6.1.3 向量的减法
课时27 向量的减法
知识点一 向量的减法运算
1.下列各式中不能化简为A的是( )
A．(－)－
B． －(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－ －＋
答案 D
解析 因为(－)－＝＋＋＝A＋＝；－(＋)＝－0＝；－(＋)－(＋)＝－(－)－(＋)＝－－－＝＋－＝；－－＋＝＋＋＝＋2.故选D.
2.－－＝________，＋－＝________.
答案
解析 －－＝－＝＋＝；＋－＝－＝.
知识点二 用已知向量表示其他向量
3.若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a， ＝b，用a，b表示向量为( )
A．a＋b B．－a－b C．－a＋b D．a－b
答案 B
解析 由平行四边形对角线互相平分的性质知＝－，即O＝－a，＝－＝－a－b.
4．已知从点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则向量等于________．
答案 b－a－c
解析 如图，＝a，＝b，＝c，
则＝＋A＝＋＝＋(－)＝a＋(c－b)＝a＋c－b.故＝－＝b－a－c.
知识点三 向量减法几何意义的应用
5. 如图，已知正方形ABCD的边长等于1， ＝a， ＝b， ＝c，试作向量并分别求模：
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
解 (1)如图，由已知得，a＋b＝＋＝，
又＝c，∴延长AC到E，
使| |＝||.
则a＋b＋c＝，且| |＝2.
(2)如图，作＝A，
则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
6．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.设＝a，＝b，＝c，求|a－b－c|.
解 如图，b＋c＝，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－＝－＝，
则|a－b－c|＝||
＝＝8.
易错点 不能运用向量加减法的几何意义作图致误
7.已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝________.
易错分析 不能利用向量加减法的几何意义作图，并且不能根据线段长度之间的关系得到图形的几何性质是造成问题难解、错解的主要原因．
答案
正解 如图，设＝a，＝b，＝a＋b，则＝－＝a－b，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴BA＝OA＝OB.
∴△OAB为正三角形，设其边长为1，
则|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝2×＝.
∴＝＝.
一、选择题
1．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则B－C＋B等于( )
A．B B． C． D．
答案 A
解析 －＋＝＋＋＝＋0＝.
2．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a， ＝b， ＝c，则等于( )
A．a＋b B．b－a C．c－b D．b－c
答案 D
解析 ＝＝＝－＝b－c.
3．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法中错误的是( )
A．a∥b B．a≠b C．|a|≠|b| D．b＝－a
答案 C
解析 由相反向量定义知，a与b方向相反，长度相等．故选C.
4．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
答案 C
解析 以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝.由m，n的长度相等，可知两对角线相等，因此平行四边形是矩形．故选C.
5．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．2 B．4 C．16 D．8
答案 A
解析 因为|＋|＝|－|，又点A在直线BC外，故四边形ABDC是以AB，AC为邻边的平行四边形且对角线相等，故ABDC为矩形，|A|＝|B|＝2.
二、填空题
6．(1)( ＋)＋(－－)＝________；
(2) －－＝________.
答案 (1) (2)
解析 (1)原式＝(＋)＋B＋＝＋0＝.
(2)原式＝－＝.
7．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|的值为________．
答案 13
解析 a，b，a－b构成了一个直角三角形，
则|a－b|＝＝＝13.
8．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________(填序号)．
①；②；③；④－＋；⑤＋；⑥－；⑦＋.
答案 ①④
解析 －＋＝＋＝，①正确．④中－＋＝＋＋＝＋＝，故④正确．⑤＋＝＋＝，⑤错误．⑥－＝，⑥错误．⑦＋＝，⑦错误．
三、解答题
9. 如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－.
解 ＝－＝c－a，
＝－＝d－a，
－＝＝－＝d－b，
＋＝－＋－＝b－a＋f－c，
－＝＝－＝f－d.
10．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
解 设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.
∵(＋1)2＋(－1)2＝42，
∴||2＋||2＝||2，∴OA⊥OB.
∴平行四边形OACB是矩形．
∵矩形的对角线相等，
∴||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
11．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
解 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，同样，由向量的减法知＝－＝a－b.
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
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