北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第6讲 二次函数y=a（x-h)^2＋ k(a≠0)的图像与性质(基础)含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第6讲 二次函数y=a（x-h)^2＋ k(a≠0)的图像与性质(基础)含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 209.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-18 22:02:46 | ||
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文档简介
二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；
2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；
3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．
【要点梳理】
要点一、函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.函数的图象与性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
要点诠释：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
要点二、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
要点诠释：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
【典型例题】
类型一、二次函数图象及性质
1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．
(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；
(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；
(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．
【答案与解析】
抛物线的顶点为(1，3)．
(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a＝2，得到抛物线解析式为．
(2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则，
所得抛物线解析式为．
(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵ 抛物线开口反向，
∴ ．故所得抛物线解析式为．
【总结升华】当抛物线的形状确定以后，其位置完全决定于顶点，方向决定于a的符号，故可利用移动后的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式．
举一反三：
【变式】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ．
【答案】.
2．（2019?荆州）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.
【答案与解析】
解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．
【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
举一反三：
【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．
【答案】上；右.
类型二、二次函数性质的综合应用
3．（2019秋?安顺期末）二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线y2交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．
（1）确定二次函数与直线AB的解析式．
（2）如图，分别确定当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【答案与解析】
解：（1）把A（0，﹣1）代入y1=a（x﹣2）2，得：﹣1=4a，即a=﹣，
∴二次函数解析式为y1=﹣（x﹣2）2=﹣a2+a﹣1；
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A（0，﹣1），B（2，0）代入得：，
解得：k=，b=﹣1，
则直线AB解析式为y=x﹣1；
（2）根据图象得：当y1＜y2时，x的范围为x＜0或x＞2；y1=y2时，x=0或x=2，y1＞y2时，0＜x＜2．
【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．
4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
，，．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【答案与解析】
（1）列表：
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
2
0
2
…
描点、连线，可得抛物线．
将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．
抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次
是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．
（2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．
【总结升华】先用描点法画出的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．
规律总结：．
二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题 1.抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(2，-3) B．(-2，3) C．(2，3) D．(-2，-3)
2.函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是（ ）
A.y=(x－1)2+2 B.y=(x－1)2+ C.y=(x－1)2－3 D.y=(x+2)2－1
3．抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )
A.y=(x+3)2－2 B.y=(x－3)2+2 C.y=(x－3)2－2 D.y=(x+3)2+2
4．把二次函数配方成顶点式为（ ）
A． B． C． D．
5．由二次函数，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大
6．（2019?泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）.
A. B. C. D.
二、填空题
7. （2019?怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_ _____.
9．抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.
10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．
11．将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____．
12．抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．
三、解答题
13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．
14. 已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到
抛物线；
（1）求出a，h，k的值；
（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象；
（3）观察的图象，当________时，y随x的增大而增大；
当________时，函数y有最________值，最________值是________；
（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y的取值范围吗？
15．（2019?珠海）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】D；
【解析】由顶点式可求顶点，由得，此时，．
2.【答案】D；
【解析】通过配方即可得到结论.
3.【答案】A；
【解析】抛物线 y=x2向左平移3个单位得到y=(x+3)2，再向下平移2个单位后，
所得的抛物线表达式是y=(x+3)2－2.
4.【答案】B；
【解析】通过配方即可得到结论.
5.【答案】C；
【解析】可画草图进行判断.
6.【答案】D；
【解析】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
二、填空题
7．【答案】（﹣1，﹣1）； x=﹣1；
【解析】∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．
8．【答案】x≥－1；
【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y随x的增大而减小，
故x≥－1.
9．【答案】向下，y轴；
10．【答案】；
【解析】设过点（1，－14）得，所以.
11．【答案】；
【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.
12．【答案】 1；
【解析】C(2，-6)，可求与x轴交于，与y轴交于(0，3)，∴ .
三、解答题
13.【答案与解析】
∵ 抛物线的顶点为（-1，-2），
∴ 设其解析式为，
又图象经过点（1，10），∴ ，∴ ，
∴ 解析式为．
14.【答案与解析】
（1）由向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是．
∴ ，，．
（2）函数与的图象如图所示．
（3）观察的图象，当时，随x的增大而增大；
当时，函数有最大值，最大值是．
（4）由图象知，对于一切的值，总有函数值．
15.【答案与解析】
（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，
∴2a+b=0；
（2）解：∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，
∴16a+4b﹣8=0，
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∴16a﹣8a﹣8=0，
解得：a=1，则b=﹣2，
∴ax2+bx﹣8=0为：x2﹣2x﹣8=0，
则（x﹣4）（x+2）=0，
解得：x1=4，x2=﹣2，
故方程的另一个根为：﹣2．
【学习目标】
1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；
2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；
3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．
【要点梳理】
要点一、函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.函数的图象与性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
要点诠释：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
要点二、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
要点诠释：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
【典型例题】
类型一、二次函数图象及性质
1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．
(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；
(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；
(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．
【答案与解析】
抛物线的顶点为(1，3)．
(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a＝2，得到抛物线解析式为．
(2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则，
所得抛物线解析式为．
(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵ 抛物线开口反向，
∴ ．故所得抛物线解析式为．
【总结升华】当抛物线的形状确定以后，其位置完全决定于顶点，方向决定于a的符号，故可利用移动后的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式．
举一反三：
【变式】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ．
【答案】.
