北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第4讲 二次函数的概念(基础)含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第4讲 二次函数的概念(基础)含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 154.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-18 21:56:58 | ||
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文档简介
二次函数的概念—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；
2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；
3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；
4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.
【要点梳理】
要点一、函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.
对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.
要点诠释： 对于函数的概念，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；
（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.
要点二、函数的三种表示方法
表示函数的方法，常见的有以下三种： （1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法. （2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法. 要点诠释：
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
对照表如下：
表示方法
全面性
准确性
直观性
形象性
列表法
×
∨
∨
×
解析式法
∨
∨
×
×
图象法
×
×
∨
∨
要点三、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．
【典型例题】
类型一、函数的相关概念
1、如图所示，下列各曲线中表示是的函数的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】抓住函数定义中的关键词语“都有惟一确定的值”，与之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.
【答案】C；
【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．
【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.
举一反三：
【变式】下列等式中，是的函数有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C；要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于 当取2时，有两个值±与它对应，对于，当取2时，有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数定义的要求：y都有惟一确定的值与x对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义.
2、求出下列函数中自变量的取值范围.
（1）． （2）． （3）．
（4）． （5）． （6）．
【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.
【答案与解析】
解：（1）． ，为任何实数，函数都有意义；
（2）．，要使函数有意义，需2－3≠0，即≠；
（3）．，要使函数有意义，需2＋3≥0，即；
（4）．，要使函数有意义，需2－1＞0，即；
（5）．，为任何实数，函数都有意义；
（6）．，要使函数有意义，需，即≥－3且≠－2.
【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况.
3、若与的关系式为，当＝2时，的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【思路点拨】把代入关系式即可求得函数值.
【答案】B；
【解析】.
【总结升华】是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
类型二、函数的三种表示方法
4、一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
t/时
0
1
2
3
4
5
…
y/米
10
10．05
10．10
10．15
10．20
10．25
…
(1)由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数.
【答案与解析】
解：(1)由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0.05米，这样的规律可以表示为：y=0.05t+10（0≤t≤5）
这个函数的图象如下图所示：
(2)再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0.05t+10的函数值，从解析式容易算出：y=0.05×7+10=10.35,从函数图象也能得出这个值数．
答：2小时后，预计水位高10.35米．
【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题.
类型三、二次函数的概念
5、当常数m≠ 时，函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数；当常数m= 时，这个函数是一次函数．
【思路点拨】根据一次函数与二次函数的定义求解.
【答案与解析】解：由函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数，得
m2﹣2m﹣8m≠0．
解得m≠4，m≠﹣2，
由y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是一次函数，得
，
解得m=4，
故答案为：4，﹣2；4．
【总结升华】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不能为零，一次函数一次项的系数不能为零．
举一反三：
【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )
A. B. C. D.
【答案】A
【变式2】若函数是二次函数，则m的值是 ．
【答案与解析】解：若函数是二次函数，
则m2﹣9m+20=2，再利用m﹣6≠0，
故（m﹣3）（m﹣6）=0，m≠6，
解得：m=3．
故答案为：3．
二次函数的概念——巩固练习（基础）
【巩固练习】
一.选择题
1．如图，表示是的函数图象是（ ）
2. 当x=4时，函数的值是（ ）
A．-19 B．-20 C．-21 D．-22
3. 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．矩形的周长为18，则它的面积S（）与它的一边长（）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（ ）
6.（2019秋·石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（ ）个.
（1）；（2)y=3(x-1)2＋2；（3)y=(x+3)2-2x2；（4)
A.4 B.3 C.2 D.1
二.填空题
7. 油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1小时流完，求油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（分钟）间的函数关系式为_____________，自变量的范围是____________．当Q＝10 kg时，＝__________（分钟）．
8．（2019秋?古田县校级月考）当m= 时，函数y=（m﹣1）x|m|+1是二次函数．
9. 用一根长为800厘米的木条，做一个长方形的窗框，若宽为厘米，则它的面积与之间的函数解析式y=____________.
10.当x________________时，函数有意义.
11.将化成二次函数的一般式是：________________.
12.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额为10000元，则两年后的本息和y（元）的表达式为________________.
三.解答题
13.某工厂现在年产值25万元，计划今后每年增加2万元.
（1）写出年产值(万元)与年数的函数关系；
（2）画出函数图象；
（3）求计划7年后的年产值.
