5．3.2 事件之间的关系与运算
课时20 事件之间的关系与运算
知识点一 事件的运算
1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有( )
A．E?F B．G?F
C．E＋F＝G D．EF＝G
答案 C
解析 根据事件之间的关系，知E?G，F?G，事件E，F之间不具有包含关系，故排除A，B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以EF＝?，故排除D；事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以E＋F＝G.故选C.
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的积事件是什么？
解 (1)对于事件D，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球”，故D＝A＋B.
(2)对于事件C，可能的结果为“1个红球，2个白球，或2个红球，1个白球，或3个均为红球”，故CA＝A.
知识点二 事件关系的判断
3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
答案 C
解析 ①“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互斥事件；
②“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥事件；
③“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥事件；
④“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是互斥事件．故选C.
4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与2名全是男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
解 (1)因为“恰有1名男生”与“2名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当2名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为“2名全是男生”发生时“至少有1名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．
(4)由于选出的是“1名男生1名女生”时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
知识点三 互斥事件的概率
5.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．
答案
解析 记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
6．在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示：
等候人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0.05
0.14
0.35
0.30
0.10
0.06
求：(1)等候人数不超过2的概率；
(2)等候人数大于等于3的概率．
解 设A，B，C，D，E，F分别表示等候人数为0,1,2,3,4，大于等于5的事件，则易知A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)设M表示事件“等候人数不超过2”，则M＝A＋B＋C，故P(M)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.05＋0.14＋0.35＝0.54，即等候人数不超过2的概率为0.54.
(2)设N表示事件“等候人数大于等于3”，则N＝D＋E＋F，故P(N)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.30＋0.10＋0.06＝0.46，即等候人数大于等于3的概率为0.46.
知识点四 对立事件的概率
7.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
答案 C
解析 由对立事件的概率知抽到的不是一等品的概率为P＝1－0.65＝0.35.
8．某射击手平时的射击成绩统计如下表所示：
环数
7环以下
7
8
9
10
命中概率
0.13
a
b
0.25
0.24
已知他命中7环及7环以下的概率为0.29.
(1)求a和b的值；
(2)求命中10环或9环的概率；
(3)求命中环数不足9环的概率．
解 (1)因为他命中7环及7环以下的概率为0.29，
所以a＝0.29－0.13＝0.16，b＝1－(0.29＋0.25＋0.24)＝0.22.
(2)命中10环或9环的概率为0.24＋0.25＝0.49.
(3)命中环数不足9环的概率为1－0.49＝0.51.
易错点 不能区分事件是否互斥而错用加法公式
9.掷一个质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．
易错分析 由于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解，而致误．
正解 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A＋B＝A1＋A2＋A3＋A4.
故P(A＋B)＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.
一、选择题
1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是 ( )
A．A?D B．BD＝?
C．A＋C＝D D．A＋C＝B＋D
答案 D
解析 由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A?D，故A正确．由于事件B，D是互斥事件，故BD＝?，故B正确．再由A＋C＝D成立可得C正确．A＋C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B＋D为必然事件，故D不正确．故选D.
2．下列说法正确的是( )
A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
C．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是对立事件
D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
答案 A
解析 根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A正确．对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，且均为零，故B错误．若P(A)＋P(B)＝1，且AB＝?时，事件A与B是对立事件，故C错误．事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生，A，B都发生；A，B中恰有一个发生包括A发生B不发生，A不发生B发生；当事件A，B互斥时，事件A，B至少有一个发生的概率等于事件A，B恰有一个发生的概率，故D错误．
3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是 ( )
A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球
C．3个都是红球 D．至少有一个红球
答案 C
解析 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“至少有1个白球”，则事件A的对立事件是所取的3个球中没有白球，∴事件A的对立事件是3个都是红球．故选C.
4．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A＋B及B＋C的概率分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
答案 A
解析 P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.因为事件A，B，C两两互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝.P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝.
5．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法正确的个数是( )
①A1＋A2与A3是互斥事件，也是对立事件；
②A1＋A2＋A3是必然事件；
③P(A2＋A3)＝0.8；
④P(A1＋A2)≤0.5.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 由题意知，A1，A2，A3不一定是互斥事件，所以P(A1＋A2)≤0.5，P(A2＋A3)≤0.8，P(A1＋A3)≤0.7，所以，只有④正确，所以说法正确的个数为1.选B.
二、填空题
6．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．
答案 2次都中靶
解析 事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”．
7．从一副扑克牌(52张，无大小王)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则P(A＋B)＝________.
答案
解析 事件A，B为互斥事件，可知P(A)＝，P(B)＝＝，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
8．在掷一个骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A＋发生的概率为________．(表示B的对立事件)
答案
解析 随机掷一个骰子一次共有六种不同的结果，其中事件A“出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果，P(A)＝＝.
事件B“出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果，
P(B)＝＝，P()＝.
且事件A和事件是互斥事件，
∴P(A＋)＝＋＝.
三、解答题
9．掷一个骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于3}，D＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}．
求：(1)AB，BC；
(2)A＋B，B＋C；
(3)记是事件H的对立事件，求，C，＋C，＋.
解 (1)AB＝?，BC＝{出现2点}．
(2)A＋B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，B＋C＝{出现1,2,4或6点}．
(3)＝{出现点数小于或等于2}＝{出现1或2点}，
C＝BC＝{出现2点}，
＋C＝A＋C＝{出现1,2,3或5点}，
＋＝{出现1,2,4或5点}．
10．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A＋B＋C，
∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，由对立事件概率公式得P(N)＝1－P(A＋B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
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