2．（2019?荆州）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.
【答案与解析】
解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），
∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．
【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
举一反三：
【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．
【答案】上；右.
类型二、二次函数性质的综合应用
3．（2019秋?安顺期末）二次函数y1=a（x﹣2）2的图象与直线y2交于A（0，﹣1），B（2，0）两点．
（1）确定二次函数与直线AB的解析式．
（2）如图，分别确定当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【答案与解析】
解：（1）把A（0，﹣1）代入y1=a（x﹣2）2，得：﹣1=4a，即a=﹣，
∴二次函数解析式为y1=﹣（x﹣2）2=﹣a2+a﹣1；
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A（0，﹣1），B（2，0）代入得：，
解得：k=，b=﹣1，
则直线AB解析式为y=x﹣1；
（2）根据图象得：当y1＜y2时，x的范围为x＜0或x＞2；y1=y2时，x=0或x=2，y1＞y2时，0＜x＜2．
【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．
4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
，，．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【答案与解析】
（1）列表：
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
2
0
2
…
描点、连线，可得抛物线．
将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．
抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次
是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．
（2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．
【总结升华】先用描点法画出的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．
规律总结：．
二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题 1.抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(2，-3) B．(-2，3) C．(2，3) D．(-2，-3)
2.函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是（ ）
A.y=(x－1)2+2 B.y=(x－1)2+ C.y=(x－1)2－3 D.y=(x+2)2－1
3．抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )
A.y=(x+3)2－2 B.y=(x－3)2+2 C.y=(x－3)2－2 D.y=(x+3)2+2
4．把二次函数配方成顶点式为（ ）
A． B． C． D．
5．由二次函数，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大
6．（2019?泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）.
A. B. C. D.
二、填空题
7. （2019?怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_ _____.
9．抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.
10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．
11．将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____．
12．抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．
三、解答题
13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．
14. 已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到
抛物线；
（1）求出a，h，k的值；
（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象；
（3）观察的图象，当________时，y随x的增大而增大；
当________时，函数y有最________值，最________值是________；
（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y的取值范围吗？
15．（2019?珠海）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】D；
【解析】由顶点式可求顶点，由得，此时，．
2.【答案】D；
【解析】通过配方即可得到结论.
3.【答案】A；
【解析】抛物线 y=x2向左平移3个单位得到y=(x+3)2，再向下平移2个单位后，
所得的抛物线表达式是y=(x+3)2－2.
4.【答案】B；
【解析】通过配方即可得到结论.
5.【答案】C；
【解析】可画草图进行判断.
6.【答案】D；
【解析】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
二、填空题
7．【答案】（﹣1，﹣1）； x=﹣1；
【解析】∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．
8．【答案】x≥－1；
【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y随x的增大而减小，
故x≥－1.
9．【答案】向下，y轴；
10．【答案】；
【解析】设过点（1，－14）得，所以.
11．【答案】；
【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.
12．【答案】 1；
【解析】C(2，-6)，可求与x轴交于，与y轴交于(0，3)，∴ .
三、解答题
13.【答案与解析】
∵ 抛物线的顶点为（-1，-2），
∴ 设其解析式为，
又图象经过点（1，10），∴ ，∴ ，
∴ 解析式为．
14.【答案与解析】
（1）由向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是．
∴ ，，．
（2）函数与的图象如图所示．
（3）观察的图象，当时，随x的增大而增大；
当时，函数有最大值，最大值是．
（4）由图象知，对于一切的值，总有函数值．
15.【答案与解析】
（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣，
∴2a+b=0；
（2）解：∵ax2+bx﹣8=0的一个根为4，
∴16a+4b﹣8=0，
∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∴16a﹣8a﹣8=0，
解得：a=1，则b=﹣2，
∴ax2+bx﹣8=0为：x2﹣2x﹣8=0，
则（x﹣4）（x+2）=0，
解得：x1=4，x2=﹣2，
故方程的另一个根为：﹣2．