第四章 指数、对数函数与幂函数(
4.7 数学建模活动：生长规律的描述
课时11 数学建模活动
1.发现问题、提出问题
我国是人口大国，人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标，预测人口模型的合理性，不仅影响到未来地区经济和社会发展，而且会影响到地区生态环境可持续发展．因此，建立合理的模型，准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义．
下面是我国1964～1999年人口统计表：
年份
1964
1969
1974
1979
1984
1989
1994
1999
人口数/亿
7.04
8.06
9.08
9.79
10.34
11.06
11.76
12.52
照这样的增长趋势，试估计2009年我国的人口数．
2．分析问题、建立模型
根据上表数据在平面直角坐标系中画出人口增长曲线图，选一个近似于人口增长曲线的函数，写出它的解析式．
(1)根据上表数据在平面直角坐标系中找出各点；
(2)由图可以看出人口数不断增加，各点近似在一条直线上，画出一条与标出的8个点最接近的直线，再用待定系数法求出这条直线对应的一次函数，写出它的解析式．
3．确定参数、计算求解
设函数解析式为y＝kx＋b，经过(1964,7.04)，(1994,11.76)，
解得
所以函数解析式为y1＝0.157x－301.308.
经过(1984,10.34)，(1969,8.06)得到函数解析式为y2＝0.152x－291.228.
4．验证结果、改进模型
照这样的增长趋势，我们来估计2009年我国的人口数．
当x＝2009时，y1＝0.157×2009－301.308＝14.105，
当x＝2009时，y2＝0.152×2009－291.228＝14.14.
1982年宪法将计划生育定为基本国策，实际到2009年我国人口总数约为13.347亿．
人口的变化受到众多方面因素影响，因此对人口的预测与控制复杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响．看下面二次函数模型．
问题重述
根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据(如下表)，建立模型估计出该地区2010年的人口，同时画出拟合效果的图形．
该地区人口统计数据
年份
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
人口
7.2
13.8
17.2
17.6
24.7
33.6
36.2
年份
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
人口
48.6
58.1
73.3
89.8
105.6
125.9
149.1
年份
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
人口
172.2
189.8
230.5
246.7
262.1
271.2
280.3
分析问题、建立模型
从作图可以看出，该地区人口数量y与年份x的关系可以近似看作二次函数关系．即y＝ax2＋bx＋c，利用已有数据拟合可得到参数a，b，c.例如利用(1800,7.2)，(1900,89.8)，(2000,280.3)三组数据列方程组
解得a＝0.005395，b＝－19.1355，c＝16971.3，即
y＝0.005395x2－19.1355x＋16971.3.
验证结果、改进模型
作函数y＝0.005395x2－19.1355x＋16971.3的图像如图所示：
从以上二次函数模型和原数据点的拟合效果可以看出，拟合效果在1940年之前还可以，但是对后期的数据拟合的不好．
我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到本世纪末，或到下世纪中叶，全世界(或某地区)的人口将达到多少亿．你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果．
关于人口模型这方面的内容是很丰富的，我国学者为了解决我国人口迅速增长的问题，作了大量的调查研究，建立了不少的人口模型，为我国政府指定相应的人口政策提供依据．
事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此引起的年龄结构变化就变得相当重要，也要予以考虑．
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