23.1.2 平行线分线段成比例 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 23.1.2 平行线分线段成比例 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-18 18:39:52 | ||
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文档简介
初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.1.2 平行线分线段成比例
一、单选题
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（??? ）21cnjy.com
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（??? ） 2·1·c·n·j·y
A.?1???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?4
3.如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（?? ）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
4.如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（?? ）
A.??????????????????????B.?＝ ?????????????????????C.?＝ ?????????????????????D.?＝
5.哥哥身高 米，在地面上的影子长是 米，同一时间测得弟弟的影子长 米，则弟弟身高是（ ???）
A.?1.44米????????????????????????????????B.?1.52米????????????????????????????????C.?1.96米????????????????????????????????D.?2.25米
6.如图l1∥l2∥l3 ， 若 ，DF＝10，则DE＝(?? )
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
二、填空题
7.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC上从左到右一次取点D1、D2、D3、D4…；过点D1作AB、AC的平行线分别交于AC、AB与点E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）=________.【来源：21·世纪·教育·网】
8.如图， ，直线a、b与 、 、 分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若 ， ， ，则 ________. www-2-1-cnjy-com
9.如图L4 ， L5被一组平行线L1 ， L2 ， L3所截，显然三条平行线不是等距的，若 ，则 为________. 21*cnjy*com
10.在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为________. 【来源：21cnj*y.co*m】
11.如图，矩形ABCD的面积为2016，E、F、G、H分别是边AB,CD的三等分点，则图中阴影四边形的面积为________;若AB·BC=2016，AD:AB=8:9，则阴影四边形的周长为________.【版权所有：21教育】
三、解答题
12.如图，为了测量一栋楼的高度 ,小明同学先在操场上 处放一面镜子，向后退到 处,恰好在镜子中看到楼的顶部 ；再将镜子放到 处，然后后退到 处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部 （ 在同一条直线上）.测得 , ,如果小明眼睛距地面高度 为 ，试确定楼的高度 . 21教育名师原创作品
四、综合题
13.如图，在 中，点 是边 上的一点.
（1）请用尺规作图法，在 内，求作 ，使 ， 交 于 ；（不要求写作法，保留作图痕迹） 21*cnjy*com
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的值.
14.正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，点F在CD上，且CF＝BE，AE与BF交于G点.
（1）如图1，求证：①AE＝BF，②AE⊥BF.
（2）连接CG并延长交AB于点H，
①若点E为BC的中点（如图2），求BH的长；
②若点E在BC的边上滑动（不与B、C重合），当CG取得最小值时，求BE的长.
答案解析部分
一、单选题
1. C
分析：解：A.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
故错误，A不符合题意；
B.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
故错误，B不符合题意；
C.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ = ，
故正确，C符合题意；
D.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ = ，
即 = ，
故错误，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线截线段成比例逐一分析即可判断对错，从而可得答案.
2. C
分析：解：如图，延长FH交AB于点M，
∵BE＝2AE，DF＝2FC，AB=AE+BE，CD=CF+DF，
∴AE：AB=1：3，CF：CD=1：3，
又∵G、H分别是AC的三等分点，
∴AG：AC=CH：AC=1：3，
∴AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，
∴EG//BC，FH//AD，
∴△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，BM：AB=CF：CD=1：3，∠EMH=∠B，
∴EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，
∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，
∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，
∴EM=3-1-1=1，EG=FH，
∴EG FH，
∴四边形EHFG为平行四边形，
∴S四边形EHFG＝2×1=2，
故答案为：C。
【分析】如图，延长FH交AB于点M，根据线段之间的关系可以得出AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，根据平行线分线段成比例定理的逆用得出EG//BC，FH//AD，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得出EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，根据矩形的性质进而即可得出EG=2,HF=2，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EHFG为平行四边形，进而根据平行四边形面积的计算方法即可算出答案。www.21-cn-jy.com
3. C
分析：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得， 代入数据求出AE的长，由AC=AE+EC求出AC的长即可.2-1-c-n-j-y
4. A
分析：解：∵AB∥CD∥EF，
∴ = ，
∴A符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：。
5. A
分析：解：设弟弟的身高是xm
则
解得：x=1.44
故答案为：A.
