24.2点和圆、直线和圆的位置关系 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列有关圆的一些结论，其中正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝40°，∠ABC的平分线交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）
A．85° B．95° C．100° D．105°
4．用反证法证明命题“三角形中至少一个内角不大于60°，首先应假设这个三角形中（ ）
A．没有一个角不小于60° B．没有一个角不大于60°
C．所有内角不大于60° D．所有内角不小于60°
5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F是CE的中点，连接DF．则下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠ABE B．
C．BD＝DC D．DF是⊙O的切线
6．已知，⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．平行
7．如图示，⊙O内切于△ABC，切点分别为点D，点E，点F已知AB＝BC，∠B＝40°，连结DE，EF，则∠DEF的度数为（ ）
A．40° B．55° C．65° D．70°
8．如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
二．填空题（共6小题）
9．已知等腰三角形ABC的三个顶点都在直径为10的⊙O上，如果圆心O到BC的距离为3，那么三角形ABC的面积为 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是 ．
11．圆的半径为5cm，如果圆心到直线的距离为3cm，那么直线与圆有公共点的个数是 ．
12．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为 ．
13．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为 ．
14．我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是 步．
三．解答题（共4小题）
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°．
（1）求证CG与圆O的关系．
（2）求线段GF的长度．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．
17．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．
18．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝ 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为 ．
24.2点和圆、直线和圆的位置关系 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，
∴OP＜2．
故选：A．
2．下列有关圆的一些结论，其中正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意．
故选：D．
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝40°，∠ABC的平分线交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（ ）
A．85° B．95° C．100° D．105°
解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝45°，
由圆周角定理得，∠D＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠D＝180°﹣45°﹣40°＝95°，
故选：B．
4．用反证法证明命题“三角形中至少一个内角不大于60°，首先应假设这个三角形中（ ）
A．没有一个角不小于60° B．没有一个角不大于60°
C．所有内角不大于60° D．所有内角不小于60°
解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”时，
首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°，
故选：D．
5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F是CE的中点，连接DF．则下列结论错误的是（ ）
A．∠A＝∠ABE B．
C．BD＝DC D．DF是⊙O的切线
解：连接OD，AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AD⊥BC；
而在△ABC中，AB＝AC，
∴AD是边BC上的中线，
∴BD＝DC（C选项正确）；
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，∠BAD＝∠CAD，
∴＝，（B选项正确）
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵F是CE的中点，
∴DF是△BEC的中位线，
∴DF∥BE
∴DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线（D选项正确）；
只有当△ABE是等腰直角三角形时，∠A＝∠ABE＝45°，
故A选项错误，
故选：A．
6．已知，⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．平行
解：∵x2﹣5x﹣6＝0
∴x1＝﹣1，x2＝6
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，
∴r＝6
∵d＜r
∴直线l与⊙O的位置关系是相交
故选：A．
7．如图示，⊙O内切于△ABC，切点分别为点D，点E，点F已知AB＝BC，∠B＝40°，连结DE，EF，则∠DEF的度数为（ ）
A．40° B．55° C．65° D．70°
解：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°，
连接OD、OF，
∵O内切于△ABC，切点分别为点D，点E，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，
∴∠ADO＝∠AFO＝90°，
∴∠DOF＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°，
∴∠DEF＝DOF＝55°．
故选：B．
8．如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
解：过D作DM⊥AB于M，连接BD，如图，
由题意：B（8，0），C（0，﹣6），
∴OB＝8，OC＝6，BC＝10，
则由三角形面积公式得，×BC×DM＝×OB×DC，
∴10×DM＝64，
