课时15 数据的数字特征
知识点一 最值
1.10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，则这组数据的最大值和最小值分别是( )
A．15,17 B．10,17
C．12,17 D．17,10
答案 D
解析 这组数据的最大值是17，最小值是10.故选D.
知识点二 平均数
2.在某项比赛中，七位评委给某位选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.若计分规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分，则该选手的最后得分为( )
A．90分 B．91分
C．92分 D．93分
答案 C
解析 去掉一个最高分95分与一个最低分89分后，所得的5个得分分别是90,90,93,94,93，所以该选手的最后得分为＝＝92(分)．故选C.
知识点三 中位数、百分位数
3.近年来，某市私家车数量持续增长，2014年至2018年该市私家车数量依次为15,19,22,26,30(单位：万辆)，则该组数据的中位数是________，10%分位数是________，20%分位数是________．
答案 22 15 17
解析 这组数据从小到大排列后，22处于最中间的位置，故这组数据的中位数是22.∵5×10%＝0.5，∴该组数据的10%分位数是15，∵5×20%＝1，∴该组数据的20%分位数是＝17.
知识点四 众数
4.某商场一天中售出某品牌运动鞋20双，其中各种尺码鞋的销量如下表所示：
鞋的尺码(单位：cm)
23.5
24
24.5
25
25.5
26
销售量(单位：双)
3
4
4
7
1
1
则这20双鞋的尺码组成的一组数据中，众数是________，中位数是________，在众数和中位数中，商场最感兴趣的是________．
答案 25 24.5 众数
解析 因为这组数据中，25出现的次数最多，所以这组数据的众数是25；将该组数据从小到大排列后，处于中间位置的是第10个数和第11个数，均为24.5，故该组数据的中位数是24.5；在众数和中位数中，商场最感兴趣的是众数．
知识点五 极差、方差与标准差
5.下列说法正确的是( )
A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定
答案 B
解析 平均数表示一组数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以A错误；方差公式s2＝ (xi－)2，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D错误．故选B.
6．已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？
解 ①甲＝×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4，
乙＝×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4.
②极差：甲地温度极差＝15－(－5)＝20；
乙地温度极差＝10－0＝10.
③标准差：
s甲＝
≈8.4；
s乙＝ ≈3.5.
显然两地的平均温度相等，但乙地温度的极差、标准差较小，说明了乙地温度波动较小．
因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋．
易错点一 运用数字特征作评价时考虑不周
7.一次数学知识竞赛中，两组学生成绩如下：
经计算，已知两个组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由．
易错分析 对一组数据进行分析的时候，应从平均数、众数、中位数等多个角度进行判断．否则评价易出现偏差．
正解 (1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些．
(2)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．
(3)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多．同时，乙组满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组成绩较好.
易错点二 忽略方差的统计意义导致错误作答
8.甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/km2)：
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
若某村要从中引进一种冬小麦大量种植，给出你的建议．
易错分析 由于忽视了比较两种小麦产量的稳定性而致误．
正解 由题意得
甲＝×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，
乙＝×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10.
s＝×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
s＝×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，
甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于10，且s＜s，所以产量比较稳定的为甲种冬小麦，推荐引进甲种冬小麦大量种植.
一、选择题
1．在一次“爱心互助”捐款活动中，高一某班第一小组8名同学捐款的金额(单位：元)如下表所示：
金额/元
5
6
7
10
人数
2
3
2
1
则这8名同学捐款金额的最大值、最小值、平均数分别为( )
A．10,5,3.5 B．10,5,6
C．10,5,6.5 D．10,5,7
答案 C
解析 这8名同学捐款金额的最大值为10，最小值为5，平均数为＝6.5.故选C.
2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数、中位数和75%分位数分别为( )
A．84,68,83 B．84,78,83
C．84,81,84 D．78,81,84
答案 C
解析 将所给数据按从小到大的顺序排列是68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81.因为10×75%＝7.5，所以这一组数据的75%分位数为84.故选C.
3．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．57.2,3.6 B．57.2,56.4
C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
答案 D
解析 每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．
4．一组数据的平均值是，标准差是s，将这组数据中的每个数据都乘以2，所得到的一组新数据的平均值和标准差分别是( )
A.，s B.，2s
C．2，s D．2，2s
答案 D
解析 设该组数据为x1，x2，…，xn，都乘以2后的新数据为2x1,2x2，…，2xn.
由题意知＝，
则＝2.
又s＝ ，
所以 ＝2s.
故选D.
5．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是( )
A．甲同学：均值为2，众数为1
B．乙同学：均值为2，方差小于1
C．丙同学：中位数为2，众数为2
D．丁同学：众数为2，方差大于1
答案 B
解析 甲同学：若均值为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除A；乙同学：均值为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，则方差s2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2]<1，则(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2<3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2,2,4，不符合题意；丁同学：有可能是2,2,6，不符合题意．故选B.
二、填空题
6．某班8名学生的体重(单位：kg)分别是：42,48,40,47,43,58,47,45，则这组数据的极差是________，中位数是________，25%分位数是________．
答案 18 46 42.5
解析 因为所给数据的最大值是58，最小值是40，所以极差是58－40＝18.将所给数据按从小到大的顺序排列是40,42,43,45,47,47,48,58.因为这组数据共8个，处于中间位置的是第4个数和第5个数，故这组数据的中位数是＝46.因为8×25%＝2，所以这组数据的25%分位数是＝42.5.
7．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据．
观测序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据ai
40
41
43
43
44
46
47
48
上述统计数据的平均数是________，方差是________．
答案 44 7
解析 上述统计数据的平均数＝×(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，
方差＝×[(40－44)2＋(41－44)2＋(43－44)2＋(43－44)2＋(44－44)2＋(46－44)2＋(47－44)2＋(48－44)2]＝7.
8．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
答案 4
解析 由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4.
三、解答题
9．据报道，某销售公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示(单位：万元)：
部门
A
B
C
D
E
F
G
人数
1
1
2
1
5
3
20
每人所创年利润
5.5
5
3.5
3
2.5
2
1.5
(1)求该公司职工每人所创年利润的平均数、中位数、众数、极差；
(2)假设部门A所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数、极差又是多少？
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？
解
(1)＝≈2.1，中位数为1.5，众数为1.5，极差为4.
(2)＝≈3.3，中位数为1.5，众数为1.5，极差为28.5.
(3)中位数或众数均能反映该公司职工每人所创年利润的平均水平．这是因为公司中少数人每人所创年利润与大多数人每人所创年利润差别较大，这样导致平均数与中位数或众数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平．
10．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别如下：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．
解 (1)由题意，知甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.
(2)由方差公式
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
得s＝3，s＝1.2.
(3)甲＝乙，说明甲、乙两名战士射击的平均水平相当．
s>s，说明甲战士的射击情况波动大．
因此乙战士比甲战士的射击情况稳定．
课件37张PPT。课时15 数据的数字特征本课结束