14.（2019·滨海县期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量y（件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系式y=162-3x，求商场销售这种商品的日销售利润W（元）与每件商品的销售价x元之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
15.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍).
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
（2）设该宾馆每天的利润为w元，请写出w关于x的函数关系式.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】把握函数的定义，对于自变量的每一个取值，都有唯一确定的值和它对应.
2. 【答案】C.
【解析】将x=4代入函数即可求得.
3. 【答案】D；
【解析】要使函数有意义，需3－1＞0.
4. 【答案】A；
【解析】矩形的另一边长为，所以.
5. 【答案】D；
6. 【答案】C；
【解析】（2）、（3）属于二次函数；其他两个不满足二次函数的概念，所以答案选C.
二.填空题
7. 【答案】；；40．
【解析】油从油箱里流出的速度为30÷60=0.5，所以函数关系式
8. 【答案】﹣1；
【解析】依题意可知|m|+1=2，
解得m=1或m=﹣1，
又∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴当m=﹣1时，函数y=（m﹣1）x|m|+1是二次函数．
故答案为：﹣1．
9. 【答案】
【解析】宽为xcm，则长为（400-x）cm，所以面积.
10.【答案】-2≤x≤3；
【解析】二次根式有意义，需要被开方数大于等于0，即.
11.【答案】.
12.【答案】
【解析】定期存款一年后本息和为：10000（1+x）元，定期存款两年后本息和为：10000（1+x）元.
二.解答题
13.【解析】
解：（1） （2）通过列表，描点，画出下图：
（3）当＝7时，＝25＋2×7＝25＋14＝39（万元），故计划7年后的年产值是39万元.
14.【解析】
解：由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么y件的销售利润为
W=y×（x-30），又∵y=162-3x，
∴W= (x-30)(162-3x)=-3x+252x-4860
∵，解得30≤x≤54.
∴y=-3x+252x-4860（30≤x≤54）.
15.【解析】
解：（1）y=50—（0＜x≤160，且为10的正整数倍）
（2）
=（0＜x≤160，且为10的正整数倍）
【学习目标】
1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；
2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；
3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；
4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.
【要点梳理】
要点一、函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.
对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.
要点诠释： 对于函数的概念，应从以下几个方面去理解： （1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； （2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；
（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.
要点二、函数的三种表示方法
表示函数的方法，常见的有以下三种： （1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法. （2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法. 要点诠释：
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
对照表如下：
表示方法
全面性
准确性
直观性
形象性
列表法
×
∨
∨
×
解析式法
∨
∨
×
×
图象法
×
×
∨
∨
要点三、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．
【典型例题】
类型一、函数的相关概念
1、如图所示，下列各曲线中表示是的函数的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】抓住函数定义中的关键词语“都有惟一确定的值”，与之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.
【答案】C；
【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．
【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.
举一反三：
【变式】下列等式中，是的函数有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C；要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于 当取2时，有两个值±与它对应，对于，当取2时，有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数定义的要求：y都有惟一确定的值与x对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义.
2、求出下列函数中自变量的取值范围.
（1）． （2）． （3）．
（4）． （5）． （6）．
【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.
【答案与解析】
解：（1）． ，为任何实数，函数都有意义；
（2）．，要使函数有意义，需2－3≠0，即≠；
（3）．，要使函数有意义，需2＋3≥0，即；
（4）．，要使函数有意义，需2－1＞0，即；
（5）．，为任何实数，函数都有意义；
（6）．，要使函数有意义，需，即≥－3且≠－2.
【总结升华】关于自变量的取值范围，在实际问题中，还要考虑实际情况.
3、若与的关系式为，当＝2时，的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【思路点拨】把代入关系式即可求得函数值.
【答案】B；
【解析】.
【总结升华】是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
类型二、函数的三种表示方法
4、一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
t/时
0
1
2
3
4
5
…
y/米
10
10．05
10．10
10．15
10．20
10．25
…
(1)由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t（时）变化的函数解析式，并画出函数图象．(2)据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
【思路点拨】观察表格发现随着时间的均匀增加，水位高度的增加量相同，可知该函数为一次函数.
【答案与解析】
解：(1)由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0.05米，这样的规律可以表示为：y=0.05t+10（0≤t≤5）
这个函数的图象如下图所示：
(2)再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0.05t+10的函数值，从解析式容易算出：y=0.05×7+10=10.35,从函数图象也能得出这个值数．
答：2小时后，预计水位高10.35米．
【总结升华】本题综合考察了列表法、解析法和图像法，是一道不错的试题.
