4.4 幂函数
课时8 幂函数
知识点一 幂函数的概念及图像
1.如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图像和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图像经过的部分是④⑧，则f(x)可能是( )
答案 B
解析 ∵函数y＝xα的图像过④⑧部分，
∴函数y＝xα在第一象限内单调递减，
∴α<0，故排除A，C.
对于B，
又x＝2时，y＝，1>>，
∴函数y＝的图像经过⑧部分，
当x＝时，y＝，1<<2，
∴函数y＝的图像经过④部分，
∴B符合题意．对于D，当x＝2时，y＝，<，
∴排除D.故选B.
2．函数f(x)＝(m2－m＋1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是减函数，求f(x)的解析式．
解 根据幂函数的定义得
m2－m＋1＝1，解得m＝0或m＝1.
当m＝0时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上是减函数，符合题意．
故f(x)的解析式为f(x)＝x－3或f(x)＝x－1.
知识点二 幂函数的奇偶性
3.下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )
答案 B
解析 偶函数为B，C两项，但过(0,0)的只有B项．
答案 B
解析 f(x)＝，∵x∈R，f(－x)＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且在第一象限上单调递增．故选B.
知识点三 幂函数的单调性
5.下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( )
答案 C
解析
6．若幂函数的图像过点(2，)，则它的单调递减区间是________．
答案 (－∞，0)
解析 设f(x)＝xα，由2α＝，
知识点四 幂函数的综合问题
7.点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上．当x为何值时，有：
(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)＜g(x)．
解 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图像，如图所示．
由图像知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，
f(x)＞g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)＜g(x).
易错点 条件考虑不全致误
答案
正解
一、选择题
1．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
答案 B
解析
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α组成的集合为( )
A．{－1,1} B．{1,3}
C. D．{－1,3}
答案 B
解析 满足定义域为R的有1，3；满足奇函数的有－1，1,3.故选B.
答案 D
解析
∴a>b，构造指数函数y＝x，
∵其在(0，＋∞)上递减，∴c>a，即c>a>b.故选D.
4．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图像不过原点，且关于原点对称，则( )
A．m＝－2 B．m＝－1
C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－1
答案 A
解析 根据幂函数的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1 或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图像不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图像不过原点，且关于原点对称．
5．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图像可能是( )
答案 C
解析 当a<0时，函数y＝ax－是减函数，且在y轴上的截距－>0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，
∴A，B，C，D项均不正确．若a>0，则y＝ax－是增函数，截距－<0，y＝xa在(0，＋∞)上是增函数．故选C.
二、填空题
答案
解析
答案 3
解析 当α＝1时，不符合，
8．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f的值等于________．
答案
解析 设f(x)＝xα，则＝＝2α＝3，
∴α＝log23，
三、解答题
9．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式．
解 由题意得
解得m＝－1,1,3.
当m＝－1和3时，f(x)＝x0＝1(x≠0)；
当m＝1时，f(x)＝x－4.
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解 (1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴m2＋m为偶数，
由f(2－a)>f(a－1)，得
解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为1≤a<.
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