第19讲 机械能 机械能守恒定律(解析版)
1．理解重力势能的概念，知道重力做功与重力势能变化的关系
2．理解弹性势能的概念，知道弹簧的弹力做功与弹性势能变化的关系
3．理解机械能守恒定律，并能应用其解决有关问题
一、重力势能和弹性势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力势能
大小
Ep＝mgh
矢标性
重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同
系统性
重力势能是物体和地球共有的
相对性
重力势能的大小与参考平面的选取有关。重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关
与重力做
功的关系
WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp，即重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量
3.弹性势能
(1)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关。
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加。
二、机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2．机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功。
3．守恒三种表达式
(1)E1＝E2(E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能)。
(2)ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减(表示系统势能的减少量等于系统动能的增加量)。
(3)ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能)。
1．[多选]一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
【答案】ABC
【解析】到达最低点前高度始终在降低，所以重力势能始终减小，A正确；绳张紧后的下落过程，伸长量逐渐增大，弹力做负功，弹性势能增大，B正确；在蹦极过程中，只有重力与系统内弹力做功，故系统机械能守恒，C正确；重力势能的改变与重力做功有关，重力做功只与始、末位置高度差有关，与零势能面的选取无关，D错误。
2．[多选]如图5-3-1所示，斜面置于光滑水平地面，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少，动能增加
B．斜面的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面组成的系统机械能守恒
【答案】AD
【解析】物体由静止开始下滑的过程其重力势能减少，动能增加，A正确；物体在下滑过程中，斜面做加速运动，其机械能增加，B错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误；对物体与斜面组成的系统，只有物体的重力和物体与斜面间的弹力做功，机械能守恒，D正确。
3．如图5-3-2所示，一根跨过光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)。a站在地面上，b从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态。当演员b摆至最低点时，a刚好对地面无压力，则演员a的质量与演员b的质量之比为( )
A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1
【答案】B
【解析】设b摆至最低点时的速度为v，b侧所拉绳子长度为l，由机械能守恒定律可得mbgl(1－cos 60°)＝mbv2，解得v＝。设b摆至最低点时绳子的拉力为FT，由牛顿第二定律得FT－mbg＝mb，解得FT＝2mbg，对演员a有FT＝mag，所以ma∶mb＝2∶1，B正确。
4．如图5-3-3所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架。在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直。放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法错误的是( )
A．A球到达最低点时速度为零
B．A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量
C．B球向左摆动所能到达的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
【答案】A
【解析】因A球质量大且处的位置高，图中三角形框架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动。摆动过程中只有小球受的重力做功，故系统的机械能守恒，B、D正确；A球到达最低点时，若设支架边长是L，A球下落的高度是L，由动能定理得2mg·－mg·＝(2m＋m)v，因而此时A球速度不为零，还要继续左摆，B球仍要继续上升，因此B球能达到的最高位置比A球的最高位置要高，A错误；C正确。
5．[多选]如图5-3-4所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是( )
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M和N组成的系统的机械能守恒
D．细绳的拉力对N做负功
【答案】BC
【解析】由于杆AB、AC光滑，所以M下降，N向左运动，细绳对N做正功，N的动能增加，机械能增加；细绳对M做负功，M的机械能减少，对M、N系统，细杆对M、N均不做功，系统机械能守恒，B、C正确。
