第六章 平面向量初步
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
课时30 共线向量基本定理
知识点一 共线向量基本定理
1.已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①② B．①③ C．② D．③④
答案 A
解析 由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；
∵λa－μb＝0，∴λa＝μb，故②可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．
2．已知e1，e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为( )
A．8 B．－8 C．3 D．－3
答案 B
解析 ∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，
即3e1－4e2＝6me1＋mke2，∴即
3. 如图所示，已知＝3，＝3，则向量与的关系为( )
A．共线
B．同向
C．共线且同向
D．共线、同向，且的长度是O的3倍
答案 D
解析 由题意，知＝＋，＝＋＝3＋3＝3，故选D.
知识点二 共线向量基本定理的应用
4.已知点P是△ABC所在平面内的一点，且3＋5＋2＝0，设△ABC的面积为S，则△PAC的面积为( )
A.S B.S C.S D.S
答案 C
解析 如图，由于3＋5＋2＝0，
则3(＋)＝－2(＋)，
＝.
设AB，BC的中点分别为M，N，
则＝(＋)，＝(＋)，即3＝－2，则点P在中位线MN上，则△PAC的面积是△ABC的面积的一半．
5．设＝(a＋5b)，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则共线的三点是________．
答案 A，B，D
解析 ＝＋＝a＋5b，＝，即A，B，D三点共线．
6．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.
答案 或－2
解析 ∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，
∴k2e1＋e2＝m(2e1＋3e2)，∴
即3k2＋5k－2＝0，∴k＝或－2.
7．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0，且D，E分别是BC，CA的中点，则△ABC与△AOC的面积之比为________．
答案 3∶1
解析 如图，＋＝2，＋＝2，
∴＋2＋3＝(＋)＋2(＋)＝2(2＋)＝0，即2＋＝0，
∴与共线，即D，E，O共线，
∴2||＝||，
∴S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，即＝3.
8．已知梯形ABCD，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点．用向量法证明：EF∥AB，EF＝(AB＋DC)．
证明 如图，延长EF到点M，使FM＝EF，连接CM，BM，EC，EB，得平行四边形ECMB，
由平行四边形法则得
＝E＝( ＋)．
由于AB∥DC，所以， 共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使＝λ.
由三角形法则得＝＋， ＝＋且＋＝0，
∴＝(E＋)＝(E＋＋＋)
＝(＋)＝D，
∴∥.由于E，D不共点，∴EF∥DC∥AB，
又||＝＝(||＋|D|)，
∴EF＝(AB＋DC)，所以结论得证.
易错点 对共线向量基本定理理解不透致误
9.如果向量a＝(－k，－1)与b＝(4，k)共线且方向相反，则k＝________.
易错分析 出错的根本原因是对共线向量基本定理b＝λa理解不透，误认为向量反向时，参数k的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．
答案 2
正解 因为向量a＝(－k，－1)与b＝(4，k)共线，
所以k2－4＝0，解得k＝±2，
当k＝－2时，b＝2a，此时a与b方向相同，不符合题意，应舍去，因此k＝2.
一、选择题
1．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1＋2e2的关系是( )
A．不共线 B．共线 C．相等 D．不确定
答案 B
解析 a＋b＝3e1＋e2，∴c＝6e1＋2e2＝2(a＋b)．
∴c与a＋b共线．
2．下面向量a，b共线的有( )
①a＝2e1，b＝－2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2(e1，e2不共线)．
A．②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
答案 A
解析 对于①，e1与e2不一定共线，故a与b不一定共线；对于②，a＝－
b，∴a，b共线；对于③，a＝4b，
∴a，b共线；对于④，若a，b共线，则存在一实数λ，使得b＝λa，即2e1－2e2＝λ(e1＋e2)，得(2－λ)e1＝(λ＋2)e2，当λ＝2时，得e2＝0，e1，e2共线，矛盾，当λ≠2时，e1＝e2，则e1，e2共线，矛盾．故a与b不共线．综上，选A.
3．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A．＋＋ B． ＋＋
C． ＋＋ D．3A＋
答案 C
解析 设D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，根据点M是△ABC的重心， ＋＋＝( ＋＋)＝(＋B＋＋＋＋)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与共线．
4．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
答案 B
解析 ∵＝λ＋，∴－＝λ，即＝λ.
