数学高中人教A版必修4学案：1.2.1任意角的三角函数的定义（第二课时）Word版含解析

第一章　三角函数
1.2　任意角的三角函数
1.2.1　任意角的三角函数(第二课时)
学习目标
1.了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
2.掌握作已知角α的正弦线、余弦线和正切线.
学习过程
一、复习准备
问题1:什么叫单位圆?
问题2:三个三角函数是怎样定义的?
问题3:我们在定义三个比值为角的三角函数值的时候经历了哪两个关键的步骤?
二、自主探究
问题4:在初中,我们知道锐角三角函数可以看成线段的比,那么,任意角的三角函数是否也可以看成是线段的比呢?
问题5:在三角函数定义中,是否可以在角α的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简单?
问题6:有向线段、有向线段的数量、有向线段长度的概念如何?
问题7:如何作正弦线、余弦线、正切线?
三、典型例题
【例1】作出下列各角的三角函数线.
(1)11π6;(2)-2π3.
【例2】比较下列各组数的大小.
(1)sin1和sinπ3;(2)cos4π7和cos5π7;
(3)tan9π8和tan9π7;(4)sinπ5和tanπ5.
变式训练①:若α是锐角(单位为弧度),试利用单位圆及三角函数线,比较α,sinα,tanα之间的大小关系.
变式训练②:根据单位圆中的正弦线,你能发现正弦函数值有怎样的变化规律吗?
【例3】利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合.
(1)sinα=-12;(2)sinα>-12;(3)|tanα|≥3.
变式训练①:已知角α的正弦线和余弦线分别是方向一正一反、长度相等的有向线段,则α的终边在(　　)
A.第一或第二象限角平分线上
B.第二或第四象限角平分线上
C.第三或第四象限角平分线上
D.第一或第四象限角平分线上
变式训练②:当角α,β满足什么条件时有sinα=sinβ?
变式训练③:sinα>cosα,则α的取值范围是　　　　.?
变式训练④:已知集合E={θ|cosθ四、巩固练习
1.若π4<θ<π2,则下列不等式中成立的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.sinθ>cosθ>tanθ B.cosθ>tanθ>sinθ
C.tanθ>sinθ>cosθ D.sinθ>tanθ>cosθ
2.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异.那么α的值为(　　)
A.π4 B.3π4 C.7π4 D.3π4或7π4
3.若0<α<2π,且sinα<32,cosα>12.利用三角函数线,得到α的取值范围是(　　)
A.(-π3,π3) B.(0,π3) C.(5π3,2π) D.(0,π3)∪(5π3,2π)
4.依据三角函数线,作出如下四个判断:
①sinπ6=sin7π6;②cos(-π4)=cosπ4;③tanπ8=tan3π8;④sin3π5=sin4π5.
其中判断正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
五、小结反思
六、达标检测
1.若角α(0<α<2π)的正弦与余弦线的长度相等且符号相同,那么角α的值为(　　)
A.π4 B.5π4 C.π4或5π4 D.以上都不对
2.用三角函数线判断1与|sinα|+|cosα|的大小关系是(　　)
A.|sinα|+|cosα|>1 B.|sinα|+|cosα|≥1
C.|sinα|+|cosα|=1 D.|sinα|+|cosα|<1
3.利用单位圆写出符合下列条件的角x的集合.
(1)cos x=12;(2)cos x>12;(3)|cos x|≤32.
4.已知角α的终边是OP,角β的终边是OQ,试在图中作出α,β的三角函数线,然后用不等号填空:
(1)sinα　　　　sinβ;?
(2)cosα　　　　cosβ;?
(3)tanα　　　　tanβ.?
5.若-2π3≤θ≤π6,利用三角函数线,可得sinθ的取值范围是　　　　.?
参考答案
一、复习准备
问题1:以原点为圆心,单位长为半径作的圆.
问题2:在角α的终边上任取一点P(x,y),则
sinα=yx2+y2,cosα=xx2+y2,tanα=yx.当P为角α的终边和单位圆的交点时,有sinα=y,cosα=x,tanα=yx.
问题3:点P在角的终边上移动时,比值不变;角的终边变化时,比值发生变化.进而得到三个比值只与角的终边的位置有关系.
二、自主探究
(请同学们课本上找答案)
三、典型例题
【例1】
解:(1)
(2)
【例2】解:(1)1和π3的终边如图(1)所示,则sin1(2)4π7和5π7的终边如图(2)所示,则cos4π7>cos5π7;
(3)9π8和9π7的终边如图(3)所示,则tan9π7>tan9π8;
(4)π5的终边如图(4)所示,则tanπ5>sinπ5.
变式训练①:解:如图所示,S△OAPS△OAP=12|OA|·|MP|=12sinα,S扇形OAP=12|OA|·α=12α,
S△OAT=12|OA|·|AT|=12tanα所以,sinα<α变式训练②:解:由-π2+2kπ,k∈Z的终边逆时针转到π2+2kπ,k∈Z的终边时,正弦值增大;由π2+2kπ,k∈Z的终边逆时针转到-π2+2kπ,k∈Z的终边时,正弦值减少.
【例3】解:(1){α|α=-π6+2kπ,或α=-5π6+2kπ,k∈Z};
(2)(-π6+2kπ,76π+2kπ)(k∈Z);
(3)(-π2+kπ,-π3+kπ]∪[π3+kπ,π2+kπ)(k∈Z).
变式训练①:B
变式训练②:α=β+2kπ,k∈Z或α=π-β+2kπ,k∈Z.
变式训练③:(π4+2kπ,5π4+2kπ)(k∈Z).
变式训练④:解:因为E=[0,π4)∪(5π4,2π],F=(π2,π)∪(3π2,2π),所以E∩F=(3π2,2π).
四、巩固练习
1.C　2.D　3.D　4.A
五、小结反思
1.正弦线、余弦线、正切线,它们分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示.三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,注意它们的方向.
2.利用数形结合来比较三角函数值的大小,关键应注意正负.
六、达标检测
1.C　2.B　3.(1){x|x=±π3+2kπ,k∈Z};(2){x|-π3+2kπ4.图略.(1)>　(2)<　(3)<　5.[-1,12]