24.3正多边形和圆 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．已知正六边形的边心距是，则正六边形的边长是（ ）
A．4 B． C． D．
2．有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则∠1的值是（ ）
A．15° B．18° C．20 D．9°
3．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图，用八根长为4cm的铁丝，首尾相接围成一个正八边形（接点不固定）要将它的四边按图中的方式向内等距离移动acm，同时去掉另外四根长为4cm的铁丝（虚线部分）得到一个正方形，则a的值为（ ）
A．4cm B．2cm C．2cm D．cm
5．边长相等的正方形与正六边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
6．边长为2的正六边形ABCODE按如图方式摆放在平面直角坐标系中，若正比例函数y＝kx的图象经过点儿A，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连结G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（ ）
A．6≤C≤6 B．6≤C≤4 C．3≤C≤6 D．3≤C≤6
二．填空题（共6小题）
9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD＝ ．
10．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为 ．
11．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心点，点M和点N分别在AB和DE上，且AM＝DN，则∠MON的大小为 度．
12．在正六边形ABCDEF中，若边长为3，则正六边形ABCDEF的边心距为 ．
13．如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，这个正六边形的面积为 ．
14．如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是 ．
三．解答题（共4小题）
15．如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB＝1，求BF．
16．如图，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）
17．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．
18．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 ；图2中，∠APN的度数是 ，图3中∠APN的度数是 ．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
24.3正多边形和圆 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知正六边形的边心距是，则正六边形的边长是（ ）
A．4 B． C． D．
解：∵正六边形的边心距为2，
∴OB＝2，∠OAB＝60°，
∴AB＝＝＝2，
∴AC＝2AB＝4．
故选：A．
2．有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则∠1的值是（ ）
A．15° B．18° C．20 D．9°
解：正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，
正方形的内角是90°，
则∠1＝108°﹣90°＝18°．
故选：B．
3．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值为（ ）
A．1 B． C． D．
解：∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠1＝30°（如图），
∴a＝2cos∠1＝，
∴a＝2．
故选：D．
4．如图，用八根长为4cm的铁丝，首尾相接围成一个正八边形（接点不固定）要将它的四边按图中的方式向内等距离移动acm，同时去掉另外四根长为4cm的铁丝（虚线部分）得到一个正方形，则a的值为（ ）
A．4cm B．2cm C．2cm D．cm
解：如图，由题意可知：△ABC是等腰直角三角形，AB＝4，AC＝BC＝a．
则有：a2+a2＝42，
解得：a＝2或﹣2（舍去），
故选：C．
5．边长相等的正方形与正六边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正方形的每个内角都等于90°，
故∠BAC＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝15°．
故选：B．
6．边长为2的正六边形ABCODE按如图方式摆放在平面直角坐标系中，若正比例函数y＝kx的图象经过点儿A，则k的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
解：由题意A（﹣2，2），
把A（﹣2，2）代入y＝kx，
得到2＝﹣2k，
∴k＝﹣，
故选：B．
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选：A．
8．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连结G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（ ）
A．6≤C≤6 B．6≤C≤4 C．3≤C≤6 D．3≤C≤6
解：根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK的．
∵GK的最大值为3，GK的最小值为，
∴阴影部分的正六边形的边长的最大值为1，最小值为，
∴图中阴影部分的周长C的取值范围为：3≤C≤6．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD＝ 36° ．
解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BAE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，BC＝CD＝DE，
∴，
∴∠CAD＝×108°＝36°；
故答案为：36°．
10．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为 ．
解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，
所以原来的纸带宽度＝×2＝．
故答案为：．
11．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心点，点M和点N分别在AB和DE上，且AM＝DN，则∠MON的大小为 135 度．
解：连接OA、OB、OC、OD；
∵正八边形是中心对称图形，
∴中心角为360°÷8＝45°；
∴∠OAM＝∠ODN＝67.5°，
∵OA＝OD，∠OAM＝∠ODN，AM＝DN，
∴△OAM≌△ODN（SAS），
∴∠AOM＝∠DON，
∴∠MON＝∠MOB+∠BOC+∠COD+∠NOD＝3∠AOB＝135°，
故答案为：135．
12．在正六边形ABCDEF中，若边长为3，则正六边形ABCDEF的边心距为 ．
解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，
连接OA，OB，
则△OAB是等边三角形，
过O作OH⊥AB于H，
∴∠AOH＝30°，
∴OH＝AO＝，
故答案为：．
13．如图，把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，这个正六边形的面积为 6 ．
解：∵六边形DFHKGE是正六边形，
∴∠EDF＝∠DFH＝∠FHK＝∠KGE＝∠GED＝120°，DE＝DF，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，
同理：BH＝BF＝FH，
∴AD＝DF＝BF＝2，
∴S正六边形DFHKGE＝6S△ADE＝6××22＝6，
故答案为：6．
14．如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是 2﹣ ．
解：设OE交DF于N，如图所示：
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，
∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，
∴△ONF是等腰直角三角形，
∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，
∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，
∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠MEN＝45°，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∴MN＝EN，
∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，
∴△MEF的面积＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；
故答案为：2﹣．
三．解答题（共4小题）
15．如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若AB＝1，求BF．
解：在正五边形ABCDE中，∵∠ABC＝∠DCB＝108°，BC＝BA＝CD，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CDB＝∠CBD＝36°，
∴∠ABF＝72°，
∴∠AFB＝∠CBD+∠ACB＝72°，
∴∠AFB＝∠ABF，∠FCB＝∠FBC，
∴AF＝AB＝1，FB＝CF，设FB＝FC＝x，
∵∠BCF＝∠BCA，∠CBF＝∠CAB，
∴△BCF∽△ACB，
∴CB2＝CF?CA，
∴x（x+1）＝1，
∴x2+x﹣1＝0，
∴x＝或（舍去），
∴BF＝．
16．如图，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）
解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，
如图，连接OE、OA，
则OA2﹣OE2＝AE2，即R2﹣r2＝（）2＝（）2＝4，
S圆环＝S大圆﹣S小圆＝πR2﹣πr2，（2分）
＝π（R2﹣r2），（3分）
∵R2﹣r2＝（）2＝4，（5分）
∴S＝4π（cm2）． （6分）
17．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．
（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝＝120°；
（2）证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH，
在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△BOH（SAS）
∴OG＝OH．
18．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 60° ；图2中，∠APN的度数是 90° ，图3中∠APN的度数是 108° ．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；
同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
