5．3.5 随机事件的独立性
课时23 随机事件的独立性
知识点一 随机事件独立性的判定
1.袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，则A1与是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
答案 A
解析 根据相互独立事件的概念可知，A1与A2相互独立，故A1与也相互独立．
2．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得草花”，记事件C为“抽得J”，判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；
(2)C与A.
解 (1)解法一：事件A与B相互独立．
因为任抽一张，事件B发生的概率为，若事件A发生
了，因为有4张K，是草花K的概率还是.
故A的发生与否并不影响事件B发生的概率，故事件A与B相互独立．
解法二：P(A)＝＝，P(B)＝＝，
事件AB即为“抽得草花K”，故P(AB)＝.
从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．
(2)事件A与C不相互独立．
任抽一张，事件C发生的概率为.若事件A发生了，则事件C就没有发生，即事件A的发生影响了事件C发生的概率，故二者不是相互独立事件．
知识点二 相互独立事件同时发生的概率
3.如图所示，在两个转盘中，指针落在转盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵左边转盘指针落在奇数区域的概率为，右边转盘指针落在奇数区域的概率为，∴两个转盘指针同时落在奇数区域的概率为×＝.
4．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．
答案
解析 用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
且P()＝P()P()P()＝××＝.
∴此密码被破译的概率为1－＝.
知识点三 相互独立事件概率的综合应用
5.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
解 记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；
CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；
CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；
CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，
C＝CB1CA1＋CB2CA2.
P(C)＝P(CB1CA1＋CB2CA2)
＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)
＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．
由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，故P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝，P(C)＝×＋×＝0.48.
易错点 不能正确理解独立事件发生的概率致误
6.设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率．
易错分析 在相互独立事件A和B中，只有A发生，即事件A发生；只有B发生，即事件B发生．
解决此类问题时，往往会误认为P(A)＝P(B)＝，其实在A和B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个基本事件同时发生，即事件A发生．
正解 因为A和B相互独立，
所以A与，和B也相互独立．
所以P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝，①
P(B)＝P()P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝.②
①－②，得P(A)＝P(B)．③
①③联立，解得P(A)＝P(B)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
故事件A和事件B同时发生的概率为.
一、选择题
1．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75 C．0.60 D．0.48
答案 B
解析 设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得，P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，
由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8P(A2)＝0.6，
解得P(A2)＝＝0.75.
2．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设事件A：甲实习生加工的零件为一等品，事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝，P(B)＝，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
3．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )
A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4
答案 A
解析 解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故所求事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.
解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故所求事件的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.故选A.
4．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，三人各答一次，则三人中只有1人及格的概率为( )
A. B.
C. D．以上都不对
答案 C
解析 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为××＋××＋××＝.
5．如图所示，用K，A1，A2三个不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
答案 B
解析 解法一：由题意知，K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
因为K，A1，A2相互独立，
所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为
P(A2)＋P(A1)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，
所以系统正常工作的概率为
P(K)[P(A2)＋P(A1)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
解法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为
1－P( )＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.
所以系统正常工作的概率为P(K)[1－P( )]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.
二、填空题
6．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．
答案
解析 设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝A＋B，且A和B互斥．
故P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
7．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
答案 0.09
解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
答案 0.46
解析 设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3＋A1A3＋A2A3发生，故所求概率为
P＝P(A1A2A3＋A1A3＋A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P()P(A3)＋P()P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
三、解答题
9．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众需彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X＝2的概率．
解 (1)设事件A表示“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”．观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1－＝，所以P(A)＝×＝.
(2)用事件B，C，D分别表示“甲、乙、丙选中3号歌手”．根据题意P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
X＝2意味着甲、乙、丙三人中只有2人选中3号歌手，所以P(X＝2)＝P(BC)＋P(BD)＋P(CD)＝××＋××＋××＝.
10．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
A组：10,11,12,13,14,15,16；
B组：12,13,15,16,17,14，a.
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果a＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．
解 设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，
事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.
由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2，…，7.
(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是
P(A5＋A6＋A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.
(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C＝A4B1＋A5B1＋A6B1＋A7B1＋A5B2＋A6B2＋A7B2＋A7B3＋A6B6＋A7B6.
因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.
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