要点一 机械能守恒的理解与判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。
(2)利用守恒条件判断。
(3)利用能量转化判断：若系统与外界没有能量交换，系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。
要点二 单个物体的机械能守恒
1．机械能守恒的三种表达式对比
守恒角度
转化角度
转移角度
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA增＝ΔEB减
物理意义
系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
注意事项
应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选取研究对象——物体。
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。
(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
要点三 多个物体的机械能守恒
(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。
(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
要点一 机械能守恒的理解与判断
例1、[多选]如图5-3-5所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
图5-3-5
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
【答案】CD
【解析】甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，其代数和为零，A、B系统机械能守恒，C正确；丁图中小球的动能不变，势能不变，则其机械能守恒，D正确。
针对训练1． [多选] 如图5-3-6所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒
C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒
D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
【答案】BC
【解析】A球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B正确；由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C正确，D错误；B球部分机械能转化给A球，所以B球和地球组成系统的机械能一定减少，A错误。
要点二 单个物体的机械能守恒
例2、如图所示，将一质量为m＝0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R＝2.5 m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计)，求：
(1)小球经过C点速度vC的大小；
(2)小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；
(3)平台末端O点到A点的竖直高度H。
【答案】(1)5 m/s (2)6.0 N (3)3.36 m
【解析】(1)小球恰好运动到C点时，重力提供向心力，
由牛顿第二定律知 mg＝m
解得vC＝＝5 m/s
(2)从B点到C点，由机械能守恒定律有 mv＋mg·2R＝mv
在B点对小球进行受力分析，由牛顿第二定律有 FN－mg＝m
联立解得vB＝5 m/s，FN＝6.0 N
(3)从A到B由机械能守恒定律有 mv＋mgR(1－cos 53°)＝mv
所以vA＝ m/s
在A点对小球进行速度的分解如图所示，
有vy＝vAsin 53°
所以H＝＝3.36 m
【总结提能】
关于机械能守恒定律的三点提醒
(1)机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
(2)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。
（3）用机械能守恒定律能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。
针对训练2．如图5?3?8所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5 m，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5 m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D的距离x(重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计)。
【答案】：1 m
【解析】设小物块质量为m，它从C点经B到达A点时速度为v。由机械能守恒有mv＝mv2＋2mgR ①
物块由A到D做平抛运动，设时间为t，水平位移为x，则
2R＝gt2 ②
x＝vt ③
由①②③式联立代入数据得x＝1 m
要点三 多个物体的机械能守恒
例3、如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2，若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】A
【解析】圆环下降3 m后的速度可以按如图所示分解，故可得vA＝vcos θ＝，A、B和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h＝3 m时，根据机械能守恒可得mgh＝MghA＋mv2＋MvA2，其中hA＝－l，联立可得＝，故A正确。
针对训练3．如图所示，装置中绳子质量、滑轮质量及摩擦均不计，两物体质量分别为m1＝m，m2＝4m，m1下端通过劲度系数为k的轻质弹簧与地面相连。
