6.2.3 平面向量的坐标及其运算
课时33 平面向量的坐标及其运算、
两点间的距离公式与中点坐标公式
知识点一 平面向量的坐标
1.如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析 将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，
b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
2．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①＝2i＋3j；
②＝3i＋4j；
③＝－5i＋j；
④＝5i－j.
答案 ①③④
解析 i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确．
知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系
3.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
答案 A
解析 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
4．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
答案 C
解析 因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则＝________，|na＋mb|＝________.
答案 －
解析 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)．
∴解得∴＝－.
na＋mb＝－2a＋b＝(－5，－4)，
∴|na＋mb|＝|－2a＋b|＝＝＝.
知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式
6.在△ABC中，已知点A(3,7)，B(－2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的三边长．
解 (1)①若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得＝0，＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．
②若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2，－7)．
综上C点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．
(2)当C点坐标为(－3，－5)时，
AB＝＝，
AC＝＝6，
BC＝＝.
当C点坐标为(2，－7)时，AB＝，
AC＝＝，
BC＝＝4.
7．已知在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
解 因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
所以＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，
有＝(＋)＝(－3.5，－4)，
而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点．
故有＝＝－＝(1.75,2)．
知识点四 向量的坐标运算的应用
8.已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，试问：
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解 由已知得＝(1,2)，＝(3,3)，
＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－；
若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；
若点P在第二象限，则有
解得－(2) ＝－＝(4,5)－(1＋3t,2＋3t)＝(3－3t，3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则有＝P，即有3－3t＝1，且3－3t＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP不可能是平行四边形．
9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2B．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求点M，N的坐标及的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴解得
(3)∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18).
易错点 转换向量关系失误
10.平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________．
易错分析 连接DC并延长至E，即E在DC的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．
答案
正解 设坐标原点为O，∵＝，
∴－＝(－)．
∴＝2－＝(3，－6)．
∴点C的坐标为(3，－6)．
又∵||＝||，且E在DC的延长线上，
∴＝－.
设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得解得
∴点E的坐标为.
一、选择题
1．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )
A．向量a的终点坐标为(－2,3)
B．向量a的起点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
答案 C
解析 a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，故a＝－B．故选C．
2．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于( )
A．(－5,14) B．(5,14)
C．(7,4) D．(5,9)
答案 A
解析 3a＋b＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A．
3．如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为( )
A．(3,4) B．(2,4)
C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4)
答案 A
解析 由图可知2a＝2e1＋e2，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝3e1＋4e2＝(3,4)．
4．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是( )
A．－ B．
C．－ D．
答案 C
解析 a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，又a＋b＝λc，故解得
则λ＋x＝－.
5．已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为( )
A．(－2,11) B．
C． D．(－2,12)
答案 A
解析 因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，
所以＝2，则－＝2(－)，
所以＝2－＝2(0,5)－(2，－1)，
即＝(－2,11)．
二、填空题
6．如图，正方形ABCD中，O为中心，且＝(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：
＝________，＝________，
＝________，＝________.
答案 －i＋j －i－j －2i －2i－2j
解析 如题图所示，＝(1,1)＝i＋j，
∴＝i，＝j.
∴＝－＝－i，＝＝j，＝－＝－j.
∴＝＋＝－i＋j；＝＋＝－i－j；＝－＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.
同理，＝－＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，
＝＋＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.
7．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则|a|＋|b|＝________.
答案 18
解析 联立
由①＋②得，a＝(－3,4)，
由①－②得，b＝(5，－12)．
故|a|＋|b|＝＋＝5＋13＝18.
8．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ) ，λ∈R，则x＝________.
答案 2
解析 取O(0,0)，
由＝λ＋(1－λ) 得，
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，
∴解得
9．已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量2＋3＋的坐标为________．
答案 (3,4)
解析 根据题意建立坐标系如图，则
A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)．
∴2＋3＋＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．
三、解答题
10．(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，－，2＋的坐标；
(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．
解 (1)∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)．
∴＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；
＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；
＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；
－＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
2＋＝2(3，－1)＋(－3,2)
＝(6，－2)＋＝.
(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；
a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；
3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．
11．已知点A(6,3)，O为坐标原点，点P在直线OA上，且＝，若P是线段OB的中点，求点B的坐标及PB的长．
解 设点P(x1，y1)，B(x，y)，∵＝，
∴(x1，y1)＝(6－x1,3－y1)，
∴解得
∴点P的坐标为(2,1)．
∵点P是OB的中点，
∴2＝，1＝?x＝4，y＝2，
∴点B的坐标为(4,2)．
∴PB的长为＝.
