北师大版七年级上册数学第七讲整式的加减导学案

整式的加减
适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 1. 单项式、多项式的概念 2. 同类项的概念 3. 同类项、合并同类项的概念 4. 合并同类项法则
学习目标 1. 理解并掌握单项式、多项式的概念 2. 理解并掌握同类项、合并同类项的概念 3. 掌握合并同类项法则，能正确合并同类项并进行整式的加减计算 4. 通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流能力。
学习重点 单项式、多项式概念的掌握
学习难点 掌握合并同类项法则进行整式加减计算
学习过程
一、复习预习
1. 列代数式
(1)若正方形的边长为，则正方形的面积是 ；
(2)若三角形一边长为，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为 ；
(3)若表示正方形棱长，则正方形的体积是 ；
(4)若m表示一个有理数，则它的相反数是 ；
(5)小明从每月的零花钱中贮存元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款 元.
2. 请说出所列代数式的意义。
3. 观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征.
二、知识讲解
1. 单项式
（1）由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.
（2）单独一个数或一个字母也是单项式，如，5.
2. 单项式系数和次数
单项式的系数：单项式前面的数字.
单项式的次数：各个字母的指数和.
3. 多项式
多项式概念：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中，不含字母的项，叫做常数项. 一个多项式含有几项，就叫几项式.多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.
4. 单项式与多项式统称整式
5. 升幂排列与降幂排列
（1）把多项式按的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按字母的降幂排列；
（2）若按的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按字母的升幂排列.
6. 同类项
（1）所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项(similar terms)；
（2）所有的常数项都是同类项.
7. 合并同类项
（1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；
（2）合并同类项法则：同类项的系数相加作为新的系数，字母和字母的指数不变.
8. 去括号、添括号法则
（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里的各项都不改变符号；括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里的各项都改变符号.
（2）括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；括号前面是“—”号，括到括号里的各项都改变符号.
9. 整式加减的一般步骤
（1）如果有括号，那么先去括号；
（2）如果有同类项，再合并同类项.
考点/易错点1
（1）圆周率π是常数；
（2）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；
（3）单项式次数只与字母指数有关.
考点/易错点2
注意：
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，多项式的次数为最高次项的次数；
（2）多项式的每一项都包括它前面的符号.
考点/易错点3
注意：
（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；
（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.
考点/易错点4
判别同类项的关键
（1）“两同”即字母同，同字母的指数同；
（2）同类项与其系数的大小无关；
（3）同类项与其字母的排列顺序无关.
考点/易错点5
去括号、添括号时要注意括号前面的符号还有数字，不要出现忘变号和漏乘的现象.
三、例题精析
【例题1】
【题干】判断下列各代数式哪些是单项式.
(1)； (2) ； (3)b2； (4)－5ab2； (5)y； (6)－xy2； (7)－5
【答案】（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）
【解析】本题考查的是单项式的概念，要特别注意的是（1）形式上特别像单项式，但是出现了“+”号，是多项式.
【变形1】下列代数式中，（　　）是单项式．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据单项式的定义可知，几个字母与数的乘积或单个的字母与单个的数都是单项式，即可得答案．
【变形2】下列代数式不是单项式的是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式，可以做出选择．
【例题2】
【题干】判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。
①x＋1； ②； ③； ④
【答案】①不是；②不是；③是，系数是，次数是2；④是，系数是-1，次数是3
【解析】本题考查的是对单项式的概念、系数以及次数的理解和掌握，特别要注意的是是数字不是字母.
【变形1】（2013?椒江区二模）单项式-2πy的系数为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】本题考查了单项式的应用，注意：说单项式的系数时带着前面的符号．
【变形2】单项式的系数、次数分别是（　　）
A．、二 B．—3、五 C．—3、四 D．、三
【答案】D
【解析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【例题3】
【题干】判断下列各式哪些是多项式.
，，，10，，，，，
【答案】，，，
【解析】本题考查了多项式的定义，多项式是若干个单项式的和.
【变形1】下列各式中是多项式的是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】本题主要考查多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．而单项式是数字与字母的乘积．
【变形2】下列各式中是多项式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据几个单项式的和叫做多项式；数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式即可得到答案．
【例题4】
【题干】指出下列多项式的项和次数
（1） （2）
【答案】（1）项分别为：，，；次数是2
（2）项分别为：，，；次数是3
【解析】本题考查的是多项式的项和次数，要注意多项式的次数不是所有项的次数之和，多项式的次数为最高次项的次数；多项式的每一项都包括它前面的符号.
