第六章 平面向量初步
6.3 平面向量线性运算的应用
课时35 向量在平面几何中的应用
知识点一 向量在平面几何证明问题中的应用
1．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取点F，在其反向延长线上取点E，使BE＝DF，用向量方法证明四边形AECF是平行四边形．
证明 如题图，由向量加法法则知＝＋，＝＋.
又＝，＝，所以＝，即AE綊FC，所以四边形AECF是平行四边形．
2．如下图所示，△ABC的顶点A，B，C分别对应向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，其重心为G，对应的向量为g＝(x0，y0)．
求证：x0＝，y0＝.
证明 设AC的中点为D，且点D对应的向量为q＝(x4，y4)，则x4＝，y4＝.
由平面几何的知识，得＝2，
∴x0＝＝＝，
y0＝＝＝.
知识点二 向量在平面几何计算问题中的应用
3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A． B．
C．(3,2) D．(1,3)
答案 A
解析 设D(x，y)，则＝(4,3)，＝(x，y－2)，
由＝2得∴
∴顶点D的坐标为.
4．在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2 B．
C．3 D．
答案 B
解析 BC的中点为D，＝，
∴||＝.
5．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且＝2，BE交AD于点G，求及的值．
解 设＝λ，＝μ.
∵AD为BC边上的中线，∴＝(＋)．
又∵＝λ＝λ(－)，
∴＝＝＋.
又∵＝μ，即－＝μ(－)，
∴(1＋μ)＝＋μ，＝＋.
又∵＝，∴＝＋.
∵，不共线，∴解得
∴＝4，＝.
知识点三 向量在平面几何中的综合应用
6.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 B
解析 因为|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，所以|－|＝|＋|，则·＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．故选B．
7．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,2)} B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．?
答案 C
解析 令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
∴解得
故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．
8．如图所示，在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得＝＋？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由．
解 假设存在点D，使得＝＋.
则＝＋(＋)＝＋，－＝，
＝，＝×，即＝.
所以存在点D使＝＋，且点D为靠近点C的线段AC的三等分点.
易错点 不能将平面几何中计算问题转化为向量问题致误
9.设O为△ABC内任一点，且满足＋3＋4＝0，且D，E分别是BC，CA的中点，则△ABC与△BOC的面积之比为________．
易错分析 以上题目的求解中，需要根据向量条件判定几何图形中的平行关系，从而利用面积公式求得比例关系．
答案 8∶1
正解 如图，＋＝2，＋＝2，
∴＋3＋4＝(＋)＋3(＋)＝2(3＋)＝0，
即3＋＝0，∴与共线，
即点D，E，O共线，∴3||＝||，
∴S△BOC＝2S△COD＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，即S△ABC∶S△BOC＝8∶1.
一、选择题
1．在四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．矩形 D．菱形
答案 B
解析 由＝，可知AD∥BC，且||<||，故四边形ABCD是梯形．
2．已知△MNS的三个顶点M，N，S及平面内一点Q满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．点Q在△MNS的内部
B．点Q在△MNS的边MN上
C．点Q在MN边所在直线上
D．点Q在△MNS的外部
答案 D
解析 由＋＝，所以四边形QMSN为平行四边形．如图，可知点Q在△MNS的外部．故选D．
3．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB．如果＝3e1，＝3e2，那么 等于( )
A．e1＋2e2 B．2e1＋e2
C．e1＋e2 D．e1＋e2
答案 A
解析 如图所示，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝e1＋2e2，应选A．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值是( )
A． B．＋1
C． D．＋1
答案 D
解析 由题意，知＝(1,0)，＝(0,1)．设C(x，y)，
则＝(x，y)．∵＝λ＋μ，
∴(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)．∴
又∵∠AOC＝，OC＝2，
∴λ＝x＝2cos＝，μ＝y＝2sin＝1，
∴λ＋μ＝＋1.
5．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足O＝O＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
答案 B
解析 因为是向量方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－＝，则原式可化为＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC．故选B．
二、填空题
6．在直角三角形ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝________.
答案 1
解析 如图，设BC边的中点为D，连接AD，则(＋)＝，＝＋(＋)?＝＋?－＝?＝，因此||＝||＝1.
7．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．
答案 1∶2
解析 由题意，得5＝＋2，
得2－2＝－－2，
得－2(＋)＝，如图所示，以PA，PB为邻边作?PAEB，
则C，P，E三点共线，
连接PE交AB于点O，
则＝2＝4.
所以＝＝＝.
8．如图所示，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB的交点P的坐标为________．
答案
解析 设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，则＝－＝(4t－3,4t)，＝(2,1)－(3,0)＝(－1,1)．
由，共线，得(4t－3)×1－4t×(－1)＝0，
解得t＝.
∴＝(4t,4t)＝，
∴点P的坐标为.
三、解答题
9．求证：顺次连接任意四边形各边中点，构成一个平行四边形．
证明 如图，设M，N，Q，P是四边形ABCD各边的中点，那么－＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋＝0.
∴＝，∴四边形MNQP是平行四边形．
10．如图△ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，求m＋n的值．
解 如图，连接AO，
∵＝(＋)
＝(m＋n)
＝＋，
∴＝－A
＝－－
＝－.
＝－，又∵与共线．
存在实数λ，使O＝λ，
即－＝λ－λ，
∴∴1－(m＋n)＝0.∴m＋n＝2.
11．已知四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证： ＝(＋)．
证明 证法一：如图1，首先建立直角坐标系．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则有＝(x2－x1，y2－y1)，
＝(x3－x4，y3－y4)．∴(＋)
＝.
又∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴E，F，
∴＝，
∴＝(＋)．
证法二：如图2，＝＋＋，①
＝＋＋，②
向量相加得，2＝＋，
∴＝(＋)．
12．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜)，
则A(0,1)，P，E，F，
∴＝，
＝，
∴||＝
＝ ，
||＝ ＝ ，
∴||＝||，∴PA＝EF.
课件46张PPT。课时35
向量在平面几何中的应用本课结束课时36 向量在物理中的应用
知识点一 向量在力学中的应用
1.已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为( )
A．(9,1) B．(1,9)
C．(9,0) D．(0,9)
答案 A
解析 F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．故选A．
2．甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂线分别成30°和60°的角时，甲和乙的手上所承受的力的比是( )
A．1∶ B．∶1
C．1∶ D．∶1
答案 D
解析 由物理知识得，|F甲|sin30°＝|F乙|sin60°，
∴|F甲|∶|F乙|＝∶1，故选D．
知识点二 向量在运动学中的应用
3.一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4 km/h，则水流速度的大小为________ km/h.
答案 2
解析 如右图所示，表示船速，表示水速，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则表示船的实际航行速度．在Rt△ABC中，||＝||＝2，
||＝4，∴||＝2.
4．一航船用5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．
解 如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示船实际速度，
∠AOC＝30°，||＝5 km/h.
∵四边形OACB为矩形，
||＝＝＝5≈8.66(km/h)．
||＝＝10(km/h)．
∴水流速度为8.66 km/h，船实际速度为10 km/h.
5．如图，一条河的两岸互相平行，河的宽度d＝1000 m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度为|v1|＝5 km/h，水流速度|v2|＝3 km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少分钟？
解 小船行驶航程最短时，合速度的方向垂直于河岸，小船的实际航行速度|v|＝＝4(km/h)，所以航行时间t＝＝×60＝15(min)．
所以行驶航程最短时，所用的时间是15 min.
知识点三 向量在物理中的综合应用
6.三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
解 由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.
所以a＋c＝－B．
如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．
因为＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理，∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形.
易错点 在渡河问题中忽略水流速度
7.在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
易错分析 本题若忽略了水流速度，就会得到如下错解：渡船要垂直地渡过长江，其航向应垂直于岸边．
正解 如图所示，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°，
即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
一、选择题
1．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 N，则合力的大小为(精确到0.1 N)( )
A．20.6 N B．18.8 N
C．20.8 N D．36.8 N
答案 C
解析 设两条绳索的拉力F1，F2的合力为F合．如图所示，则||＝| |＝12，F合＝，连接BD交AC于M，∠BAM＝30°，∴|F合|＝2||＝2×12cos30°＝12≈20.8(N)．故选C．
2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
答案 B
解析 由题意可知，|F1|＝|F|cos60°＝5(N)．
3．河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )
A．13 m/s B．12 m/s
C．17 m/s D．15 m/s
答案 A
解析 如图所示，v1是河水流速，v为小船实际速度，
则v－v1为小船的静水速度．
于是|v－v1|＝＝＝13.
4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
答案 B
解析 ∵|v|＝ ＝，
||＝ ＝，
∴时间t＝＝3.
5．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A．(5,10) B．(－5,10)
C．(10,5) D．(10，－5)
答案 D
解析 设P(x，y)，则
∴P(10，－5)．
二、填空题
6．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________ m/s.
答案 5
解析 设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量求和的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos60°＝10×＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s.
7．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)，且F1＋F2＋F3＝0，则F3＝________.
答案 (－5,1)
解析 由题设F1＋F2＋F3＝0，得(3,4)＋(2，－5)＋(x，y)＝(0,0)，即∴
∴F3＝(－5,1)．
8．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
答案 ①③
解析 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ.则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝.
∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大．
设船的浮力为F浮，则|F浮|＋|F|sinθ＝|mg|，
∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．
三、解答题
9．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．
解 如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直方向的速度．
则v0＋v1表示船实际航行的速度，
∵|v0|＝4，|v1|＝8，
∴解直角三角形|v0＋v1|＝＝4.
故船实际航行的速度为4千米/时．
10．如图所示，在细绳O处用水平方向的力F2缓慢拉起重力为G的物体，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)分析|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求θ的取值范围．
解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得G＝－(F1＋F2)，|F1|＝，
|F2|＝|G|tanθ.
当θ从0°逐渐增大并接近90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)|F1|＝≤2|G|，
∵0°≤θ＜90°，∴cosθ≥，∴0°≤θ≤60°.
11．某人在一条河中游泳，河水的流速为3 km/h，此人在静水中游泳的速度为4 km/h.
(1)如果他径直游向河对岸，他实际是沿什么方向前进？速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
解 (1)如图，设水流速度为，此人游泳的速度为，以，为邻边作矩形OACB，则此人实际的速度为＝＋.
由||＝3，||＝4，及勾股定理，得||＝5，且在Rt△OAC中，∠AOC≈53°1′.
故此人实际是沿与水流方向的夹角为53°1′的方向前进的，速度大小为5 km/h.
(2)如图，设水流速度为，实际游泳的速度为，实际前进的速度为，
则＋＝，∴四边形OABC为平行四边形．
据题意，⊥，||＝3，||＝4，
则在Rt△AOB中，||＝＝.
cos∠BAO＝，∴∠BAO≈41°41′.
故此人应沿与河岸的夹角为41°41′且逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为 km/h.
课件36张PPT。课时36 向量在物理中的应用本课结束