【分析】设弟弟的身高是xm，根据同一时刻，同一地点，同一平面不同物体的高度与影长成比例列出方程，求解即可。【出处：21教育名师】
6. B
分析：解：由题意得 ，则DE= ，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出， 根据比例式即可求出答案。
二、填空题
7. 40380
分析：∵D1E1∥AB? ?D1F1∥AC
∴ ??
∵AB=5?? AC=4
∴ ??? ??
∴
∴4D1E+5D1F=20?
有2019组，即2019×20=40380
故答案为： 40380 。 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ?? 然后根据等式的性质，将两个等式相加即可得出4D1E+5D1F=20 ，进而利用乘法分配律及加法结合律可知整个代数式共有2019组20，从而根据有理数的乘法法则即可算出答案。
8. 4
分析：解：∵ ，
∴ ，
又 ， ， ，
∴ 。
故答案为：4。
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ，由比例式即可建立方程，求解即可得出EF的长。
9.
分析：解：∵L1∥L2∥L3 ，
，
故答案为： .
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.
10.
分析：解：如图，设AH＝x，GB＝y，
∵EH∥BC，
，
∵FG∥AC，
，
由①②可得x＝ ，y＝2，
∴AC＝ ，BC＝7，
∴S△ABC＝ ，
故答案为 .
【分析】设AH＝x，GB＝y，再利用平行线分线段成比例定理，由EH∥BC，FG∥AC，可得出对应线段成比例，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，从而可求出AC，BC的值，然后利用直角三角形的面积公式就可求出△ABC的面积。21·cn·jy·com
11. 168；20
分析：解：连接KI，连接JL，并延长交AB、CD于点M、N，连接FG ∵矩形ABCD ∴AB∥CD ∵ E、F、G、H分别是边AB,CD的三等分点 ∴AE=AB，CG=CD， ∴AE=CG，AE∥CG ∴△AECG是平行四边形 ∴AG∥CE 同理可证：DF∥BH ∴四边形IJKL是平行四边形 ∵AF=DG，AF∥DG，∠FAD=90° ∴四边形AFGD是矩形， ∴IA=ID=IG=IF ∵AI∥EJ ∴即IJ=FI 同理可证IL=GI ∴JL是△IFG的中位线 ∴JL=FG=BC ∴IJ=IL ∴四边形IJKL是菱形, ∴JL⊥IK， ∵IK=AE=AB ∴S菱形IJKL=IK·JL=×AB·BC=AB·BC=×2016=168； ∵AB·BC=2016，AD:AB=8:9 设AD=8x，AB=9x ∴72x2=2016 解之：x= ∴IK=AB=， JL=BC= ∴IO=JL=， LO=IK= 在Rt△ILO中，IL= ∴菱形IJKL的周长为：4×= 故答案为：168； 【分析】连接KI，连接JL，并延长交AB、CD于点M、N，连接FG，利用矩形的性质及已知E、F、G、H分别是边AB,CD的三等分点，易证△AECG是平行四边形，再证明四边形IJKL是平行四边形，四边形AFGD是矩形，利用平行线分线段成比例定理及三角形中位线定理，可证得IJ=IL，从而可证得四边形IJKL是菱形，再证明JL=BC，IK=AB，然后利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，就可求出阴影部分的面积；由已知AB·BC=2016，AD:AB=8:9，设AD=8x，AB=9x，列方程求出x的值，从而可求出IO、LO的长，再利用勾股定理求出IL的长，然后利用菱形的性质，就可求出阴影部分的周长。
三、解答题
12. 解：设 关于点 的对称点为 ,由光的反射定律知，延长 相交于 ，??
连接 并延长交 于 ,
∥ , ∽ ,
,
即 ,
,
.