【变形1】判断：
①多项式的项为、、、，次数为12；
②多项式的次数为4，常数项为1。
【答案】这两种说法都错误的.
【解析】本题考查的是多项式的项，应注意的是在书写多项式的项时一定要带着前面的符号.
【变形2】下列多项式中是二次三项式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于多项式次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中所有单项式的个数，由此可确定所有答案的项数和次数，然后即可作出选择．
【例题5】
【题干】下列各式中，那些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？
，2x+y，，，，，5．
【答案】整式：，2x+y，，，5 不是整式：，
它们区别是分母中是否含有字母，若含有字母则不是整式，若不含有字母则是整式．
【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【例题6】
【题干】已知（n-1）+3xy+（n+1）是关于x、y的二元二次三项式，求n应满足的条件．
【答案】解：∵多项式（n-1）+3xy+（n+1）是关于x、y的二元二次三项式，
∴
∴．
【解析】本题考查了二次三项式的定义：一个多项式含有几项，是几次就叫几次几项式．注意一个多项式含有哪一项时，哪一项的系数就不等于0．
【变形1】已知代数式3－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件
【答案】解：∵多项式3－(m－1)x＋1是关于x、y的三次二项式，
∴
∴．
【解析】一个多项式含有几项，是几次就叫几次几项式．注意一个多项式含有哪一项时，哪一项的系数就不等于0．
【例题7】
【题干】把多项式2πr－1＋3π－按r升幂排列。
【答案】－1+2πr—＋3π
【解析】本题考查了多项式的升幂降幂排列，需要注意的是重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动.
【变形1】把多项式按x降幂排列，得：_________________.
【答案】
【解析】要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号；1是0次项．
【变形2】把多项式按x降幂排列，得_________________；按y降幂排列，得_________________.
【答案】按x降幂排列
按y降幂排列
【解析】要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号
【例题8】
【题干】判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。
(1)3x与3mx是同类项 ( ) (2)与是同类项 ( )
(3)与是同类项 ( ) (4) 与是同类项 ( )
(5)23与32是同类项 ( )
【答案】×；√；√；×；√
【解析】本题考查的是同类项的定义，要注意：同类项与其系数的大小无关；同类项与其字母的排列顺序无关.
【变形1】指出下列多项式中的同类项：
(1) ； (2)
【答案】(1)3x与－2x是同类项，－2y与3y是同类项，1与－5是同类项。
(2)3x2y与－yx2是同类项，－2xy2与xy2是同类项。
【解析】本题考查的是同类项的定义，要注意：同类项与其系数的大小无关；同类项与其字母的排列顺序无关.
【例题9】
【题干】下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正。
(1) ； (2) ； (3) ；(4)=0。
【答案】×；×；×；×.
改正:；；
【解析】本题考查的是合并同类项的法则：同类项的系数相加作为新的系数，字母和字母的指数不变
【变形1】合并下列多项式中的同类项：
①2a2b－3a2b＋0.5a2b；
②a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3；
③5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(y－x)4。
【答案】解：①。
②。
③5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(x－y)4=3(x＋y)3－(x－y)4。
【解析】利用合并同类项法则即可解决本题.
【例题10】
【题干】化简下列各式：
（1）8+2b+（5－b）； （2）（5－3b）－3（－2b）．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【解析】本题考查的是合并同类项中的去括号法则，要注意变号和不要漏乘.
【例题11】
【题干】做一做：在括号内填入适当的项：
(1)x2―x+1= x2―(______________)；
(2)2x2―3x―1= 2x2+(______________)；
(3)。
【答案】；―3x―1；、
【解析】本题应用的是添括号法则，要注意符号的变化.
【例题12】
【题干】求整式x2―7x―2与―2x2+4x―1的差
【答案】解：原式=( x2―7x―2)―(―2x2+4x―1)= x2―7x―2+2x2―4x+1=3x2―11x―1。
【解析】列式时注意给两个多项式都加上括号，后进行整式的加减
【变形1】一个多项式加上得，求这个多项式。
【答案】解：=
【解析】本题利用了减法是加法的逆运算，从而表示出要求的多项式，在计算时要注意符号的改变.
四、课堂运用
【基础】
1. 下列代数式中，（　　）是单项式．
A． B．-2006 C． D．
2. 下面各题的判断是否正确？
①的系数是7； ②与没有系数； ③的次数是0＋3＋2；
④的系数是－1； ⑤的次数是7； ⑥的系数是 。
3. 若A是三次多项式，且A-B是四次多项式，则B是_______多项式．
4. k取何值时，是同类项？
5. 求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值，其中x=－3
6. 用简便方法计算：
（1） （2）
7. 按要求，将多项式添上括号：
(1)把它放在前面带有“+”号的括号里； (2)把它放在前面带有“―”号的括号里?
