北师大版七年级上册数学第三讲有理数加减混合运算导学案

有理数加减运算
适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 1.有理数的加法法则2.有理数的加法运算律3.有理数的减法法则 4.有理数加减法运算中的转换思想
学习目标 1.使学生了解有理数加减法的意义 2.使学生理解有理数加减法的法则，能熟练地进行有理数加减运算 3.使学生理解加法运算律在有理数加减运算中的作用，能运用加法运算律简化加减运算4.培养学生分析问题、解决问题的能力 5.培养学生计算能力,在算法优化过程中培养学生观察能力和思维能力
学习重点 有理数加减法运算法则及运算律
学习难点 灵活用运算律进行简便运算
学习过程
一、复习预习
在小学里，我们已经学过了正整数、正分数（包括正小数）及数0的四则运算.现在引入了负数，数的范围扩充到了有理数.那么，如何进行有理数的运算呢？现在我们来共同研究这个问题.
二、知识讲解
1. 一位同学沿着一条东西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?
我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答.可是上述问题不能得到确定答案，因为问题中并未指出行走方向，所以我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正，向西为负.
(1) 若两次都是向东走，很明显，一共向东走了50米，写成算式就是：
，即这位同学位于原来位置的东方50米处.这一运算在数轴上表示如图：

(2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位置的西方50米处，写成算式就是：，即这位同学位于原来位置的西方50米处.
(3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，我们先在数轴上表示如图：

写成算式是，即这位同学位于原来位置的西方10米处.
(4)若第一次向西走20米，第二次向东走30米，写成算式是：（ ）
即这位同学位于原来位置的( )方( )米处.
(5)第一次向西走了30米，第二次向东走30米.写成算式是： ( ).
(6)第一次向西走了30米，第二次没走.写成算式是：( ).
综合以上情形，我们得到有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）一个数同0相加，仍得这个数.
2. 在小学里，我们曾经学过加法的交换律、结合律，这两个运算律在有理数加法运算中也是成立的吗？
探索：任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□和○内，并比较两个算式的运算结果.
□ + ○ 和○ + □
任意选择三个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□、○和◇内，并比较两个算式的运算结果。
( □ + ○ )+ ◇ 和□ +( ○ + ◇ )。
总结：
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.即
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
即
这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化.
3. 我们知道，已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法.
例如计算 (―8)―(―3)也就是求一个数?使( ? )+(―3)=―8.根据有理数加法运算，有(―5)+(―3)=―8，所以 (―8)―(―3)=―5。①减法运算的结果得到了。
试一试：
再做一个填空：(―8)+( )=―5，容易得到(―8)+(+3)=―5。②比较①、②两式，我们发现：―8“减去―3”与“加上+3”结果是相等的.
概括：上述两例启发我们可以将减法转换为加法来进行.
有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数.
如果用字母表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：.
4. 在进行有理数加减混合运算时，可以灵活运用加法的运算律，可以使运算简便
（1）互为相反数的两个数，可以先加.
（2）几个数相加得整数时，可先相加.
（3）同分母的分数可先加.
（4）符号相同的数可先加.
考点/易错点1
应用有理数加法法则进行计算时，要同时注意确定“和”的符号，计算“和”的绝对值两件事.
考点/易错点2
三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和结合律任意改变加数的位置，简化运算.常见技巧有：
(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；
(2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；
(3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；
(4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号.
考点/易错点3
由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决．不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则．在使用法则时，注意被减数是永不变的.
考点/易错点4
有理数的加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便.但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换.
三、例题精析
【例题1】
【题干】计算：
（1） （2）
（3） （4）
【【答案】（1） （2）
解：原式= 解：原式=
= =
=
（3） （4）
解：原式= 解：原式=
= =
【解析】进行有理数的加法运算，应注意先确定符号和绝对值两部分，先判断是什么样的两个有理数相加，然后按照有理数加法的三条法则来具体处理.
【例题2】
【题干】计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【【答案】（1）
解：原式=
=
=
（2）
解：原式=
=
=
=

（3）
解：原式=
=
=
（4）
解：原式=
=
=
=
【解析】本题运用加法的交换律、结合律，使运算简便.具体技巧有以下几点：（1）若有小数，能凑整的先加.（2）同分母的分数或有倍数关系的分数可结合一起计算.（3）互为相反数的两个数，可把它们结合在一起.（4）先把正数、负数分别集中相加，再把所得的结果相加
【例题3】
【题干】列式并计算：与的和的绝对值的相反数与的和．
【答案】解：由题意得：