(1)系统静止时弹簧处于什么状态？形变量Δx为多少？
(2)用手托住m2，让m1静止在弹簧上，弹簧刚好无形变，然后放手，当m2下落h刚好至最低点时，弹簧的弹性势能多大？
【答案】(1)拉伸 (2)2mgh
【解析】(1)弹簧处于拉伸状态。
设绳子拉力为F
对m1，由平衡条件得F＝mg＋kΔx
对动滑轮和m2，由平衡条件得2F＝4mg
联立解得：Δx＝。
(2)当m2下落h至最低点时，m1和m2速度均为零，由机械能守恒定律得，4mgh＝mg·2h＋Ep
解得：Ep＝2mgh。
1．[多选]如图所示，一个物体以速度v0冲向竖直墙壁，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，不计任何摩擦阻力，在此过程中下列说法中正确的是( )
A．物体对弹簧做功，物体的动能增加
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹簧的弹性势能减小
D．弹簧的弹力做负功，弹簧的弹性势能增加
【答案】BD
【解析】物体压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，物体的动能减小，A、C错误，D正确；物体向墙壁运动的过程中，弹簧的弹力逐渐增大，因此运动相同的位移，克服弹力做的功越来越多，B正确。
2．小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点，( )
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
【答案】C
【解析】两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得mgL＝mv2，v＝，因LP＜LQ，则vP＜vQ，又mP＞mQ，则两球的动能无法比较，选项A、B错误；在最低点绳的拉力为F，则F－mg＝m，解得F＝3mg，因mP＞mQ，则FP＞FQ，选项C正确；向心加速度a＝＝2g，选项D错误。
3．如图所示，不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于水平地面上；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。现将b球释放，则b球着地瞬间a球的速度大小为( )
A． B．
C. D．2
【答案】A
【解析】在b球落地前，a、b两球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：3mgh＝mgh＋(3m＋m)v2，解得：v＝，故A正确。
4．如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解析：选B 设轨道半径为R，小物块从轨道上端飞出时的速度为v1，由于轨道光滑，根据机械能守恒定律有mg×2R＝mv2－mv12，小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分解有：x＝v1t,2R＝gt2，求得x＝，因此当R－＝0，即R＝时，x取得最大值，B项正确，A、C、D项错误。
5．某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示。竖直平面内的光滑轨道由倾角为θ的斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，使质量m＝0.1 kg的小球从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，取g＝10 m/s2。
(1)求圆轨道的半径R；
(2)若小球从D点水平飞出后又落到斜面上，其中最低点与圆心O等高，求θ的值。
【答案】(1)0.2 m (2)45°
【解析】(1)小球经过D点时，满足竖直方向的合力提供圆周运动的向心力，即：F＋mg＝m
从A到D的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律有：mg(H－2R)＝mv2
联立解得：F＝H－5mg
由题中给出的F-H图像知斜率
k＝ N/m＝10 N/m
即＝10 N/m
所以可得R＝0.2 m。
(2)小球离开D点做平抛运动，根据几何关系知，小球落地点越低平抛的射程越小，即题设中小球落地点位置最低对应小球离开D点时的速度最小。
根据临界条件知，小球能通过D点时的最小速度为v＝
小球在斜面上的落点与圆心等高，故可知小球平抛时下落的距离为R
所以小球平抛的射程
s＝vt＝v ＝·＝R
由几何关系可知，角θ＝45°。
答案：(1)0.2 m (2)45°
6、有一个固定的光滑直杆①，该直杆与水平面的夹角为53°，杆上套着一个质量为m＝2 kg的滑块(可视为质点)。
图5-3-11
(1)如图5-3-11甲所示，滑块从O点由静止释放，下滑了位移x＝1 m后到达P点，求滑块此时的速率；
(2)如果用不可伸长的细绳将滑块m与另一个质量为M＝2.7 kg的物块通过光滑的定滑轮相连接②，细绳因悬挂M而绷紧，此时滑轮左侧绳恰好水平，其长度L＝ m(如图5-3-11乙所示)。再次将滑块从O点由静止释放，在P点绳子与杆垂直③，求滑块滑至P点的速度大小(整个运动过程中M不会触地④，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2)。
【答案】(1)4 m/s (2)5 m/s
【解析】[答题] (1)设滑块下滑至P点时的速度为v1，由机械能守恒定律得
mgxsin 53°＝mv (3分)
解得v1＝4 m/s (2分)
(2)设滑块在运动过程中的速度为v2，M的速度为vM，如图所示，绳与直杆的夹角为θ，将v2进行分解得 vM＝v2cos θ (3分)
在P点时由几何关系得
θ＝90°，vM＝0 (2分)
由系统机械能守恒定律得
MgL(1－sin 53°)＋mgxsin 53°＝mv＋0 (4分)
解得v2＝5 m/s (2分)
课时检测
一、选择题(每小题7分，共56分)
