数学高中人教A版必修4学案：1.6三角函数模型的简单应用Word版含解析

第一章　三角函数
1.6　三角函数模型的简单应用
学习目标
1.掌握三角函数模型的应用的基本步骤:
(1)根据图象建立解析式;
(2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.
学习过程
问题1:如图所示为函数y=Asin(ωx+φ)+b(|φ|<π2)的部分图象,求函数的解析式.
问题2:一根为l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,组成一个单摆,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=3sin(glt+π6),t∈[0,+∞).
(1)求小球摆动的周期和频率;
(2)已知g=980cm/s2,要使小球摆动的周期恰好是1秒,线的长度l应当是多少?
问题3:如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线,要求这一天的最大温差,并写出曲线的函数解析式,也就是利用函数模型来解决问题,要特别注意自变量的变化范围.
问题4:一半径为4m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P点从水中浮现时(图中P0点)开始计算时间.
(1)求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;
(2)P点第一次达到最高点约要多长时间?
问题5:(课本P62例4)
海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表:
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
0:00
5.0
9:00
2.5
18:00
5.0
3:00
7.5
12:00
5.0
21:00
2.5
6:00
5.0
15:00
7.5
24:00
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?
(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?
课堂小结
巩固练习
1.函数y=|sinx2|的周期为　　　　.?
2.单摆从原点来回摆动,离开平衡位置的距离s和t的关系s=6sin(2πt+π6),则来回摆动一次所需时间为　　　　.?
3.已知f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0),f(π6)=f(π3),且f(x)在区间(π6,π3)上有最小值,无最大值,则ω=　　　　.?
4.关于函数f(x)=4sin(2x+π3),有下列命题:
(1)由f(x1)=f(x2)=0,可得x1-x2必是π的整数倍
(2)y=f(x)的表达式可改成y=4cos(2x-π6)
(3)y=f(x)的图象关于点(-π6,0)对称
(4)y=f(x)的图象关于直线x=-π6对称
其中正确的是　　　　.?
参考答案
学习过程
问题1:解:取A>0,则最大值为A+b=3,最小值为-A+b=-1,解得:A=2,b=1.
由图象知T4=11π12?2π3=π4,所以T=2π|ω|=π,所以|ω|=2,取ω=2.函数在x=2π3时取得最小值,所以4π3+φ=-π2+2kπ,所以φ=-11π6+2kπ,k∈Z,而|φ|<π2,
取φ=π6.
取ω=-2,考虑-4π3+φ=-π2+2kπ,即φ=5π6+2kπ,k∈Z,而|φ|<π2,所以无解.
所以函数解析式为y=2sin(2x+π6)+1.
问题2:解:(1)周期T=2πgl=2πglg,频率f=1T=gl2πl;
(2)由题意知2πglg=1,即l=(g2π)2=g4π2=9804×3.142≈24.8(cm).
问题3:解:(1)这一天6~14时的最大温差为30-10=20(℃);
(2)由图知b=20,A=10,T2=8,所以2πω=16,
所以ω=π8.
又π8×10+φ=2kπ,所以φ=-5π4+2kπ,k∈Z.取φ=3π4.
则这段曲线的解析式为y=10sin(π8x+34π)+20(6≤x≤14).
问题4:解:(1)以水轮圆心为坐标原点,平行于水平面的直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系,则h=4sinφ+2,而φ=2π15t-π6,所以h=4sin(2π15t-π6)+2;
(2)当到达最高点时,φ=2π15t-π6=π2,解得t=5,即5秒后第一次到达最高点.
问题5:解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图,根据图象,可以考虑用函数来刻画水深与时间之间的对应关系.
从数据和图象可以得出:A=2.5,h=5,T=12,φ=0;
由T=2πω=12,得ω=π6.所以,这个港口的水深与时间的关系可以用y=2.5sinπ6x+5近似描述.
(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.
令2.5sinπ6x+5=5.5,得x1=0.3846,x2=5.6154.
由函数的周期性易得:x3=12.3846,x4=17.6154.
因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.
(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象.可以看到在6~7时之间两个函数图象有一个交点.
通过计算,为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.
课堂小结
巩固练习
1.2π　2.1s　3.143　4.(2)(3)