数学高中人教A版必修4学案：1.4.3正切函数图象与性质Word版含解析

第一章　三角函数
1.4　三角函数的图象与性质
1.4.3　正切函数的性质与图象
学习目标
1.掌握正切函数的性质及其应用;
2.理解并掌握作正切函数图象的方法;
3.体会类比、换元、数形结合等思想方法.
学习过程
【问题激趣导学】
1.画出下列各角的正切线:
2.复习相关诱导公式
tan(x+π)=　　　　;tan(-x)=　　　　.?
【基础知识再现】
探究一　正切函数的性质
1.正切函数的定义域　　　　.?
2.正切函数的周期性
由诱导公式tan(x+π)=　　　　,可知函数y=tan x(x≠π2+kπ,k∈Z)是　　　　函数,且它的周期是　　　　.?
3.正切函数的奇偶性
因为tan(-x)=　　　　,所以正切函数y=tan x(x≠π2+kπ,k∈Z)是　　　　函数.?
4.正切函数的单调性
由图(Ⅰ)(Ⅱ)(课本P43)正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-π2,π2)内是　　　　函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间　　　　内都是增函数.?
5.正切函数的值域
由图(Ⅰ)可知,当x大于-π2且无限接近于-π2时,正切线AT向y轴的负方向无限延伸;由图(Ⅱ)可知,当x小于π2且无限接近于π2时,正切线AT向y轴的正方向无限延伸.因此,y=tan x在(-π2,π2)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是　　　　.?
探究二　正切函数的图象
1.利用正切线画出y=tan x,x∈(-π2,π2)的图象.
2.根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数y=tan x,x∈R且x≠π2+kπ(k∈Z)的图象,称“正切曲线”.
3.如何快速作出正切函数的简图?
4.根据图象讨论验证正切函数的性质.
【探究成果展示】
【例1】求函数y=tan(π2x+π3)的定义域、周期和单调区间.
【例2】解不等式tan x≥3.
【例3】求函数y=2tanx-1的定义域.
【例4】比较tan2π7与tan10π7的大小.
【课堂练习】
1.求函数y=tan3x的定义域、值域和单调增区间.
2.观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围:
(1)tan x>0;(2)tan x=0;(3)tan x<0.
【学习小结】
达标检测
1.函数y=tan3πx的最小正周期是(　　)
A.13 B.23 C.6π D.3π
2.函数y=tan(π4-x)的定义域是(　　)
A.{x|x∈R且x≠-π4} B.{x|x∈R且x≠3π4}
C.{x|x∈R且x≠kπ-π4,k∈Z} D.{x|x∈R且x≠kπ+3π4,k∈Z}
3.下列不等式中正确的是(　　)
A.tan47π>tan37π B.tan25πC.tan(-137π)4.在下列函数中,同时满足:①在(0,π2)上递增;②以2π为周期;③是奇函数的是(　　)
A.y=tan x B.y=cos x C.y=tanx2 D.y=-tan x
5.函数tan224°,sin136°,cos310°的大小关系是(用不等号连接)　　　　　　　.?
6.画出y=|tan x|的图象,并指出定义域、值域、最小正周期、单调区间.
参考答案
问题激趣导学
1.(略)
2.tan(x+π)=tan x;tan(-x)=-tan x,x∈R且x≠π2+kπ,k∈Z
【基础知识再现】
探究一　正切函数的性质
1.{x|x≠π2+kπ,k∈Z}
2.tan x(x∈R,且x≠π2+kπ,k∈Z)　奇　π
3.-tan x(x∈R,且x≠π2+kπ,k∈Z)　奇
4.增　(-π2+kπ,π2+kπ),k∈Z
5.R
探究二　正切函数的图象
1.
2.
3.只需作出(-π2,π2)上的图象,进行平移即可.
4.(略)
【探究成果展示】
【例1】解:令π2x+π3≠π2+kπ,k∈Z,得x≠13+2k,k∈Z,所以函数y=tan(π2x+π3)的定义域为{x|x≠13+2k,k∈Z}.
周期T=ππ2=2.
令-π2+kπ<π2x+π3<π2+kπ,k∈Z,得-53+2k所以函数y=tan(π2x+π3)的单调增区间为(-53+2k,13+2k),k∈Z.
【例2】解:因为tan x≥3,所以tan x≥tanπ3,因为y=tan x在(-π2,π2)上单调递增,所以在(-π2,π2)上,tan x≥3的解集为[π3,π2).又因为y=tan x是周期为π的周期函数,所以tan x≥3的解集为[π3+kπ,π2+kπ),k∈Z.
【例3】解:由题意得tan x≠1,即x≠π2+kπ,且x≠π4+kπ,k∈Z,所以函数y=2tanx-1的定义域为{x|x≠π2+kπ,且x≠π4+kπ,k∈Z}.
【例4】解:因为tan10π7=tan3π7,2π7,3π7∈(-π2,π2),且y=tan x在(-π2,π2)上单调递增,所以tan2π7【课堂练习】
1.解:定义域为{x|x≠π6+k3π,k∈Z},值域为R;单调增区间为(-π6+k3π,π6+k3π),k∈Z.
2.解:(1)(kπ,π2+kπ),k∈Z;(2){x|x=kπ,k∈Z};(3)(-π2+kπ,kπ),k∈Z.
【学习小结】
1.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而本节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.
2.本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义?
达标检测
1.A　2.C　3.C　4.C　5.tan224°>sin136°>cos310°
6.
定义域:{x|x≠π2+kπ,k∈Z};值域:[0,+∞);最小正周期:π;单调增区间:[kπ,π2+kπ),k∈Z,单调减区间:(-π2+kπ,kπ],k∈Z.