∴DM＝6.4，
∴圆D上点到直线y＝x﹣6的最小距离是6.4﹣2＝4.4，
∴△ABC面积的最小值是 ×10×4.4＝22，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．已知等腰三角形ABC的三个顶点都在直径为10的⊙O上，如果圆心O到BC的距离为3，那么三角形ABC的面积为 32或8 ．
解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D，
∵AB＝AC，O为外心，
∴AD⊥BC，
在Rt△BOD中，
∵OB＝5，OD＝3，
∴BD＝＝＝4．
∴AD＝5+3＝8，BC＝2BD＝8，
∴三角形ABC的面积＝×8×8＝32；
当△ABC是钝角或直角三角形时，如图2所示，连接AO交BC于点D，
在Rt△BOD中，
∵OB＝5，OD＝3，
∴BD＝＝＝4，
∴AD＝5﹣3＝2，BC＝2BD＝8，
∴三角形ABC的面积＝×2×8＝8
故答案为：32或8．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是 ．
解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝AD＝1，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤1+，
∴BM≤，
∴BM的最大值为．
11．圆的半径为5cm，如果圆心到直线的距离为3cm，那么直线与圆有公共点的个数是 2 ．
解：∵圆的半径为5cm，圆心到一条直线的距离是3cm，
3＜5，
即半径大于圆心到直线的距离，
∴直线与圆的位置关系是相交，
即直线与圆有2个交点．
故答案为：2
12．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为 75° ．
解：如图，分别连接OA、OB，
∵OA＝OB＝，AB＝2，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAO＝15°，
∵AC′与圆相切，
∴∠C′AO＝90°，
∴∠CAC′＝75°，
∴当边AC第一次与圆相切时，旋转角为75°，
故答案为：75°．
13．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为 130° ．
解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝130°．
故答案为：130°．
14．我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是 6 步．
解：根据勾股定理得：斜边＝＝17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝＝3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
三．解答题（共4小题）
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°．
（1）求证CG与圆O的关系．
（2）求线段GF的长度．
（1）证明：连接OC．
∵OC＝OD，∠D＝30°，
∴∠OCD＝∠D＝30°．
∵∠G＝30°，
∴∠DCG＝180°﹣∠D﹣∠G＝120°．
∴∠GCO＝∠DCG﹣∠OCD＝90°．
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半径．
∴CG是⊙O的切线．
（2）∵∠D＝∠G＝30°
∴CG＝CD
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝CD＝3．
∵在Rt△OCE中，∠CEO＝90°，∠OCE＝30°，
∴EO＝CO，CO2＝EO2+CE2．
设EO＝x，则CO＝2x．
∴（2x）2＝x2+32．
解得x＝（舍负值）．
∴CO＝2．
∴FO＝2．
在△OCG中，∵∠OCG＝90°，∠G＝30°，
∴GO＝2CO＝4．
∴GF＝GO﹣FO＝2．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．
（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴BD＝AB＝＝4．
17．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．
（1）证明：连接OD，如图，
∵BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠OAD，
即AD平分∠BAC；
（2）∵AD平分∠BAC，∠CAD＝25°，
∴∠FAE＝2∠CAD＝50°，
∵AE＝2，
∴OE＝1，
∴的长为．
18．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝ 60° 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为 ．
证明（1）∵AB＝AC，AC＝CD
∴∠ABC＝∠ACB，∠CAD＝∠D
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝2∠CAD
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD
∵∠CAD＝∠EBC，且∠ABC＝∠ABE+∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠CAD，
∵∠ABE＝∠ACE
∴∠CAD＝∠ACE
∴CE＝AE
（2）①当∠ABC＝60°时，四边形AOCE是菱形；
理由如下：
如图，连接OE
∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE
∴△AOE≌△EOC（SSS）
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠ABC＝60°
∴∠AOC＝120°
∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC
∴△AOE，△COE都是等边三角形
∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，
∴四边形AOCE是菱形
故答案为：60°
②如图，过点C作CN⊥AD于N，
∵AE＝，AB＝，
∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD
∴AN＝DN
在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①
在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②
∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，
∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，
∴EN＝
∴AN＝AE+EN＝＝DN
∴DE＝DN+EN＝
故答案为：