【解析】认真审题，看清题意，本题求得的是与的和的绝对值，而不是求绝对值的和，在去绝对值符号时要注意利用绝对值的定义化简：正数的绝对值是它本身，负数的绝对数值是它的相反数．
【例题4】
【题干】某检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，这个检修小组一天中行驶的距离记录如下（单位：千米）：
-4，+7，-9，+8，+6，-4，-3．
（1）求收工时检修小组距A地多远？
（2）距A地最远时是哪一次？
（3）若检修小组所乘汽车每千米耗油0.5升，则从出发到收工时共耗油多少升？
【答案】解：（1）-4+7+（-9）+8+6+（-4）+（-3）=1（千米）．
答：收工时检修小组在A地东面1千米处．
（2）第一次距A地|-4|=4千米；
第二次：|-4+7|=3千米；
第三次：|-4+7-9|=6千米；
第四次：|-4+7-9+8|=2千米；
第五次：|-4+7-9+8+6|=8千米；
第六次：|-4+7-9+8+6-4|=4千米；
第七次：|-4+7-9+8+6-4-3|=1千米．
所以距A地最远的是第5次．
（3）从出发到收工汽车行驶的总路程：|-4|+|+7|+|-9|+|+8|+|+6|+|-4|+|-3|=41；
从出发到收工共耗油：41×0.5=20.5（升）．
答：从出发到收工共耗油20.5升．
【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【例题5】
【题干】已知有理数+3，-8，-10，+12，请你通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，这个最大值是_________．
【答案】解：（+3+12）-（-8-10）
=15+18
=33．
故答案是：33．
【解析】本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解当（+3+12）-（-8-10）时，计算的结果最大是关键．
【例题6】
【题干】已知两个数的和为，其中一个数为，求另一个数．
【答案】解：．
故另一个数是．
【解析】本题通过有理数的减法考查了加法各部分间的关系，是基础题型．
【例题7】
【题干】弘文中学定于十一月份举行运动会，组委会在整修百米跑道时，工作人员从A处开工，约定向东为正，向西为负，从开工处A到收工处B所走的路线（单位：米），分别为+10、-3、+4、-2、+13、-8、-7、-5、-2，工作人员整修跑道共走了多少路程？
【答案】解：|+10|+|-3|+|+4|+|-2|+|+13|+|-8|+|-7|+|-5|+|-2|，
=，
=54米．
【解析】本题考查了有理数的加法，这是基础，要熟练掌握．
四、课堂运用
【基础】
计算：
（1） =__________ （2）=_________
（3）=___________ （4）=___________

2. |x-1|+|3+y|=0，则y-x-的值是（　　）
A．-4 B．-2 C．-1 D．1

3. 已知x．y，z三个有理数之和为0，若，y= ，则z=_________．

4. 计算：
（1）
（2）

5. 计算:
(1)
(2)

6. 某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．（单位：km）
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
-3 +8 -9 +10 +4 -6 -2
（1）在第_______次纪录时距A地最远．
（2）求收工时距A地多远？
（3）若每km耗油0.3升，每升汽油需7.2元，问检修小组工作一天需汽油费多少元？

【巩固】
1. 在1，-1，-2这三个数中，任意两数之和的最大值是（　　）
A．1 B．0 C．-1 D．-3

2. 小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是________．


3. 计算
（1） （2）

4. 实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A-C表示观测点A相对观测点C的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是__________米．
A-C C-D E-D F-E G-F B-G
90米 80米 -60米 50米 -70米 40米

5. 计算：

6. 一名潜水员在水下方80米处发现一条鲨鱼在离他不远处的上方25米的位置往下游追逐猎物，当它向下游42米后追上猎物，此时猎物垂死挣扎，立刻反向上游，鲨鱼紧紧尾随，又游了10米后被鲨鱼一口吞吃．
（1）求鲨鱼吃掉猎物时距水面的距离
（2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，鲨鱼的位置有什么变化？

【拔高】
1. 计算：

2. 一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次
向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是_______个单位．


课程小结
1.掌握有理数加法和减法运算法则
2.会利用加法交换律和结合律进行简便运算
3.能把所学的知识应用到实际中去，灵活运用

课后作业
【基础】
1. 计算：
（1） （2）

2. 已知，，则=_______．

3. 下列说法正确的是（　　）
A．两个有理数相加，就是把它们的绝对值相加
B．两个有理数相减，就是把它们的绝对值相减
C．两个一有理数相加，和可能小于其中的每一个加数
D．两个有理数相减，差一定小于被减数

4. 把5-（+3）-（-7）+（-2）写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（　　）
A． 5-3-7-2 B．5-3+7-2 C．5+3-7-2 D．5+3+7-2

5. 两个有理数的和为a，这两个数的差为b，那么a，b的大小关系是（　　）
A． B． C． D．以上都有可能

6. 某校举办秋季运动会，七年级（1）班和七年级（2）班进行拔河比赛，比赛规定标志物红绸向某班方向移动2m或2m以上，该班就获胜．红绸先向（2）班移动0.2m，后又向（1）班移动0.5m，相持几秒后，红绸向（2）班移动0.8m，随后又向（1）班移动1.4m，在一片欢呼声中，红绸再向（1）班移动1.3m，裁判员一声哨响，比赛结束，请你用计算的方法说明最终获胜的是几班？

7. 钟面上有1，2，3，…，11，12共12个数字．
（1）试在这些数前标上正，负号，使它们的和为0．
（2）在解题的过程中，你能总结什么规律？用文字叙述出来．


【巩固】
1. -7，-12，+2的和比它们的绝对值的和小（　　）
A．-38 B．-4 C．4 D．38

2. 某商店2013年四个季度的商品销售盈亏情况如下表所示（盈余为正）：
季度 第一 第二 第三 第四
盈亏额（单位：万元） 128.5 -140 -95.5 280
关于最终销售情况，下列说法中，正确的是（　　）
A．盈余644万元 B．亏本173万元
C．盈余173万元 D．亏本644万元

3. 小明做这样一道题“计算：|（-3）+■|”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案知该题计算的结果是等于6，那么“■”表示的数是（　　）
A．3 B．-3 C．9 D．-3或9

4. 规定符号（，）表示，两个数中小的一个，符号表示，两个数中大的一个，求下列式子的值．


5. 有十箱梨，每箱质量如下：（单位：千克）
51，53，46，49，52，45，47，50，53，48
你能较快算出它们的总质量吗？列式计算．

6. 观察下面的几个算式：
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…
根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：
1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1

【拔高】
1. 在1，2，3，…，2006，2007，2008前面任意添加“+”或“-”，并且按照顺序进行计算，那么这些数的和能否等于2008呢？

2. 计算：=___________

错题总结
错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业


思考：还有哪些可能情形?你能把问题补充完整吗?

你能发现什么？

很重要！









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