4．1.2 指数函数的性质与图像
课时2 指数函数的性质与图像
知识点一 指数函数的概念
1.下列函数①y＝3x2，②y＝4x，③y＝22x，④y＝3×2x，⑤y＝3x＋1中，一定为指数函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ②是指数函数，③y＝22x＝4x是指数函数；①④⑤均不是．
2．函数y＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，则a的值是( )
A．a＞0，a≠1 B．a＝1
C．a＝ D．a＝1或a＝
答案 C
解析 由指数函数的定义得解得a＝，故选C.
知识点二 指数函数的图像
3.若函数y＝3x＋(b－1)的图像不经过第二象限，则有( )
A．b<1 B．b≤0 C．b>1 D．b≥0
答案 B
解析 指数函数y＝3x过定点(0,1)，函数y＝3x＋(b－1)过定点(0，b)，如图所示，若函数图像不过第二象限，则b≤0.
4．如图，曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图像，而a∈，则图像C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是______，________，________，________.
答案 π
解析 由x＝1时y＝a可得指数函数图像变化的规律：在y轴右侧，图高底大．
易知C2的底数＜C1的底数＜1＜C4的底数＜C3的底数．又＜＜＜π，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，，π，.
知识点三 利用指数函数的单调性比较大小
答案 D
解析
6．已知a－5x
0，且a≠1)，求x的取值范围．
解 当a>1时，∵a－5x；当0x－7，解得x<.综上所述，当a>1时，x的取值范围是；当0知识点四 指数函数与其他函数的复合问题
7.求下列函数的定义域和值域．
(3)y＝ ；(4)y＝4x＋2x＋1＋1.
解 (1)x应满足x＋4≠0，∴x≠－4，
∴定义域为{x|x≠－4，x∈R}．
(2)定义域为R.∵|x＋1|≥0，
∴y＝－|x＋1|＝|x＋1|≥0＝1，
∴值域为{y|y≥1}．
(3)x应满足1－x≥0，∴x≤1＝0，
∴x≥0，
∴定义域为{x|x≥0}．∵x≥0，∴x≤1.
又∵x>0，∴0∴0≤1－x<1，∴0≤y<1，∴值域为[0,1)．
(4)定义域为R.
令2x＝t(t>0)，则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2.
∵t>0，∴t＋1>1，∴(t＋1)2>1，
∴y>1，∴值域为{y|y>1}．
8．讨论函数f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．
解 ∵函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，令t＝x2－2x，则f(t)＝t，
又∵t＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数，f(t)＝t在其定义域内是减函数．
∴函数f(x)在(－∞，1]上为增函数．
∵函数f(t)＝t在其定义域内为减函数，t＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．
∴f(x)≤f(1)＝5，又∵x2－2x>0，
∴f(x)的值域为(0,5]．
9．已知函数f(x)＝|x|－1.
(1)作出函数f(x)的简图；
(2)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围．
解 (1)f(x)＝
如图所示．
(2)作出直线y＝3m，当－1<3m<0时，即－10．已知函数f(x)＝.
(1)证明f(x)为奇函数；
(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；
(3)求f(x)的值域．
解 (1)证明：由题知f(x)的定义域为R，
f(－x)＝＝＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)在定义域上是增函数．证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
(3)f(x)＝＝1－，
∵3x＞0?3x＋1＞1?0＜＜2?－2＜－＜0，
∴－1＜1－＜1，即f(x)的值域为(－1,1).
易错点 忽视中间变量的取值范围
11.求函数y＝x＋x＋1的值域．
易错分析 用换元法解答本题，易忽视中间变量的范围致误．
正解 令t＝x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋.
因为函数y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，
所以y>2＋＝1，即原函数的值域是(1，＋∞)．
一、选择题
1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y1>y2>y3
答案 C
解析 y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝－1.5＝21.5，∵y＝2x在R上是增函数，1.8>1.5>1.44，∴y1>y3>y2.故选C.
2．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A. B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
答案 A
解析 由题意，自变量x应满足解得
∴－3＜x≤0.
3．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0答案 D
解析 由图知f(x)在R上单调递减，故00，∴b<0.故选D.
4．函数y＝的值域是( )
A. B．(－∞，0) C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 y＝＝1－，∵3x>0，∴3x＋1>1.
∴0<<1.∴0<1－<1.
即原函数的值域为(0,1)．
5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 B
解析 由f(1)＝a2＝，于是a＝，因此f(x)＝|2x－4|.又g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知f(x)＝|2x－4|的单调递减区间是[2，＋∞)．
二、填空题
6．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.
答案
解析 ∵函数f(x)为奇函数，且x∈R，∴f(0)＝a－＝0.∴a＝.
答案 a≥6
解析
8．若方程＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)∪{0}
解析 作出y＝的图像，如图，要使直线y＝a与图像的交点只有一个，只需a≥1或a＝0.
三、解答题
9．若ax＋1>5－3x＝a3x－5(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
解 因为ax＋1>5－3x＝a3x－5，
所以当a>1时，可得x＋1>3x－5，所以x<3.
当03.
综上，当a>1时，x<3；当03.
(1)求函数的定义域、值域；
(2)确定函数的单调区间．
解 (1)设u＝x2－6x＋17，由于函数y＝u，
及u＝x2－6x＋17的定义域为(－∞，＋∞)，
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