答：楼的高度 为32米。
【解析】【分析】根据光的反射定律作出相关光路图，因为GF∥AC，利用三角形相似分别列比例式。因为根据平面镜成像特点，像和物是等大的，找出有关相等的线段，进行一系列相关的等量代换，使关系式用用已知线段表示，代入已知数据，得出楼的高度。21·世纪*教育网
四、综合题
13. （1）解：如图所示；
（2）解：∵ ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】（1）利用尺规，依次找到角的对应点，画出角即可。 （2）根据两线平行、两角相等，可得到对应的边成比例，得到比值。21教育网
14. （1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABE和△BCF中， ，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF；
②由①得：△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AE⊥BF
（2）解：①如图2所示：
∵E为BC的中点，
∴CF＝BE＝ BC＝2，
∴BF ，
由（1）得：AE⊥BF，
∴∠BGE＝∠ABE＝90°，
∵∠BEG＝∠AEB，
∴△BEG∽△AEB，
∴ ，
设GE＝x，则BG＝2x，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝22 ，
解得：x＝ ，
∴BG＝2× ，
∵AB∥CD，
∴ ，即 ，
解得：BH＝ ；
②由（1）得：∠AGB＝90°，
∴点G在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为M，
由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：
∵AE⊥BF，
∴∠AGB＝90°，
∴GM＝ AB＝BM＝2，
∵AB∥CD，
∴ ＝1，
∴CF＝CG，
∵CF＝BE，
∴CF＝CG＝BE，
设CF＝CG＝BE＝a，则CM＝a+2，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42＝（a+2）2 ，
解得：a＝2 ﹣2，即
当CG取得最小值时，BE的长为2 ﹣2.
【解析】【分析】（1）①由正方形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，结合已知用边角边可证△ABE≌△BCF，由全等三角形的性质即可求解； ②由①中放入全等三角形可得∠BAE＝∠CBF，结合∠CBF+∠ABF＝90°可证∠AGB＝90°，由垂线的定义即可求解； （2）①由直角三角形的性质得CF＝BE＝BC，用勾股定理求得BF得值，由（1）的结论得：AE⊥BF，则∠BGE＝∠ABE＝90°，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证△BEG∽△AEB，由相似三角形的性质可得比例式， 设GE＝x，则BG＝2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得关于x的方程，解方程求得BG的值，由平行线分线段成比例定理得比例式， 将已知的线段代入比例式计算即可求得BH的长； ②由（1）的结论得：∠AGB＝90°，根据点与圆的位置关系知：点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，则GM＝AB＝BM，由平行线分线段成比例定理得比例式， 结合已知可得CF＝CG＝BE，设CF＝CG＝BE＝a，则CM＝a＋2，在Rt△BCM中，由勾股定理得关于a的方程，解方程即可求解．21世纪教育网版权所有
一、单选题
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（??? ）21cnjy.com
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（??? ） 2·1·c·n·j·y
A.?1???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?4
3.如图，在 中， ， ， ， ，则 的长为（?? ）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
4.如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（?? ）
A.??????????????????????B.?＝ ?????????????????????C.?＝ ?????????????????????D.?＝
5.哥哥身高 米，在地面上的影子长是 米，同一时间测得弟弟的影子长 米，则弟弟身高是（ ???）
A.?1.44米????????????????????????????????B.?1.52米????????????????????????????????C.?1.96米????????????????????????????????D.?2.25米
6.如图l1∥l2∥l3 ， 若 ，DF＝10，则DE＝(?? )
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
二、填空题
7.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC上从左到右一次取点D1、D2、D3、D4…；过点D1作AB、AC的平行线分别交于AC、AB与点E1、F1；过点D2作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交于AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）=________.【来源：21·世纪·教育·网】
8.如图， ，直线a、b与 、 、 分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若 ， ， ，则 ________. www-2-1-cnjy-com
9.如图L4 ， L5被一组平行线L1 ， L2 ， L3所截，显然三条平行线不是等距的，若 ，则 为________. 21*cnjy*com
10.在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为________. 【来源：21cnj*y.co*m】
11.如图，矩形ABCD的面积为2016，E、F、G、H分别是边AB,CD的三等分点，则图中阴影四边形的面积为________;若AB·BC=2016，AD:AB=8:9，则阴影四边形的周长为________.【版权所有：21教育】
三、解答题
12.如图，为了测量一栋楼的高度 ,小明同学先在操场上 处放一面镜子，向后退到 处,恰好在镜子中看到楼的顶部 ；再将镜子放到 处，然后后退到 处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部 （ 在同一条直线上）.测得 , ,如果小明眼睛距地面高度 为 ，试确定楼的高度 . 21教育名师原创作品
四、综合题
13.如图，在 中，点 是边 上的一点.
（1）请用尺规作图法，在 内，求作 ，使 ， 交 于 ；（不要求写作法，保留作图痕迹） 21*cnjy*com
（2）在（1）的条件下，若 ，求 的值.
