第四章 指数、对数函数与幂函数(
4.5 增长速度的比较
课时9 增长速度的比较
知识点一 函数的平均变化率
1.函数y＝2x＋1在(1,2)内的平均变化率为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，故平均变化率为＝2.故选C.
2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案 B
解析 ＝＝－1.
3．函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率中，在x＝________附近的平均变化率最大．
答案 3
解析 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.
对任意Δx有，k1∴在x＝3附近的平均变化率最大．
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是________．
答案 ③
解析 Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.
∴k3>k2>k1>k4.
知识点二 函数平均变化率的应用
5.四人赛跑，假设他们走过的路fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
答案 D
解析 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x.故选D.
6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
解 山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝，∴hBC>hAB.
∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．
7．已知函数f(x)＝2x＋3，g(x)＝x2，判断f(1)与g(1)的相对大小，并求出使得f(1＋Δx)解 f(1)＝2×1＋3＝5，g(1)＝1，故f(1)＞g(1)．
函数f(x)＝2x＋3在R上的平均变化率恒为2.
函数g(x)＝x2在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率＝＝Δx＋2>2.又因为当2x＋3＝x2，即x＝3(x＝－1舍去)时，f(x)＝g(x)，所以当Δx>3－1＝2时，f(1＋Δx)8．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)在任意区间[m，n](n>m)上的平均变化率为m＋n.求证f(x)是一个二次函数．
证明 函数f(x)在区间[m，n]上的平均变化率为
＝＝m＋n.
变形得f(n)－f(m)＝n2－m2，f(n)－n2＝f(m)－m2.
令f(n)－n2＝f(m)－m2＝c，c为常数，
所以有f(x)＝x2＋c.所以函数f(x)是一个二次函数．
9．已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝3x－4在同一区间内的平均变化率大，判断f(5)－f(2)与9的相对大小．
解 函数g(x)＝3x－4在R上的平均变化率为3.根据题意，函数f(x)在[2,5]上的平均变化率大于3.
即＝>3.所以f(5)－f(2)>9.
一、选择题
1．函数f(x)＝从x＝到x＝2的平均变化率为( )
A．2 B. C. D.
答案 B
解析 由题意知函数f(x)＝从x＝到x＝2的增量为Δf＝f(2)－f＝－＝2－1＝1，∴f(x)＝从x＝到x＝2的平均变化率为＝＝，故选B.
2．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
答案 A
解析 S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速率＝＝＝6.3.故选A.
3．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( )
A．2－Δx B．－2－Δx
C．2＋Δx D．(Δx)2－2Δx
答案 B
解析 ＝
＝
＝
＝
＝－Δx－2.
故选B.
4．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是( )
A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝，d：y＝2－x
B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝
C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝，d：y＝2－x
D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝
答案 C
解析 a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.
5．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．
二、填空题
6．过函数f(x)＝2x图像上两点A(0,1)，B(1,2)，则直线AB的斜率为________．
答案 1
解析 直线AB的斜率为函数f(x)，在区间[0,1]上的平均变化率＝＝＝1.
7．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
答案 y2
解析 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
8．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
答案 ③
解析 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误．
三、解答题
9．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这两个函数在区间[2,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．
解 ＝＝6，＝＝6，＝＝36.＝＝28.所以在区间[2,4]上的平均变化率由大到小依次为>>＝.
10．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，而且f(x)在定义域内的任意区间上的平均变化率均比g(x)＝x2－x＋1在同一区间内的平均变化率大，求证：f(4)－f(2)>10.
证明 函数g(x)在区间[2,4]上的平均变化率为＝＝5.
根据题意，函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率＝>5，所以f(4)－f(2)>10.
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