北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第8讲 二次函数y=ax^2＋bx＋c(a≠0)的图像与性质(基础)含答案

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）

【学习目标】
1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
要点四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
【典型例题】
类型一、二次函数的图象与性质
1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案与解析】
解法1（配方法）：

．
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
解法2（公式法）：∵ ，，，∴ ，
．
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
解法3（代入法）：∵ ，，，
∴ ．
将代入解析式中得，．
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
举一反三：
【变式】把一般式化为顶点式．
（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；
（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.
【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).
（2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.
2．（2019?聊城）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是　　（填写序号）．
【答案】①④．
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
即a+c＜b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b=﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以④正确．
故答案为①④．
【总结升华】本题考查了二次函数图象与系数之间的对应关系，难度适中.
类型二、二次函数的最值
3．求二次函数的最小值.
【答案与解析】
解法1(配方法)：∵
，
∴ 当x＝-3时，．
解法2(公式法)：∵ ，b＝3，
∴ 当时，
．
解法3(判别式法)：∵ ，∴ ．
∵ x是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y≥-4．
∴ y有最小值-4，此时，即x＝-3．
【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．
举一反三：
【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，矩形场地的面积S最大？
【答案】
（0（m）时，场地的面积S最大，为225m2．
类型三、二次函数性质的综合应用
4．已知二次函数的图象过点P(2，1)．
（1）求证：； （2）求bc的最大值．
【答案与解析】
（1）∵ 的图象过点P(2，1)，
∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．
（2）．
∴ 当时，bc有最大值．最大值为2．
【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b、c的关系即可．
（2）利用（1）中b与c的关系，用b表示bc，利用函数性质求解．
举一反三：
【变式】（2019?咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　）
1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B.
提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，
故选：B．
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题1. 将二次函数化为的形式，结果为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（ ）．
A．0，5 B．0，1 C．-4，5 D．-4，1
4．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式
为，则b、c的值为（ ）．
A.b=2，c=2 B. b=2，c=0 C. b= -2，c= -1 D. b= -3，c=2
5．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值(　 ) A. 等于0　　　 B.等于1　　　 C. 等于-1 　　　D. 不能确定
6．（2019?安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数
y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题
7．（2019?怀化）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为　　，对称轴是直线　　．
8．已知二次函数，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．
9．二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．
10．二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m的值是________．

第10题 第11题
11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴 第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___ ； 第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __.
12．已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为__ __.
三、解答题
13．（2019?齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．
14. 如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．
（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
15.已知抛物线：
(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？
【答案与解析】
一、选择题1.【答案】D；
【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，
所以．
2.【答案】D；
【解析】由图象的开口方向向下知；图象与y轴交于正半轴，所以；
又抛物线与x轴有两个交点，所以；当时，所对应的值大于零，
所以．
3.【答案】D；
【解析】因为，所以，，．
4.【答案】B；
【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，
再向上平移3个单位长度后得抛物线，
∴ ，∴ ，．
5.【答案】A；
【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式
得a+b+c=0.
6.【答案】A；
【解析】∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，
∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，
∵方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两个不相等的根x1＞0，x2＞0，
∴x1+x2=﹣＞0，
∴﹣＞0，
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，
∵a＞0，开口向上，
∴A符合条件，故选A．
二、填空题
7．【答案】（﹣1，﹣1）；x=﹣1.
【解析】∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．
8．【答案】4；
【解析】由对称轴，∴ x＝3与x＝-1关于x＝1对称，∴ x＝3时，y＝4.
9．【答案】(1，-4) ；
【解析】求出解析式.
10．【答案】4；
【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．
11．【答案】①④，②③④；
12．【答案】(-2，5)或(4，5)；
【解析】先通过且△ABC的面积等于10，求出C点的纵坐标为5，点C在抛物线y=x2-2x-3上，所以
x2-2x-3=5，解得x=-2或x=5，则C点的坐标为(-2，5)或(4，5).
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），
把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，
解得：b=2，c=4，
则解析式为y=﹣x2+2x+4；
（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线顶点坐标为（2，6），
则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．
14.【答案与解析】
（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得．
∴ 该二次函数的解析式为．
∵ ，
∴ 顶点坐标为．
（2）（答案不唯一，合理即正确）
如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，
得到二次函数解析式为，即．
15.【答案与解析】
(1)∵ ，b＝-3，∴ ，
把x＝-3代入解析式得，．
∴ 抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．
(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x＝-3．抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和
C(-1，0)，与y轴的交点为，取D关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．

从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，
即当x＞-3时，y随x的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A是抛物线的最高点，
所以函数有最大值，当x＝-3时，．