14.正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，点F在CD上，且CF＝BE，AE与BF交于G点.
（1）如图1，求证：①AE＝BF，②AE⊥BF.
（2）连接CG并延长交AB于点H，
①若点E为BC的中点（如图2），求BH的长；
②若点E在BC的边上滑动（不与B、C重合），当CG取得最小值时，求BE的长.
答案解析部分
一、单选题
1. C
分析：解：A.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
故错误，A不符合题意；
B.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
故错误，B不符合题意；
C.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ = ，
故正确，C符合题意；
D.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ = ，
即 = ，
故错误，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线截线段成比例逐一分析即可判断对错，从而可得答案.
2. C
分析：解：如图，延长FH交AB于点M，
∵BE＝2AE，DF＝2FC，AB=AE+BE，CD=CF+DF，
∴AE：AB=1：3，CF：CD=1：3，
又∵G、H分别是AC的三等分点，
∴AG：AC=CH：AC=1：3，
∴AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，
∴EG//BC，FH//AD，
∴△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，BM：AB=CF：CD=1：3，∠EMH=∠B，
∴EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，
∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，
∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，
∴EM=3-1-1=1，EG=FH，
∴EG FH，
∴四边形EHFG为平行四边形，
∴S四边形EHFG＝2×1=2，
故答案为：C。
【分析】如图，延长FH交AB于点M，根据线段之间的关系可以得出AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，根据平行线分线段成比例定理的逆用得出EG//BC，FH//AD，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得出EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，根据矩形的性质进而即可得出EG=2,HF=2，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EHFG为平行四边形，进而根据平行四边形面积的计算方法即可算出答案。www.21-cn-jy.com
3. C
分析：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得， 代入数据求出AE的长，由AC=AE+EC求出AC的长即可.2-1-c-n-j-y
4. A
分析：解：∵AB∥CD∥EF，
∴ = ，
∴A符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：。
5. A
分析：解：设弟弟的身高是xm
则
解得：x=1.44
故答案为：A.
【分析】设弟弟的身高是xm，根据同一时刻，同一地点，同一平面不同物体的高度与影长成比例列出方程，求解即可。【出处：21教育名师】
6. B
分析：解：由题意得 ，则DE= ，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出， 根据比例式即可求出答案。
二、填空题
7. 40380
分析：∵D1E1∥AB? ?D1F1∥AC
∴ ??
∵AB=5?? AC=4
∴ ??? ??
∴
∴4D1E+5D1F=20?
有2019组，即2019×20=40380
故答案为： 40380 。 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ?? 然后根据等式的性质，将两个等式相加即可得出4D1E+5D1F=20 ，进而利用乘法分配律及加法结合律可知整个代数式共有2019组20，从而根据有理数的乘法法则即可算出答案。
8. 4
分析：解：∵ ，
∴ ，
又 ， ， ，
∴ 。
故答案为：4。
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ，由比例式即可建立方程，求解即可得出EF的长。
9.
分析：解：∵L1∥L2∥L3 ，
，
故答案为： .
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.
10.
分析：解：如图，设AH＝x，GB＝y，
∵EH∥BC，
，
∵FG∥AC，
，
由①②可得x＝ ，y＝2，
∴AC＝ ，BC＝7，
∴S△ABC＝ ，
故答案为 .
