4.2.2 对数运算法则
课时4 积、商、幂的对数
知识点一 正确理解对数的运算法则
1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．logaM·logaN＝loga(M＋N)
B.＝loga(M－N)
C．loga＝logamMn
D．logaM＝
答案 C
解析
2．下列式子中：①lg (3＋2)－lg (3－2)＝0；
②lg (10＋)·lg (10－)＝0；
③log－(＋)＝－1(n∈N*)；
④＝lg (a－b)．
其中正确的有________(填序号)．
答案 ③
解析 lg (3＋2)－lg (3－2)＝lg
＝lg (3＋2)2>0，故①错误．
∵lg (10＋)≠0，lg (10－)≠0.
∴lg (10＋)·lg (10－)≠0，故②错误．
∵log(－)(＋)
＝log(－)＝－1，∴③正确．
∵≠lg (a－b)，故④错误．
知识点二 对数式的计算、化简
3.计算下列各式的值：
(1)log2 ＋log212－log242；
(2)lg 500＋lg －lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2.
解 (1)原式＝log2＝log2＝－.
4．计算：(1)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2；
(2).
解 (1)原式＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2)
＝2lg 5＋2lg 2＝2.
(2)原式＝
＝＝－.
易错点 利用对数的运算法则化简求值时忽略对数有意义的条件
5.设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4的值为________．
易错分析 本题容易出现将对数式lg x＋lg y＝2lg (x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件从而误认为＝4或＝1，得出log4＝1或0的错误答案．
答案 1
正解 由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得
lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，得＝4或＝1，
∴log4＝1或log4＝0.
又∵x>0，y>0，x－2y>0，
∴≠1，即log4≠0，
∴log4＝1.
一、选择题
1．(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 20的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5·lg 10＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.
2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
答案 A
解析 log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
3．若lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x＝( )
A．a＋2b－3c B．a＋b2－c3
C. D.
答案 C
解析 ∵lg x＝lg a＋2lg b－3lg c＝lg，
∴x＝.故选C.
4．若lg x＝m，lg y＝n，则lg －lg 2的值等于( )
A.m－2n－2 B.m－2n－1
C.m－2n＋1 D.m－2n＋2
答案 D
解析 原式＝lg x－2(lg y－lg 10)＝m－2n＋2.
5．化简：log2＋log2＋log2＋…＋log2等于( )
A．5 B．4
C．－5 D．－4
答案 C
解析 原式＝log2＝log2＝－5.
二、填空题
答案
解析
7．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.
答案
解析 方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程．
∵α，β是原方程的两根，
∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根．
由根与系数的关系，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg ，∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg ，即αβ＝.
8．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a，b表示为________．
答案 (1＋a＋b)
解析 由a＝log32，b＝log35，得log3＝log330＝(log35＋1＋log32)＝(1＋a＋b)．
三、解答题
9．计算：.
解 原式＝＝
＝＝.
10．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．
解 原等式可化为loga[(x2＋4)·(y2＋1)]
＝loga[5(2xy－1)]，∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)．
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
∴∴＝.
∴log8＝log8＝－.
课件23张PPT。课时4 积、商、幂的对数 本课结束课时5 换底公式
知识点 换底公式及应用
1．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－等于( )
A. B．3
C．－ D．－3
答案 A
解析 由2.5x＝1000,0.25y＝1000得
x＝log2.51000＝，y＝log0.251000＝，
∴－＝－＝.
2．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.
答案 9
解析 由换底公式，得××＝＝log416＝2，∴lg m＝2lg 3＝lg 9，∴m＝9.
(2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，那么log512＝________.
答案 (1)4 (2)
解析
(2)log512＝＝＝.
4．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．
解 原式＝＝·＝＋＋＋＝.
5．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p；
(2)求证：－＝.
解 (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝，
∴－＝.
6．计算：(1)log89×log2732；
(2)log927；
(3)log2×log3×log5.
解 (1)log89×log2732＝×
＝×＝×＝.
(2)log927＝＝＝＝.
(3)log2×log3×log5
＝log25－3×log32－5×log53－1
＝－3log25×(－5log32)×(－log53)
＝－15×××＝－15.
易错点 换底公式的应用
7.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab·logbc＝logca
B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac
D．loga(b＋c)＝logab＋logac
易错分析 由于对换底公式掌握不清而致错．
答案 B
正解 对于A，logab·logbc＝logab·＝logac，C，D中公式运用错误，loga(bc)＝logab＋logac.
一、选择题
1．(log29)·(log34)＝( )
A. B. C．2 D．4
答案 D
解析 (log29)·(log34)＝×＝×＝4.
2．已知ln 5＝a，ln 3＝b，那么log1527用含a，b的代数式表示为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为log1527＝＝＝，故选B.
3．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9 B. C．25 D.
答案 D
解析 由换底公式，得原式＝··＝2，lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
答案 C
解析
5．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )
A．p2＋q2 B.(3p＋2q)
C. D．pq
答案 C
解析 ∵log83＝＝＝p，
∴lg 3＝3plg 2.
∵log35＝＝q，
∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，
∴lg 5＝，故选C.
二、填空题
6．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
答案 81
解析 logab·log3a＝4，即log3a·＝4，即log3b＝4，
∴34＝b，∴b＝81.
7．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．
答案 4
解析 由换底公式，得log9(x＋5)＝log3(x＋5)．
∴原方程可化为2log3(x－1)＝log3(x＋5)，
即log3(x－1)2＝log3(x＋5)，
∴(x－1)2＝x＋5.
∴x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.
又∵∴x>1，故x＝4.
8．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)·f(2)…f(n)为整数的n叫做“贺数”，则在区间(1,2018)内所有“贺数”的个数是________．
答案 9
解析 f(n)＝logn＋1(n＋2)＝，
∴f(1)f(2)…f(n)＝··…·＝＝log2(n＋2)．
∵n∈(1,2018)，∴n＋2∈(3,2020)，
∵210＝1024,211＝2048，
∴在(3,2020)内含有22,23，…，210共9个2的幂，故在区间(1,2018)内所有“贺数”的个数为9.
三、解答题
9．若2a＝3,3b＝5，试用a与b表示log4572.
解 ∵2a＝3,3b＝5，∴log23＝a，log35＝b，
∴log25＝log23·log35＝ab，
∴log4572＝＝＝＝.
10．设0
解 由已知条件，得logax＋3logxa－logxy＝logax＋－＝3，
所以logay＝(logax)2－3logax＋3
＝2＋.
当logax＝时，logay有最小值.
此时y＝，所以有loga＝，
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