第六章 平面向量初步
6.1.1 向量的概念
课时25 向量的概念
知识点一 位移与向量
1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 D
解析 一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．
2．下列结论中正确的是( )
A．对任一向量a，|－a|>0总是成立的
B．模为0的向量的方向是不确定的
C．向量就是有向线段
D．任意两个单位向量的方向相同
答案 B
解析 若向量a为零向量，则|－0|＝0，故A错误；模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，B正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形，而向量是带方向的量，不是有向线段，C错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，D错误．
3．一个人从A点出发向西走了5米到C，又向南走了5米到达B点，求此人从A到B的位移．
解 如下图，位移为向西南方向走了5米．
知识点二 向量的相等与平行
4.下列关于向量的说法正确的个数是 ( )
①始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②始点相同，相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的始点与终点一定共线．
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 C
解析 始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的始点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．
5．下列四个命题：
①模为0的向量与任意向量平行；②单位向量与任一向量平行；③两个方向相反的向量必是共线向量；④两个非零向量平行，则这两个向量相等．
其中为真命题的是________．
答案 ①③
解析 模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，与任意向量平行，故①正确；单位向量的方向不确定，故②不正确；两个方向相反的向量必是共线向量，③正确；两个非零向量平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等．故④不正确．
6．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，O为其中心，分别写出：
(1)向量的起点、终点和长度；
(2)与向量共线的向量；
(3)与向量相等的向量．
解 (1)向量的起点为O，终点为A，长度为2.
(2)与共线的向量有，，.
(3)与O相等的向量有，.
易错点 对相等向量的概念把握不准致误
7.在?ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S}，且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
易错分析 求解本题时，若不能准确把握“方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量”，就会误认为T中元素的个数为20.
正解 S＝{A，B，C，D，O}，S中任意两点连成的有向线段有：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，.
由平行四边形的性质可知(如图)，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，又集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个．
一、选择题
1．在⊙O中，以O点为始点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是( )
A．方向 B．大小
C．大小和方向 D．以上均不对
答案 B
解析 由于⊙O半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的．
2．下列各命题中，正确命题的个数为( )
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若＝D，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若0∥a，0∥b，则a∥b.
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 D
解析 ①|a|＝|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量同向，故此命题不正确；②由A＝D可得|A|＝||且A∥D，由于∥，A，B，C，D可能在同一条直线上，故此命题不正确；③正确；④0与任意向量平行，命题不正确．
3．如图，已知D，E，F是正三角形ABC三边的中点，由A，B，C，D，E，F六点中的两点构成的向量中与(除外)共线的向量个数为( )
A．2 B．4
C．5 D．7
答案 D
解析 与共线的向量有：，，，，，，.
4．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中错误的是( )
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
答案 D
解析 根据题意，依次分析选项可知A，B，C均成立，对于D，a与b为反向的共线向量，则a和b不相等，D错误．
5．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A. B. C．1 D．2
答案 C
解析 因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.如图．
二、填空题
6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的始点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
答案 3π
解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
7．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量的个数是________．
答案 8
解析 找出与AC平行的直线，确定长度为2的线段，共有，，，，，，，，故共有8个．
三、解答题
8．如图，已知平面上点C和向量，作出同时满足下列三个条件的向量．
(1)以C为始点；(2)与的模相等；(3)与平行．
解 如图，向量，即为所求向量．
9．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若||＝3，求向量的模．
解 在?ABCD和?ABDE中，易知＝，＝，
∴＝，∴E，D，C三点共线．
∴||＝||＋||＝2||＝6.
10．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别找出与， 相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与的模相等的向量．
解 (1) ＝， ＝.
(2)与共线的向量有：， ， .
(3)与的模相等的向量有：， ，， ， ， ， .
11．如图所示，四边形ABCD中＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证： ＝.
证明 由＝可知，AB∥CD且||＝||，
故四边形ABCD为平行四边形，
∴∥且||＝||.
又由＝同理可得，四边形CNAM是平行四边形，
∴∥且||＝||.
∵||＝||－||＝||－||，
||＝||－||，
∴||＝||，又∥，
∴与方向相同，即∥，
故＝.
12．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1 m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1 m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1 m，按此方法继续操作下去．
(1)按适当的比例作图说明当α＝45时，至少需操作几次时赛车的位移为0；
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．
解 (1)如右图可知操作8次可使赛车的位移为零，此时α＝＝45.
(2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作图形需是内角为(180－α)度的正多边形，故n(180－α)＝(n－2)180，得α＝，又n是不小于3的整数，所以当n＝10即α＝36时需操作10次可回到出发点；当n＝12即α＝30时需操作12次可回到出发点．
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