1．[多选]一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点(在水面上方)时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略不计，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，运动员的重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
【答案】ABC
【解析】选运动员下落到最低点前，重力做正功，重力势能减小，A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加，B正确；蹦极过程中，对运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，除重力和弹力外其他力不做功，系统机械能守恒，C正确；蹦极过程中，运动员的重力势能的大小与重力势能零点的选择有关，但运动员的重力势能的改变量与重力势能零点的选择无关，D错误。
2.如图所示，具有一定初速度的物块，沿倾角为30°的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F作用，这时物块的加速度大小为4 m/s2，方向沿斜面向下，那么，在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．物块的机械能一定增加
B．物块的机械能一定减小
C．物块的机械能可能不变
D．物块的机械能可能增加也可能减小
【答案】A
【解析】机械能变化的原因是非重力、弹力做功，题中除重力外，有拉力F和摩擦力Ff做功，则机械能的变化取决于F与Ff做功大小关系。由mgsin α＋Ff－F＝ma知：F－Ff＝mgsin 30°－ma＞0，即F＞Ff，故F做正功多于克服摩擦力做功，故机械能增加，A项正确。
3．如图所示，在水平桌面上的A点有一个质量为m的物体，以初速度v0被抛出，不计空气阻力，当它到达B点时，其动能为( )
A．mv02＋mgH B．mv02＋mgh1
C．mgH－mgh2 D．mv02＋mgh2
【答案】B
【解析】选B 由机械能守恒，mgh1＝mv2－mv02，到达B点的动能mv2＝mgh1＋mv02，B正确。
4．如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为( )
A． B．
C． D．4
【答案】C
【解析】解析：选C 由机械能守恒定律ΔEp减＝ΔEk增，
即mg＝mv2，所以v＝。
5．如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g＝10 m/s2)( )
A．10 J B．15 J
C．20 J D．25 J
【答案】A
【解析】解析：选A 由h＝gt2和vy＝gt得：vy＝ m/s，
落地时，tan 60°＝可得：v0＝＝ m/s，
由机械能守恒得：Ep＝mv02，
可求得：Ep＝10 J，故A正确。
6.[多选]如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道和光滑水平轨道相切，三个小球1、2、3沿水平轨道分别以速度v1＝2、v2＝3、v3＝4水平向左冲上半圆形轨道，g为重力加速度，下列关于三个小球的落点到半圆形轨道最低点A的水平距离和离开轨道后的运动形式的说法正确的是( )
A．三个小球离开轨道后均做平抛运动
B．小球2和小球3的落点到A点的距离之比为∶2
C．小球1和小球2做平抛运动的时间之比为1∶1
D．小球2和小球3做平抛运动的时间之比为1∶1
【答案】BD
【解析】解析：选BD 设小球恰好通过最高点时的速度为v，此时由重力提供向心力，则mg＝m，得v＝
设小球能通过最高点时在轨道最低点的最小速度为v′，由机械能守恒定律得2mgR＋mv2＝mv′2，得v′＝
由于v1＝2＜v′，所以小球1不能到达轨道最高点，也就不能做平抛运动，故A、C错误。小球2和小球3离开轨道后做平抛运动，由2R＝gt2得t＝2 ，则得：小球2和小球3做平抛运动的时间之比为1∶1。故D正确。设小球2和小球3通过最高点时的速度分别为v2′和v3′。根据机械能守恒定律得：2mgR＋mv2′2＝mv22；
2mgR＋mv3′2＝mv32。
解得v2′＝，v3′＝2。
由平抛运动规律得：水平距离为x＝v0t，t相等，则小球2和小球3的落点到A点的距离之比为∶2。故B正确。
7.[多选]如图，两个相同小物块a和b之间用一根轻弹簧相连，小物块a和b及弹簧组成的系统用细线静止悬挂于足够高的天花板下。细线某时刻被剪断，系统下落，已知重力加速度为g，则( )
A．细线剪断瞬间，a和b的加速度大小均为g
B．弹簧恢复原长时，a和b的加速度大小均为g
C．下落过程中弹簧一直保持拉伸状态
D．下落过程中a、b和弹簧组成的系统机械能守恒
【答案】BD
【解析】解析：选BD 开始时系统处于平衡状态，弹簧的弹力大小等于物块b的重力mg，当细线剪断瞬间，弹簧不能突变，则物块b受力仍然平衡，加速度为零，而a受向下的重力和拉力作用，加速度为2g，故A错误；弹簧恢复原长时，两物块均只受重力，故加速度大小为g，由于此时物块a的速度大于b的速度，故此后一段时间弹簧处于压缩状态，故B正确，C错误；对a、b和弹簧组成的系统来说，由于只有重力做功，故机械能守恒，故D正确。
8、如图所示，可视为质点的小球A和B用一根长为0.2 m的轻杆相连，两球质量相等，开始时两小球置于光滑的水平面上，并给两小球一个2 m/s的初速度，经一段时间两小球滑上一个倾角为30°的光滑斜面，不计球与斜面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2，在两小球的速度减小为零的过程中，下列判断正确的是( )
A．杆对小球A做负功
B．小球A的机械能守恒
C．杆对小球B做正功
D．小球B速度为零时距水平面的高度为0.15 m
【答案】D
【解析】由题意可知，A、B两球在上升中受重力做功而做减速运动；假设没有杆连接，则A上升到斜面时，B还在水平面上运动，即A在斜面上做减速运动，B在水平面上做匀速运动，因有杆存在，所以是B推着A上升，因此杆对A做正功，故A错误；因杆对A球做正功，故A球的机械能不守恒，故B错误；由以上分析可知，杆对球B做负功，故C错误；设小球B速度为零时距水平面的高度为h，根据系统机械能守恒，可得：mgh＋mg(h＋Lsin 30°)＝×2mv2，解得：h＝0.15 m，故D正确。