类型三、二次函数的概念
5、当常数m≠ 时，函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数；当常数m= 时，这个函数是一次函数．
【思路点拨】根据一次函数与二次函数的定义求解.
【答案与解析】解：由函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是二次函数，得
m2﹣2m﹣8m≠0．
解得m≠4，m≠﹣2，
由y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2是一次函数，得
，
解得m=4，
故答案为：4，﹣2；4．
【总结升华】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的二次项的系数不能为零，一次函数一次项的系数不能为零．
举一反三：
【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )
A. B. C. D.
【答案】A
【变式2】若函数是二次函数，则m的值是 ．
【答案与解析】解：若函数是二次函数，
则m2﹣9m+20=2，再利用m﹣6≠0，
故（m﹣3）（m﹣6）=0，m≠6，
解得：m=3．
故答案为：3．
二次函数的概念——巩固练习（基础）
【巩固练习】
一.选择题
1．如图，表示是的函数图象是（ ）
2. 当x=4时，函数的值是（ ）
A．-19 B．-20 C．-21 D．-22
3. 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．矩形的周长为18，则它的面积S（）与它的一边长（）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（ ）
6.（2019秋·石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（ ）个.
（1）；（2)y=3(x-1)2＋2；（3)y=(x+3)2-2x2；（4)
A.4 B.3 C.2 D.1
二.填空题
7. 油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1小时流完，求油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（分钟）间的函数关系式为_____________，自变量的范围是____________．当Q＝10 kg时，＝__________（分钟）．
8．（2019秋?古田县校级月考）当m= 时，函数y=（m﹣1）x|m|+1是二次函数．
9. 用一根长为800厘米的木条，做一个长方形的窗框，若宽为厘米，则它的面积与之间的函数解析式y=____________.
10.当x________________时，函数有意义.
11.将化成二次函数的一般式是：________________.
12.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，如果存款额为10000元，则两年后的本息和y（元）的表达式为________________.
三.解答题
13.某工厂现在年产值25万元，计划今后每年增加2万元.
（1）写出年产值(万元)与年数的函数关系；
（2）画出函数图象；
（3）求计划7年后的年产值.
14.（2019·滨海县期末）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品的日销量y（件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系式y=162-3x，求商场销售这种商品的日销售利润W（元）与每件商品的销售价x元之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
15.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍).
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
（2）设该宾馆每天的利润为w元，请写出w关于x的函数关系式.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】把握函数的定义，对于自变量的每一个取值，都有唯一确定的值和它对应.
2. 【答案】C.
【解析】将x=4代入函数即可求得.
3. 【答案】D；
【解析】要使函数有意义，需3－1＞0.
4. 【答案】A；
【解析】矩形的另一边长为，所以.
5. 【答案】D；
6. 【答案】C；
【解析】（2）、（3）属于二次函数；其他两个不满足二次函数的概念，所以答案选C.
二.填空题
7. 【答案】；；40．
【解析】油从油箱里流出的速度为30÷60=0.5，所以函数关系式
8. 【答案】﹣1；
【解析】依题意可知|m|+1=2，
解得m=1或m=﹣1，
又∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴当m=﹣1时，函数y=（m﹣1）x|m|+1是二次函数．
故答案为：﹣1．
9. 【答案】
【解析】宽为xcm，则长为（400-x）cm，所以面积.
10.【答案】-2≤x≤3；
【解析】二次根式有意义，需要被开方数大于等于0，即.
11.【答案】.
12.【答案】
【解析】定期存款一年后本息和为：10000（1+x）元，定期存款两年后本息和为：10000（1+x）元.
二.解答题
13.【解析】
解：（1） （2）通过列表，描点，画出下图：
（3）当＝7时，＝25＋2×7＝25＋14＝39（万元），故计划7年后的年产值是39万元.
14.【解析】
解：由题意得，每件商品的销售利润为（x-30）元，那么y件的销售利润为
W=y×（x-30），又∵y=162-3x，
∴W= (x-30)(162-3x)=-3x+252x-4860
∵，解得30≤x≤54.
∴y=-3x+252x-4860（30≤x≤54）.
15.【解析】
解：（1）y=50—（0＜x≤160，且为10的正整数倍）
（2）
=（0＜x≤160，且为10的正整数倍）