12．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c，
(1)求p的坐标；
(2)若以a，b为基底，求p的表达式．
解 (1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
∴
∴
∴p＝－a－15b．
课件41张PPT。课时33 平面向量的坐标及其运算、
两点间的距离公式与中点坐标公式本课结束课时34 向量平行的坐标表示
知识点一 向量共线的判断
1.判断下列向量是否平行：
(1)a＝(1,3)，b＝(2,4)；
(2)a＝(1,2)，b＝.
解 解法一：(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，
∴a与b不平行．
(2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b．
解法二：(1)∵≠，∴a与b不平行．
(2)∵＝，∴a∥b．
知识点二 向量共线的应用
2.已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4,8) B．(8,4)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案 D
解析 ∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)或(－4,8)．故选D．
3．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
答案 －1
解析 a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，
得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
解 (1)u＝a＋2b＝(1,2)＋(2x,12)＝(1＋2x,14)，
v＝2a－b＝(2,4)－(x,6)＝(2－x，－2)．
由u∥v，故－2(1＋2x)＝14(2－x)，得x＝3.
(2)由a∥v可知，－2＝2(2－x)，
得x＝3.若a，v不共线，则x≠3.
知识点三 三点共线问题
5.已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A．0 B．1－
C．1＋ D．
答案 C
解析 ＝(2，a2)－(1，－a)＝(1，a2＋a)，＝(3，a3)－(1，－a)＝(2，a3＋a)，又∥，故2(a2＋a)－1(a3＋a)＝0，得a3－2a2－a＝0，∵a＞0，∴a2－2a－1＝0，得a＝＝1±，又a＞0，得a＝＋1.
6．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
答案 10
解析 设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，
∴2－5＝－(y－2)．∴y＝10.
7．已知＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解 由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1)．
(1)若A，B，C三点共线，则∥，
即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，
故a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴
∴即点C的坐标为(5，－3).
易错点 忽略零向量致错
8.已知m∈R，且向量a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，则m＝________.
易错分析 本题容易忽略零向量与任一向量平行，认为m≠0，得到如下解析：
由a∥b，得＝，解得m＝5.故m的值是5.
事实上，当m＝0时，b为零向量，也与a平行．
答案 0或5
正解 由a∥b，得3×(－m)－m×(2－m)＝0，即m2－5m＝0，
解得m＝0或m＝5.
故m的值是0或5.
一、选择题
1．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为( )
A．6 B．－6
C． D．－
答案 A
解析 ∵a∥b，∴2y－3×4＝0，即y＝6.
2．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于( )
A．2 B．
C．－2 D．－
答案 A
解析 ∵a∥b，∴sinα＝2cosα，则tanα＝2.
3．线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且＝－2，则点M的坐标为( )
A．(3,8) B．(1,3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
答案 C
解析 设M(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(2－x,3－y)，由＝－2，得解得故点M的坐标为(3,1)．
4．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是( )
A．b＝(k，k) B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1) D．e＝(k2－1，k2－1)
答案 C
解析 易知当k＝0时，b＝c＝0与a平行；
若a∥d，则－(k2＋1)＝k2＋1，即k2＋1＝0.
显然k不存在．故a不平行于d，
当k＝±1时，e＝0与a平行．
5．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2) B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2) D．a＝(－4，－8)
答案 D
解析 ＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，
∴(－4，－8)满足条件．
二、填空题
6．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a，b共线且方向相同．
答案 2
解析 ∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b，
∴x·x－1×4＝0，即x2＝4，
∴x＝±2.
当x＝－2时，a与b方向相反，
当x＝2时，a与b共线且方向相同．
7．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
答案 或
解析 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b．
由?
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
8．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 由题意得，6(x2－2x)＝6a有解，即x2－2x－a＝0有解，
∴Δ＝4－4(－a)·1＝4＋4a≥0，故a≥－1.
9．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值是________．
答案
解析 ∵向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－m，－3－m)，
∴＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，
＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m，1－m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴3×(1－m)＝(2－m)×1，
解得m＝.
三、解答题
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
解 (1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴∴
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴点M的坐标为.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
即∴
11．已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？
解 λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，
a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(8，－7)．
∵(λa－b)∥(a＋2b)，
∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0，解得λ＝－.
∴－a－b＝＝，
即λa－b＝－(a＋2b)．
故当λ＝－时，λa－b与a＋2b平行，平行时它们反向．
12．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
解 如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(6,0)，C(6，6)，D(0,6)．
由E为AB的中点，则E(3,0)，
由BF∶FC＝2∶1，∴F(6,4)．
设P(x，y)，则＝(x，y)．
∵与共线，
∴4x＝6y即y＝x.①
∵＝(x－3，y)，＝(3,6)，
与共线，
∴3y＝6(x－3)，即y＝2(x－3)．②
由①②得x＝，y＝3，即P.
由S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△ABF－S△CPF，
＝6×6－×6×4－×2×＝.
∴四边形APCD的面积为.
课件33张PPT。课时34 向量平行的坐标表示本课结束