二、计算题(共44分)
9．(14分）如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
【答案】(1)5 (2)能沿轨道运动到C点
【解析】解析：(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg ①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg ②
由①②式得＝5。 ③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝m⑤
由④⑤式得，vC应满足mg≤m ⑥
由机械能守恒定律得mg＝mvC2 ⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。
10.(15分）如图所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住物体B使细绳刚好没有拉力，然后由静止释放，求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度大小。
【答案】(1)30 N (2)20 cm (3)1 m/s
【解析】解析：(1)弹簧恢复原长时，物体A、B的加速度大小相同，
对B分析：mg－T＝ma
对A分析：T－mgsin 30°＝ma
代入数据解得：T＝30 N。
(2)初始位置，弹簧的压缩量为：x1＝＝10 cm，
当物体A速度最大时，即物体A的加速度为0，对物体A分析有：mg＝kx2＋mgsin 30°
弹簧的伸长量为：x2＝10 cm
所以物体A沿斜面上升的距离为：x＝x1＋x2＝20 cm。
(3)因为x1＝x2，所以弹簧的弹性势能没有改变，由系统机械能守恒得：mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝·2m·v2
解得：v＝1 m/s。
11、(15分）一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示。已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：
(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；
(2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移。
【答案】(1)2 (2)R
第19讲 机械能 机械能守恒定律(原卷版)
一、重力势能和弹性势能
1．重力做功的特点
(1)重力做功与 无关，只与始、末位置的 有关。
(2)重力做功不引起物体 的变化。
2．重力势能
大小
Ep＝mgh
矢标性
重力势能是 ，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在 上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同
系统性
重力势能是 和 共有的
相对性
重力势能的大小与 的选取有关。重力势能的变化是 的，与参考平面的选取
与重力做
功的关系
WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp，即重力对物体做的功 物体重力势能的减少量
3.弹性势能
(1)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的 及 有关。
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做 ，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能 。
二、机械能守恒定律
1．内容
在只有 做功的物体系统内，动能和势能可以互相 ，而总的机械能保持 。
2．机械能守恒的条件
只有 或 做功。
3．守恒三种表达式
(1)E1＝E2(E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能)。
(2)ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减(表示系统势能的减少量等于系统动能的增加量)。
(3)ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能)。
1．(2019·山东日照模拟)蹦极是一项非常刺激的户外休闲活动．北京青龙峡蹦极跳塔高度为68米，身系弹性蹦极绳的蹦极运动员从高台跳下，下落高度大约为50米．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点．下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前加速度先不变后增大
B．蹦极过程中，运动员的机械能守恒
C．蹦极绳张紧后的下落过程中，动能一直减小
D．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力一直增大
2．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B.
C. D.
3．(2019·湖北宜城一中模拟)如图所示，从光滑的圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面水平．若要使小滑块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为R2，则R1和R2应满足的关系是( )
A．R1C．R1>R2 D．R1>
