5.3.3 古典概型
课时21 古典概型
知识点一 样本点个数的计算
1.一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
答案 C
解析 把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.
2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求出这个试验的样本点的总数；
(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
(2)样本点的总数为6.
(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个样本点：(2,0)，(2,1)．
知识点二 古典概型的判断
3.下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
答案 D
解析 A，B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的总数是无限的；D项中每个样本点的发生是等可能的，且样本点总数有限．故选D.
4．下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
答案 ③
解析 ①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
知识点三 古典概型概率的计算
5.一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A1，A2,4个黑球记为B1，B2，B3，B4，从中一次摸出2个球．
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求摸出的2个球颜色不同的概率．
解 (1)这个试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个样本点．
(2)因为(1)中的15个样本点出现的可能性是相等的，事件“2个球颜色不同”包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，共8个，故所求事件的概率P＝.
6．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率．
(1)标签的选取是无放回的；
(2)标签的选取是有放回的．
解 记事件A为“选取的2张标签上的数字为相邻整数”．
(1)从4张标签中无放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点．
由古典概型的概率计算公式知P(A)＝＝，故无放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为.
(2)从4张标签中有放回地随机选取2张，则试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共有16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．A＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}，包含6个样本点，由古典概型的概率计算公式知P(A)＝＝，故有放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为.
7．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解 甲校的男教师用A，B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E，F表示．
(1)根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，这个试验的样本空间Ω＝{AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF}，共有9个样本点，这9个样本点发生的可能性是相等的．
其中“性别相同”包含的样本点有AD，BD，CE，CF，共4个．
故选出的2名教师性别相同的概率P＝.
(2)若从报名的6名教师中任选2名，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF}，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的．
其中“选出的2名教师来自同一个学校”包含的样本点有AB，AC，BC，DE，DF，EF，共6个样本点．
故选出的2名教师来自同一学校的概率P＝＝.
易错点 对样本空间列举不全致误
8.任意掷两个骰子，计算：
(1)出现点数之和为奇数的概率；
(2)出现点数之和为偶数的概率．
易错分析 本题易出现样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)}的错误；忽略先后顺序导致对样本空间列举不全致误．
正解 任意掷两个骰子，这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的．
(1)“出现点数之和为奇数”包含的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，共18个．因此点数之和为奇数的概率为＝.
(2)点数之和为偶数的概率为1－＝.
一、选择题
1．下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有样本点的个数只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)＝.
其中所有正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④
答案 D
解析 ②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D.
2．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 这个试验的样本空间中共包含36个样本点，且这36个样本点发生的可能性是相等的，“点数之和为3的倍数”包含的样本点有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12个，因此所求概率为＝.
3．从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 这个试验的样本空间Ω＝{12,13,21,23,31,32}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的，因此是古典概型．其中“大于23”包含的样本点有31,32，共2个，所以所求概率P＝＝.
4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别为b1，b2，b3.
齐王与田忌赛马，其情况有：
(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；
(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；
(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；
(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜．共6种情况，且这6种情况发生的可能性是相等的．
其中田忌获胜的只有一种情形，即(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，则田忌获胜的概率为.故选D.
5．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，这个试验共包含16个样本点，这16个样本点发生的可能性是相等的，其中“|a－b|≤1”包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为＝.
二、填空题
6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．
答案
解析 设一、二等奖分别用A，B表示，另一张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取一张，这个试验的样本空间Ω＝{AB，AC，BA，BC，CA，CB}，共包含6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中两人都中奖的事件包含的样本点有AB，BA，共2个，故所求的概率P＝＝.
7．从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为________．
答案
解析 从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，这个试验的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)}，共6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中“甲、乙两人中有且只有一人被选取”这个事件包含的样本点有(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，共4个，故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为＝.
8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是______．
答案
解析 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，且组成这24个自然数的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以组成的三位数为“有缘数”的概率为＝.
三、解答题
9．先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7，事件C：点数之和小于11，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A＋B)，P(C)．
解 用数对(x，y)表示抛掷结果，则这个试验的样本空间Ω＝
，
共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的，A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含6个样本点，所以P(A)＝＝.
B＝，包含15个样本点，所以P(B)＝＝.
AB＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)}，包含3个样本点，所以P(AB)＝＝.
A＋B＝，包含18个样本点，所以P(A＋B)＝＝.
因为事件C的对立事件表示“点数之和等于或大于11”，所以＝{(5,6)，(6,5)，(6,6)}，P()＝＝.
所以P(C)＝1－P()＝1－＝.
10．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以样本点总数n＝16，且这16个样本点发生的可能性是相等的．
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3则事件B包含的样本点共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P(B)＝＝.
事件C包含的样本点共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝.因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
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