【分析】设AH＝x，GB＝y，再利用平行线分线段成比例定理，由EH∥BC，FG∥AC，可得出对应线段成比例，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，从而可求出AC，BC的值，然后利用直角三角形的面积公式就可求出△ABC的面积。21·cn·jy·com
11. 168；20
分析：解：连接KI，连接JL，并延长交AB、CD于点M、N，连接FG ∵矩形ABCD ∴AB∥CD ∵ E、F、G、H分别是边AB,CD的三等分点 ∴AE=AB，CG=CD， ∴AE=CG，AE∥CG ∴△AECG是平行四边形 ∴AG∥CE 同理可证：DF∥BH ∴四边形IJKL是平行四边形 ∵AF=DG，AF∥DG，∠FAD=90° ∴四边形AFGD是矩形， ∴IA=ID=IG=IF ∵AI∥EJ ∴即IJ=FI 同理可证IL=GI ∴JL是△IFG的中位线 ∴JL=FG=BC ∴IJ=IL ∴四边形IJKL是菱形, ∴JL⊥IK， ∵IK=AE=AB ∴S菱形IJKL=IK·JL=×AB·BC=AB·BC=×2016=168； ∵AB·BC=2016，AD:AB=8:9 设AD=8x，AB=9x ∴72x2=2016 解之：x= ∴IK=AB=， JL=BC= ∴IO=JL=， LO=IK= 在Rt△ILO中，IL= ∴菱形IJKL的周长为：4×= 故答案为：168； 【分析】连接KI，连接JL，并延长交AB、CD于点M、N，连接FG，利用矩形的性质及已知E、F、G、H分别是边AB,CD的三等分点，易证△AECG是平行四边形，再证明四边形IJKL是平行四边形，四边形AFGD是矩形，利用平行线分线段成比例定理及三角形中位线定理，可证得IJ=IL，从而可证得四边形IJKL是菱形，再证明JL=BC，IK=AB，然后利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，就可求出阴影部分的面积；由已知AB·BC=2016，AD:AB=8:9，设AD=8x，AB=9x，列方程求出x的值，从而可求出IO、LO的长，再利用勾股定理求出IL的长，然后利用菱形的性质，就可求出阴影部分的周长。
三、解答题
12. 解：设 关于点 的对称点为 ,由光的反射定律知，延长 相交于 ，??
连接 并延长交 于 ,
∥ , ∽ ,
,
即 ,
,
.
答：楼的高度 为32米。
【解析】【分析】根据光的反射定律作出相关光路图，因为GF∥AC，利用三角形相似分别列比例式。因为根据平面镜成像特点，像和物是等大的，找出有关相等的线段，进行一系列相关的等量代换，使关系式用用已知线段表示，代入已知数据，得出楼的高度。21·世纪*教育网
四、综合题
13. （1）解：如图所示；
（2）解：∵ ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】（1）利用尺规，依次找到角的对应点，画出角即可。 （2）根据两线平行、两角相等，可得到对应的边成比例，得到比值。21教育网
14. （1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABE和△BCF中， ，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF；
②由①得：△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AE⊥BF
（2）解：①如图2所示：
∵E为BC的中点，
∴CF＝BE＝ BC＝2，
∴BF ，
由（1）得：AE⊥BF，
∴∠BGE＝∠ABE＝90°，
∵∠BEG＝∠AEB，
∴△BEG∽△AEB，
∴ ，
设GE＝x，则BG＝2x，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝22 ，
解得：x＝ ，
∴BG＝2× ，
∵AB∥CD，
∴ ，即 ，
解得：BH＝ ；
②由（1）得：∠AGB＝90°，
∴点G在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为M，
由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：
∵AE⊥BF，
∴∠AGB＝90°，
∴GM＝ AB＝BM＝2，
∵AB∥CD，
∴ ＝1，
∴CF＝CG，
∵CF＝BE，
∴CF＝CG＝BE，
设CF＝CG＝BE＝a，则CM＝a+2，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42＝（a+2）2 ，
解得：a＝2 ﹣2，即
当CG取得最小值时，BE的长为2 ﹣2.
【解析】【分析】（1）①由正方形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，结合已知用边角边可证△ABE≌△BCF，由全等三角形的性质即可求解； ②由①中放入全等三角形可得∠BAE＝∠CBF，结合∠CBF+∠ABF＝90°可证∠AGB＝90°，由垂线的定义即可求解； （2）①由直角三角形的性质得CF＝BE＝BC，用勾股定理求得BF得值，由（1）的结论得：AE⊥BF，则∠BGE＝∠ABE＝90°，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证△BEG∽△AEB，由相似三角形的性质可得比例式， 设GE＝x，则BG＝2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得关于x的方程，解方程求得BG的值，由平行线分线段成比例定理得比例式， 将已知的线段代入比例式计算即可求得BH的长； ②由（1）的结论得：∠AGB＝90°，根据点与圆的位置关系知：点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，则GM＝AB＝BM，由平行线分线段成比例定理得比例式， 结合已知可得CF＝CG＝BE，设CF＝CG＝BE＝a，则CM＝a＋2，在Rt△BCM中，由勾股定理得关于a的方程，解方程即可求解．21世纪教育网版权所有