4．如图所示，用长为L的轻绳把一个小铁球悬挂在高为2L的O点处，小铁球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，不计空气阻力．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为( )
A. B. C. D.
要点一 机械能守恒的理解与判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。
(2)利用守恒条件判断。
(3)利用能量转化判断：若系统与外界没有能量交换，系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。
要点二 单个物体的机械能守恒
1．机械能守恒的三种表达式对比
守恒角度
转化角度
转移角度
表达式
E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA增＝ΔEB减
物理意义
系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
注意事项
应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选取研究对象——物体。
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。
(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
要点三 多个物体的机械能守恒
(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。
(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
要点一 机械能守恒的理解与判断
【例1】(多选)如图，轻弹簧竖立在地面上，正上方有一钢球，从A处自由下落，落到B处时开始与弹簧接触，此时向下压缩弹簧．小球运动到C处时，弹簧对小球的弹力与小球的重力平衡．小球运动到D处时，到达最低点．不计空气阻力，以下描述正确的有 ( )
A．小球由A向B运动的过程中，处于完全失重状态，小球的机械能减少
B．小球由B向C运动的过程中，处于失重状态，小球的机械能减少
C．小球由B向C运动的过程中，处于超重状态，小球的动能增加
D．小球由C向D运动的过程中，处于超重状态，小球的机械能减少
针对训练1． 如图所示，完整的撑杆跳高过程可以简化成三个阶段：持杆助跑、撑杆起跳
上升、越杆下落(下落时人杆分离)，最后落在软垫上速度减为零．不计空气阻力，则( )
A．运动员在整个跳高过程中机械能守恒
B．运动员在撑杆起跳上升过程中机械能守恒
C．在撑杆起跳上升过程中，杆的弹性势能转化为运动员的重力势能且弹性势能减少量小于运动员的重力势能增加量
D．运动员落在软垫上时做减速运动，处于超重状态
要点二 单个物体的机械能守恒
【例2】如图所示，将一质量为m＝0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R＝2.5 m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计)，求：
(1)小球经过C点速度vC的大小；
(2)小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；
(3)平台末端O点到A点的竖直高度H。
【总结提能】
关于机械能守恒定律的三点提醒
(1)机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
(2)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。
（3）用机械能守恒定律能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。
针对训练2．如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
要点三 多个物体的机械能守恒
【例3】、(2019·黑龙江哈尔滨六中模拟)如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2，若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
针对训练3．如图所示，带有挡板的光滑斜面固定在水平地面上，斜面的倾角为θ＝30°.质量
均为1 kg的A、B两物体用轻弹簧拴接在一起，弹簧的劲度系数为5 N/cm，质量为2 kg的
物体C用细线通过光滑的轻质定滑轮与物体B连接．开始时A、B均静止在斜面上，A紧靠
在挡板处，用手托住C，使细线刚好被拉直．现把手拿开，让C由静止开始运动，从C开
始运动到A刚要离开挡板的过程中，下列说法正确的是(g取10 m/s2) ( )
A．初状态弹簧的压缩量为1 cm
B．末状态弹簧的压缩量为1 cm
C．物体B、C与地球组成的系统机械能守恒
D．物体C克服绳的拉力所做的功为0.2 J
一、单项选择题(每小题5分，共50分)
1.如图所示，具有一定初速度的物块，沿倾角为30°的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F作用，这时物块的加速度大小为4 m/s2，方向沿斜面向下，那么，在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．物块的机械能一定增加
B．物块的机械能一定减小
C．物块的机械能可能不变
D．物块的机械能可能增加也可能减小
如图所示，不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于水平地面上；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。现将b球释放，则b球着地瞬间a球的速度大小为( )
A． B．
C. D．2
如图所示，在水平桌面上的A点有一个质量为m的物体，以初速度v0被抛出，不计空气阻力，当它到达B点时，其动能为( )
A．mv02＋mgH B．mv02＋mgh1
C．mgH－mgh2 D．mv02＋mgh2