∴点P，A，C共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．
二、填空题
5．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为________．
答案 1
解析 由于c与d同向，所以可设c＝kd(k>0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以
整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.
又k>0，所以λ>0，故λ＝1.
6．在△ABC中，点D在BC边上，且＝4，＝r＋s，则3r＋s的值为________．
答案
解析 ∵＋＝，＝4，∴＝，
即＝－，∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝.
7．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋P＝A，则点P在边AC的________等分点处．
答案 三
解析 由＋＋＝，得＋＝－＝，所以＝2，从而点P在边AC的三等分点处．
三、解答题
8．已知非零向量e1，e2不共线，
(1)如果＝e1＋e2， ＝2e1＋8e2， ＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
解 (1)证明：∵＝e1＋e2，B＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴与共线，且AB与BD有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，且此两向量均为非零向量，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，
只能有∴k＝±1.
9．如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于E.求证：BE＝BA.
证明 如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′＝BA，只要证E，E′重合即可．
设＝a， ＝b，则＝a， ＝b＋a.
∵＝－b，＝a－，3＝，
∴3(－b)＝a－，
∴＝(a＋3b)＝，
即＝O，∴O，E′，D三点共线，∴E与E′重合．
∴BE＝BA.
10．已知，是不共线的两个向量，设＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.
求证：M，A，B三点共线．
证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ.
∴＝λ＋(1－λ)＝λ＋－λ.
∴－＝λ(－)，
即＝λ(λ∈R)，∴，共线．
又∵BM，BA有公共点B，
∴M，B，A三点共线．
11．如图所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求证：λ＋μ＝1.
证明 ＝λ＋μ
＝λ(＋)＋μ(＋)
＝(λ＋μ)＋λ＋μ，
又点P在直线AB上，不妨设＝k，
则(λ＋μ－1)＋(λk＋μ)＝0
又与不共线，故
得λ＋μ＝1.
12．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，且＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解 (1)＝＋＝a＋
＝a＋－＝b＋a，
＝＝b＋a，
＝＝b，
＝－＝b＋a－a
＝b－a.
(2)证明：＝－＝－＝b－a，
＝b－a，
∴＝，故∥，
又BF与BE有公共点B，∴B，E，F三点共线．
课件45张PPT。课时30 共线向量基本定理本课结束课时31 平面向量基本定理
知识点一 平面向量基本定理的理解
1.如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．②
答案 B
解析 由平面向量基本定理可知，①④正确．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②不正确．对于③，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个，故③不正确．
2．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是( )
A．{e1－e2，e2－e1} B．{2e1＋e2，e1＋e2}
C．{2e2－3e1,6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1－e2}
答案 D
解析 对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e1＋e2＝2，所以(2e1＋e2)∥，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C,2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．
知识点二 用基底表示向量
3．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案 B
解析 取第Ⅲ部分内一点画图易得a＞0，b＜0.
4．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.
(1)用基底{，}表示A＝________；
(2)用基底{，}表示A＝________.
答案 (1) ＋ (2) ＋
解析 (1)∵＝＋，＝ ＝ ， ＝－，
∴＝＋(－)＝＋－
＝ ＋ .
(2) ＝＋＝＋ .
5. 在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.
解 ∵M为BC的中点，
∴＝＝(－)＝(b－a)，
＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
∵DN∥BM，AN与AM共线，
∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝λ(b－a)．
＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b.
∵＝＋＝a＋λ(b－a)
＝a＋b，
∴根据平面向量基本定理，得
∴λ＝μ＝，
∴＝(b－a)＝－a＋b.
知识点三 平面向量基本定理的应用
6.已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·，实数λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，M，B四点一定共线
答案 B
解析 由题意得－＝λ(－)，即＝λ.
又λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．故选B.
7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若A＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
答案
解析 设＝a， ＝b，
则＝a＋b， ＝a＋b.
又∵＝a＋b，∴ ＝(A＋A)，即λ＝μ＝.
∴λ＋μ＝.
8．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.