8. 计算：―2y3+(3xy2―x2y)―2(xy2―y3)
9. 同学们，请计算下列两题．计算之后请大家思考整式加减的步骤是什么．
（1）
（2）
10. 先化简，再求值：，其中
【巩固】
1. 下列单项式中次数与其他三个单项式的次数不同的是（　　）
A． B． C． D．
2. 如果一个多项式是五次多项式，那么（　　）
A．这个多项式最多有6项
B．这个多项式只能有一项的次数是5
C．这个多项式一定是五次六项式
D．这个多项式最少有两项，并且有一项的次数是5
3. 已知互为相反数，并且，则．
4. 若把(s＋t)、(s－t)分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项。
(1)(s＋t)－(s－t)－(s＋t)＋(s－t)；
(2)2(s－t)＋3(s－t)2－5(s－t)－8(s－t)2＋s－t
5. 按下列要求，将多项式x3―5x2―4x+9的后两项用( )括起来：
(1)括号前面带有“+”号； (2)括号前面带有“―”号?
6. 化简求值：(2x3―xyz)―2(x3―y3+xyz)+(xyz―2y3)，其中x=1，y=2，z=―3
（1）
（2）
（3）
（4）
8. 如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式_______．
【拔高】
1. 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是千米/时．
（1）2小时后两船相距多远？
（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？
2. 为了迎接期末考试，小强对本学期剩余时间作了一个安排，他把计划复习重要内容的时间用一个四边形圈起来．如图，他发现，用这样的四边形圈起来的六个数的和恰好是3的倍数，他又试了几个位置，都符合这样的特征．
（1）请你用整式的加减说明其中的道理．
（2）如果小强圈出得六个数的和为111，请你通过计算找出他圈出的是哪六个数？
（3）试说明这样任意圈出的六个数的和可能是138吗？




课程小结
1. 单项式的概念，注意单项式的系数包括前面的符号；数字的次数为0；
2. 多项式的概念，特别注意的是多项式的次数是最高次项的次数，不是所有项的指数和；
3. 重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；
4. 同类项的概念，注意两“同”的具体意义；
5. 合并同类项的法则
6. 去括号、添括号时要注意括号前面的符号还有数字，不要出现忘变号和漏乘的现象
课后作业
【基础】
1. 下列整式中，其中是单项式的是（　　）
A． B． C． D．
2. 下列各式中，与是同类项的是（　　）
A． B． C． D．
3. 已知和是同类项，则的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
4. 找出下列代数式中的单项式、多项式和整式
，4xy，，，x2+x+，0，，m，—2.01×105
5. 指出下列单项式的系数、次数：，―x2，xy5，
6. 指出多项式是几次几项式，最高次项、常数项各是什么？
7. 化简，并将结果按x的降幂排列：
(1) ；　　　　　　　　
(2) ；
(3) .
8. 找出多项式中的同类项，并合并同类项。
9. 已知与是同类项，求当合并同类项后，单项式的系数是正数时，n的最小值是几？当n取最小值时，合并同类项后的单项式的系数和次数是几？
【巩固】
1. 下列代数式中，不是整式的是（　　）
A． B． C．0 D．
2. 下列整式运算正确的是（　　）
A B．
C． D
3. 一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是（　　）
A．九次多项式 B．五次多项式 C．四次多项式 D．无法确定
4. 下列各对单项式中，是同类项的是（　　）
A． B． C． D．
5. 把多项式重新排列。
(1)按升幂排列； (2)按降幂排列。
6. 按要求将2x2+3x―6：
(1)写成一个单项式与一个二项式的和； (2)写成一个单项式与一个二项式的差。
7. 一个多项式加上后，得，求这个多项式，并求当，y=时，这个多项式的值。
8. 先合并同类项：，再求当p=-1，q=1时的值．
9. 某校为适应电化教学的需要新建阶梯教室，教室的第一排有个座位，后面每一排都比前一排多一个座位，若第n排有m个座位，则、n和m之间的关系为________
【拔高】
1. 扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是_______．
2. 如图，四边形ABCD与ECGF是两个边长分别为的正方形，写出用表示阴影部分面积的代数式，并计算当时，阴影部分的面积．




错题总结
错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业














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