如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g＝10 m/s2)( )
A．10 J B．15 J
C．20 J D．25 J
5.(2019·苏北四市联考)某踢出的足球在空中运动轨迹如图所示，足球视为质点，空气阻力不
计．用v、E、Ek、P分别表示足球的速率、机械能、动能和重力的瞬时功率大小，用t表示
足球在空中的运动时间，下列图象中可能正确的是 ( )
6．(2019·安徽第三次联考)如图所示，光滑轨道由AB、BCDE两段细圆管平滑连接组成，其
中AB段水平，BCDE段为半径为R的四分之三圆弧，圆心O及D点与AB等高，整个轨道
固定在竖直平面内，现有一质量为m、初速度v0＝的光滑小球水平进入圆管AB，设
小球经过轨道交接处无能量损失，圆管孔径远小于R，则(小球直径略小于圆管内径)( )
A．小球到达C点时的速度大小vC＝
B．小球能通过E点且抛出后恰好落至B点
C．无论小球的初速度v0为多少，小球到达E点时的速度都不能为零
D．若将DE轨道拆除，则小球能上升的最大高度与D点相距2R
7.(2019·山东济南模拟)如图所示，由光滑细管组成的轨道固定在竖直平面内，AB段和BC
段是半径为R的四分之一圆弧，CD段为平滑的弯管．一小球从管口D处由静止释放，最后
能够从A端水平抛出落到地面上．关于管口D距离地面的高度必须满足的条件是 ( )
A．等于2R B．大于2R
C．大于2R且小于R D．大于R
8.(2019·山东烟台模拟)如图所示，可视为质点的小球A和B用一根长为0.2 m的轻杆相连，两球质量均为1 kg，开始时两小球置于光滑的水平面上，并给两小球一个大小为2 m/s，方向水平向左的初速度，经过一段时间，两小球滑上一个倾角为30°的光滑斜面，不计球与斜面碰撞时的机械能损失，重力加速度g取10 m/s2，在两小球的速度减小为零的过程中，下列判断正确的是( )
A．杆对小球A做负功
B．小球A的机械能守恒
C．杆对小球B做正功
D．小球B速度为零时距水平面的高度为0.15 m
9.(2019·北京模拟)将一个物体以初动能E0竖直向上抛出，落回地面时物体的动能为.设空气阻力恒定，如果将它以初动能4E0竖直上抛，则它在上升到最高点的过程中，重力势能变化了( )
A．3E0 B．2E0
C．1.5E0 D．E0
10.(2019·山东潍坊模拟)如图所示，将一质量为m的小球从A点以初速度v斜向上抛出，小球先后经过B、C两点．已知B、C之间的竖直高度和C、A之间的竖直高度都为h，重力加速度为g，取A点所在的平面为参考平面，不考虑空气阻力，则( )
A．小球在B点的机械能是C点机械能的两倍
B．小球在B点的动能是C点动能的两倍
C．小球在B点的动能为mv2＋2mgh
D．小球在C点的动能为mv2－mgh
二、不定项选择题(每小题5分，共20分)
11．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点(在水面上方)时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略不计，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，运动员的重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
12.如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道和光滑水平轨道相切，三个小球1、2、3沿水平轨道分别以速度v1＝2、v2＝3、v3＝4水平向左冲上半圆形轨道，g为重力加速度，下列关于三个小球的落点到半圆形轨道最低点A的水平距离和离开轨道后的运动形式的说法正确的是( )
A．三个小球离开轨道后均做平抛运动
B．小球2和小球3的落点到A点的距离之比为∶2
C．小球1和小球2做平抛运动的时间之比为1∶1
D．小球2和小球3做平抛运动的时间之比为1∶1
13.(2019·甘肃兰州模拟)如图所示，竖直面内光滑的圆形导轨固定在一水平地面上，半径为R.一个质量为m的小球从距水平地面正上方h高处的P点由静止开始自由下落，恰好从N点沿切线方向进入圆轨道．不考虑空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．适当调整高度h，可使小球从轨道最高点M飞出后，恰好落在轨道右端口N处
B．若h＝2R，则小球在轨道最低点对轨道的压力为5mg
C．只有h大于等于2.5R时，小球才能到达圆轨道的最高点M
D．若h＝R，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R的位置，该过程重力做功为mgR
14.把质量是0.2 kg的小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图甲所示．迅速松手后，弹簧把球弹起，球升至最高位置C(图丙)．途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态(图乙)．已知B、A的高度差为0.1 m，C、B的高度差为 0.2 m，弹簧的质量和空气阻力都可以忽略，重力加速度g＝10 m/s2.则下列说法正确的是( )
A．小球从A上升至B的过程中，弹簧的弹性势能一直减小，小球的动能一直增加
B．小球从B上升到C的过程中，小球的动能一直减小，势能一直增加
C．小球在位置A时，弹簧的弹性势能为0.6 J
D．小球从位置A上升至C的过程中，小球的最大动能为 0.4 J
二、计算题(共30分)
15.(2019·江苏徐州质检)光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧形轨道BC组成，二者在B处相切并平滑连接，O为圆心，O、A在同一条水平线上，OC竖直．一直径略小于圆管直径的质量为m的小球，用细线穿过管道与质量为M的物块连接，将小球由A点静止释放，当小球运动到B处时细线断裂，小球继续运动．已知弧形轨道的半径为R＝ m，所对应的圆心角为53°，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2.