答案
解析 如图，∵a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，
∴存在实数λ使t(a＋b)－b＝λ，即(t－λ)a＝b.
又∵a，b不共线，
∴t－λ＝0且－λ－t＝0，解得t＝.
9．如图，已知三点O，A，B不共线，且＝2，＝3，设＝a，＝b.
(1)设AD与BC交于点E，试用a，b表示向量；
(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．
解 (1)∵B，E，C三点共线，
∴存在实数x，
使＝x＋(1－x)＝2xa＋(1－x)b.①
同理，∵A，E，D三点共线，
∴存在实数y，使＝ya＋3(1－y)b.②
由①②，得
解得x＝，y＝.
∴＝a＋b.
(2)证明：∵＝，＝＝，＝(＋)＝，
∴＝－＝＝，
＝－＝，
∴＝6，∴L，M，N三点共线.
易错点 忽略两个向量作为基底的条件
10.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
易错分析 若认为e1，e2是一组基底，则会得到如下解析：
设a＝kb(k∈R)，则e1＋λe2＝2ke1，所以(1－2k)e1＋λe2＝0，
所以1－2k＝0，且λ＝0，选A.
事实上，e1，e2并不一定是平面内的一组基底，不要漏掉e1，e2共线的情况．
答案 D
正解 当e1∥e2时，a∥e1，又b＝2e1，
所以b∥e1，又e1≠0，
故a与b共线；当λ＝0时，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，
故a与b共线．
一、选择题
1．设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2,4e2－6e1}
C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e1＋e2}
答案 B
解析 因为B中3e1－2e2和4e2－6e1为平行向量，所以不能作为一组基底．故选B.
2．{e1，e2}为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2 B．－3
C．－2 D．3
答案 A
解析 根据题意得＝e1－ke2，＝－＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，∵A，B，D三点共线，
∴＝λ，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，
所以∴k＝2.
3．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 3e2－2e1＝ －＝ － ＝ ＝.
4．在△ABC中，设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A. B.
C. D．1
答案 A
解析 解法一：设＝t(0≤t≤1)，则＝＝(＋)＝＋＝＋t＝＋(－)＝＋，所以λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝.
解法二：(特殖值法)设M为BC的中点，所以＝＝×(＋)＝＋，
所以λ＝μ＝，故λ＋μ＝.
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则A＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案 C
解析 ?ABCD中，△DEF∽△BEA，
故＝＝，
再由AB＝CD可得＝.
故＝，
∵＝a，＝b，
∴＝－＝－＝a－b，
∴＝a－b，
∵＝－＝－＝b＋a，
∴＝＋＝a＋b.
二、填空题
6．?ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，则＝________.
答案 a－b
解析 ＝＝
＝－＝－
＝a－b.
7．设{e1，e2}是平面内的一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可表示为另一组向量a，b的线性组合，则e1＋e2＝________a＋________b.
答案 －
解析 设e1＋e2＝λa＋μb，
则e1＋e2＝λe1＋2λe2＋(－μe1)＋μe2，整理得
e1＋e2＝(λ－μ)e1＋(2λ＋μ)e2，
又e1与e2不共线，则解得
8．设{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的条件是________．
答案 λ＝－2
解析 向量a，b共线，即存在x∈R使b＝xa，
即－e1＋2e2＝x(e1＋λe2)，
整理得(x＋1)e1＋(λx－2)e2＝0.
∵e1，e2不共线，∴?
三、解答题
9．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，.
解 ＝＋＝＋
＝＋(＋)＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋
＝＋(＋)＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋
＝＋(＋)＝a＋(b－a)＝a＋b.
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．
解 (1)证明：设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?
∴c＝2a＋b.
11．如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 如图所示．以OC为对角线，作平行四边形OECF，且OA，OB在这个四边形的两邻边上．
∵∠COF＝∠EOF－∠EOC＝120°－30°＝90°.
在Rt△COF中，||＝2，∠OCF＝30°，
∴CF＝＝4.
∴OF＝2.又||＝||＝1.
∴＝4，＝2.
∴＝＋＝4＋2.
由平面向量基本定理可得λ＝4，μ＝2.
∴λ＋μ＝6.
课件47张PPT。课时31 平面向量基本定理本课结束
