6．1.5 向量的线性运算
课时29 向量的线性运算
知识点一 向量的加法与数乘向量的混合运算
1.化简：
(1)2＝________；
(2)2(a＋b)＋3(a＋b)＝________；
(3)(a＋b)＋(a＋b)＝________________.
答案 (1)a＋6b (2)5a＋5b (3)(a＋b)
解析 (1)原式＝2×a＋2×3b＝a＋6b.
(2)原式＝2a＋2b＋3a＋3b＝5a＋5b.
(3)原式＝λ(a＋b)＋μ(a＋b)＋λ(a＋b)＋μ(a＋b)＝(a＋b)＋(a＋b)＝λ＋μ(a＋b)＝(a＋b)．
知识点二 向量的线性运算
2.化简下列各式：
(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)＝________；
(2)＝________.
答案 (1)－a－b (2)a－b
解析 (1)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＋2c－6b＝(2－3)a＋(3＋2－6)b＋(－1－1＋2)c＝－a－b.
(2)原式＝＝＝＝a－b.
3．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；
(2)已知其中a，b为已知向量，求x，y.
解 (1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0.
得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a.
∴x＝2b－a.
(2)
由②得y＝x－b，代入①，
得3x＋4＝a，∴3x＋x－b＝a，
∴x＝a＋b.
∴y＝－b＝a＋b－b
＝a－b.
综上可得
知识点三 向量的线性运算的应用
4.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( )
A． ＋
B．－ ＋
C．－ －
D． －
答案 B
解析 解法一：∵D是AB的中点，
∴＝，
∴＝＋B＝－＋.
解法二：＝( ＋)＝[＋(＋)]＝＋＝－＋.
5．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
答案 B
解析 ∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴与平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．
6．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a， ＝b，给出下列命题：
①＝－a－b；② ＝a＋b；
③＝－a＋b；④ ＋＋＝0.
其中正确命题的序号为________．
答案 ①②③④
解析 如图，＝＋＝－b＋ ＝－b－a.
＝＋＝a＋b.
＝＋
＝＋(＋)
＝b＋(－b－a)＝b－a.
＋＋
＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.
7．设x，y是未知向量．
(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
(2)解方程组
解 (1)原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，
即8x＝－5a＋3b，
∴x＝－a＋b.
(2)
－2×①＋②，得y＝－2a＋b，
∴y＝－a＋b.
代入②，得x＝－a＋b.
∴
8．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝，设＝a，＝b.
求证：＝(b－a)．
证明 ∵＝＝，∴＝＝b，＝＝(＋)＝(－b－a)＝－b－a.
∴＝＋＝b－b－a＝b－a＝(b－a).
易错点 用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误
9.在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝，b＝，用向量a，b表示 ＝________.
易错分析 本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有＝或＝.解题时条件转化要全面准确．
答案 a＋b或a＋b
正解 因为D为BC的三等分点，
当BD＝BC时，如图1，
＝，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.
当BD＝BC时，如图2，
＝，
所以＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
一、选择题
1．化简：3(2a＋b)＋2(4a＋2b)＝( )
A．7a＋4b B．14a＋4b
C．7a＋14b D．14a＋7b
答案 D
解析 原式＝6a＋3b＋8a＋4b＝14a＋7b.故选D.
2．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
答案 A
解析 ∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴解得∴x－y＝3.
3．平面上有一个△ABC和一点O，设＝a， ＝b， ＝c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量等于( )
A.(a＋b＋c) B.(－a＋b＋c)
C.(a－b＋c) D.(a＋b－c)
答案 B
解析 ＝－＝(＋)－＝(－a＋b＋c)．
4．设D为△ABC所在平面内一点，＝，则等于( )
A.＋ B.＋
C.－ D.－
答案 B
解析 ∵＝，∴－＝(－),
∴＝＋.故选B.
5．以下选项中，a与b不一定共线的是( )
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.
答案 C
解析 找出一个非零实数λ使得a＝λb即可判断a∥b.A项中a＝－b；B项中a＝4b；D项中a＝－b，故A，B，D三项中a∥b，而C项中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C项a与b不一定共线，故选C.
二、填空题
6．已知向量a，b不共线，实数x，y满足向量等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝________，y＝________.
答案 3 －4
解析 因为a与b不共线，则解得
7．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足P＋P＝0,2Q＋Q＋Q＝B，若|P|＝λ|B|，则正实数λ＝________.
答案
解析 ∵P＋P＝0，∴点P是线段AC的中点，
∵2＋＋＝，
∴2＝－－＝Q－－－＝2，
∴点Q是线段AB的中点，
∵| |＝λ||，∴λ＝.
8．设O是△ABC内部一点，且＋＝－3，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
答案 1∶3
解析 如图，由平行四边形法则，知＋＝，其中E为AC的中点．
所以＋＝2＝－3.
所以＝－，
||＝||.
设点A到BD的距离为h，则S△AOB＝||·h，S△AOC＝2S△AOE＝||·h.
所以＝＝＝×＝.
三、解答题
9．计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)－；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
解 (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝－
＝－
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.
10. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设＝a， ＝b，试用a，b表示， ， .
解 由已知得＝＝b.
如图，取AB的中点E，连接DE，
则四边形DEBC为平行四边形．
所以＝＝＋＝a－b.
∵MN＝(AB＋DC)，MN∥AB，
∴M＝(＋)＝＝b.
11．已知两个非零向量e1，e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
证明 ∵＝＋＋
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)
＝6.
∴∥.
又∵AD和AB有公共点A，∴A，B，D三点共线．
12．如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M是AB的中点，点N在BD上，
且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．
证明 设＝a，＝b，
∵＝＋＝＋
＝a＋(－)
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝a＋b，
∴＝，∴∥，
又MN与MC有公共点M，
故M，N，C三点共线．
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