(1)若M＝5m，求小球在直轨道部分运动时的加速度大小．
(2)若M＝5m，求小球从C点抛出后下落高度h＝ m时到C点的水平位移．
(3)M、m满足什么关系时，小球能够运动到C点？
16．如图所示，质量为m＝2 kg的小球以初速度v0沿光滑的水平面飞出后，恰好无碰撞地从A点进入竖直平面内的光滑圆弧轨道，其中B点为圆弧轨道的最低点，C点为圆弧轨道的最高点，圆弧AB对应的圆心角θ＝53°，圆半径R＝0.5 m．若小球离开水平面运动到A点所用时间t＝0.4 s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2)
(1)小球沿水平面飞出的初速度v0的大小．
(2)到达B点时，小球对圆弧轨道的压力大小．
(3)小球能否通过圆弧轨道的最高点C？说明原因．
17.(2019·青岛检测)一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示．已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：
(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；
(2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移．
课件18张PPT。第五部分 功与能 高考一轮复习 全国版第19讲 机械能 机械能守恒定律考纲解读1．理解重力势能的概念，知道重力做功与重力势能变化的关系
2．理解弹性势能的概念，知道弹簧的弹力做功与弹性势能变化的关系
3．理解机械能守恒定律，并能应用其解决有关问题典例讲解考点一 机械能守恒的理解与判断【例题1】(2019·河南洛阳模拟)关于机械能守恒，下列说法正确的是( )
A．做自由落体运动的物体，机械能一定守恒
B．人乘电梯加速上升的过程，机械能守恒
C．物体必须在只受重力作用的情况下，机械能才守恒
D．合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒【解析】做自由落体运动的物体只有重力做功，机械能守恒，故A正确；人乘电梯加速上升的过程，动能与重力势能都增加，机械能增加，机械能不守恒，故B错误；只有重力做功，则机械能守恒，除重力外物体还受其他力，物体机械能也可能守恒，如沿光滑斜面下滑的物体除受重力外还受支持力，但物体机械能守恒，故C错误；合外力对物体做功为零，机械能不一定守恒，如在竖直方向匀速下落的物体合外力做功为零，但机械能减少，机械能不守恒，故D错误．【答案】A变式训练针对训练1．如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．图乙中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时，物体A加速下落，物体B加速上升过程中，物体A、B组成
的系统机械能守恒
D．图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒【答案】CD【解析】题图甲中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题图乙中物体B匀速下滑，动能不变，重力势能减小，物体B的机械能不守恒，选项B错误；题图丙中绳子张力对物体A做负功，对物体B做正功，代数和为零，物体A、B组成的系统机械能守恒，选项C正确；题图丁中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，选项D正确．变式训练针对训练2．(2019·山东烟台高三上学期期末)如图所示，把两个相同的小球从离地面相同高度处，以相同大小的初速度v分别沿竖直向上和竖直向下方向抛出，不计空气阻力。则下列说法中不正确的是( )
A．两小球落地时速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从小球抛出到落地，重力对两小球做的功相等
D．从小球抛出到落地，重力对两小球做功的平均功率相等【答案】CD【解析】解析 由机械能守恒定律得，两小球落地时的速度大小相等，方向相同，A正确；由于两小球落地时速度相同，故重力的瞬时功率相同，B正确；由重力做功公式W＝mgh得，从开始运动至落地，重力对两小球做的功相等，C正确；从抛出至落地，重力对两小球做的功相等，但是两小球运动的时间不同，故重力对两小球做功的平均功率不相等，D错误。典例讲解考点二 单个物体的机械能守恒【例2】如图所示，光滑的小圆弧轨道半径为r，光滑的大圆弧轨道半径为4r，小球质量为m(可视为质点)，小圆弧与大圆弧的圆心O1、O2在同一竖线上，两圆弧的最低点重合，两圆弧轨道固定在同一竖直平面内．小球从大圆弧轨道上与O2等高处由静止释放，小球通过小圆弧轨道最高点时对轨道的压力的大小为( )
A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg【答案】B变式训练针对训练3.(2019·河北衡水高三调研)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了 mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变【答案】B变式训练针对训练4.(2019·安徽芜湖高三上学期期末)用长为L的细线系着一个质量为m的小球(可以看做质点)，以细线端点O为圆心，在竖直平面内做圆周运动。P点和Q点分别为轨迹的最低点和最高点，不考虑空气阻力，小球经过P点和Q点时所受细线拉力的差值为( )
A．2mg B．4mg C．6mg D．8mg【答案】C典例讲解考点三 多个物体的机械能守恒典例讲解【解析】 (1)对B球受力分析，如图所示，根据平衡条件有
F＝mgtan 60°＝mg.变式训练【答案】BD变式训练真题再现1.(2019·全国卷Ⅱ)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得( )
A．物体的质量为2 kg
B．h＝0时，物体的速率为20 m/s
C．h＝2 m时，物体的动能Ek＝40 J
D．从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J【答案】AD真题再现2.(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点．一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动．重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( )
A．2mgR B．4mgR
C．5mgR D．6mgR【答案】C真题再现【答案】A感谢欣赏
