∠BOD，
∴∠A＝∠AOG，
∵∠OFA＝90°，
∴∠AOG＝60°；
（2）∵∠AOG＝60°，
∴∠COE＝60°，
∴∠C＝30°，
∴OE＝OC＝，
∴CE＝＝，
∵AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝．
18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求BD的长．
解：（1）△ABC为等腰三角形．
理由如下：连结AE，如图，
∵，
∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵∠C+∠CAE＝90°，∠ABC+∠BAE＝90°，
∴∠C＝∠ABC，
∴AC＝AB，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴，
在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，
∴AE＝＝＝8，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴，
∴，
