北师大版七年级上册数学第十二讲一元一次方程的实际应用(二)导学案

一元一次方程的实际应用（二）
适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 1. 用一元一次方程解决利润问题的方法和技巧 3. 用一元一次方程解决利息问题的方法和技巧 4. 用一元一次方程解决其他类问题的方法和技巧
学习目标 1. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本思想 2. 进一步经历用方程解决实际问题的过程，体会运用方程解决实际问题的一般方法。
学习重点 运用一元一次方程解决利润、利息及其他实际问题是重点
学习难点 寻找等量关系是难点
学习过程
一、复习预习
清人徐子云《算法大成》中有一首诗：
巍巍古寺在山林，不知寺中几多僧．
三百六十四只碗，众僧刚好都用尽．
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．
请问先生名算者，算来寺内几多僧？
二、知识讲解
1. 列方程解决实际问题的一般步骤：
（1）找出题中的相等关系；
（2）列出方程；
（3）解方程
（4）检验根是否符合方程，检验根是否符合实际；
（5）写出答案
2. 设未知数的方法
（1）设直接未知数，即问什么设什么；
（2）设间接未知数；
（3）设辅助未知数，这时的辅助未知数可不求出.
3. 利润问题
（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等
（2）有关关系式：
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
4. 比赛积分问题
相关公式
总结分=胜场次数×胜一场分数+负场数（或平场次数）×负一场得分数（或平一场得分数）
5. 数字问题
（1）若一个三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则这个三位数表示为

（2）连续整数、奇数、偶数问题，设未知数的方法是：
6. 等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S?h＝
②长方体的体积 V＝长×宽×高＝
7. 年龄问题
一般以年龄差为等量关系列方程
8. 其他类问题
考点/易错点1
（1）利润问题在有时存在打折销售的情况，打折销售即为售价，不是标价，n折即为标价的十分之n为售价.
（2）总利润=某单个商品利润×商品总量
考点/易错点2
在计算比赛积分时要注意
（1）如篮球、排球胜一场得2分，负一场得1分
（2）足球比赛胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分
三、例题精析
【例题1】
【题干】一家商店将某种服装按成本提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本价是多少元．
【答案】解：设这种服装每件的成本价是元，由题意得：
（1+40%）×80%=+15，
解得：=125．
【解析】首先设这种服装每件的成本价是元，根据题意可得等量关系：进价×（1+40%）×8折=进价+利润15元，根据等量关系列出方程即可．
【例题2】
【题干】把5000元钱存入银行，扣利息税20%，一年后得本息和5090元，设年利率是，列方程得_______________．
【答案】解：列方程得5000+5000×（1-20%）=5090．
【解析】本息和常用的等量关系为：本息和=本金+本金×年利率×（1-20%）．
【例题3】
【题干】甲现在的年龄比乙现在的年龄大15岁，5年前甲的年龄是乙现在年龄的两倍，乙现在的年龄是多少？
【答案】解：设乙现在的年龄是x岁，则甲年龄为（x+15）岁，
根据题意得：，
解得：，
则乙现在的年龄是20岁．
【解析】设乙现在的年龄是岁，则甲年龄为（+15）岁，根据5年前甲的年龄是乙现在年龄的两倍列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【例题4】
【题干】某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分．已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了多少道题．
【答案】解：设他选错了道题，
3（50--5）-=103
解得：=8
他选错了8道题．
故答案为：8．
【解析】本题考查一元一次方程的应用，关键设出做错的题目，表示出做对的，以分数做为等量关系列方程求解．
【例题5】
【题干】某校组织初一师生春游，若单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；若单独租用60座客车，可少租一辆，且余15个座位．
①求参加春游的人数；
②已知租用45座和60座的客车日租金分别为250元/辆，300元/辆，问租哪种客车更合算？【答案】（2）①设租用45座客车辆，则租用60座客车（-1）辆．根据题意得：
45x=60（-1）-15，
解得：=5．
∴-1=4．
所以参加春游的人数共有45×5=225（人）．
故参加春游的人数共有225人．
②租用45座的客车，租金为250×5=1250；
租用60座的客车，租金为300×4=1200．
∵1200＜1250，
∴租用60座的客车较为合算．
故租用60座的客车较为合算．
【解析】①可直接设参加春游的人数，根据车辆数列方程即可；若设车辆数，则需根据总人数列方程；②分别计算两种租车方法的价钱，再进行比较即可．
【例题6】
【题干】有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数
【答案】解：设这个三位数的百位数为，则其十位数字为+1，个位数字为2．
则调后的百位数为2，十位数字为+1，个位数字为，由此可得：

解得：；
则十位数为3+1=4，个位数为3×2=6．
所以这个三位数为：346．
答：原数为346．
【解析】设这个三位数的百位数为，则其十位数字为+1，个位数字为2．则这个三位数可表示为，百位数字与个位数字对调后的三位数为
，又对调后所得的新数比原数的2倍少49，由此可得等量关系式：．解此方程求得原数的百位数后，即以能求得这个三位数是多少．
【例题7】
【题干】（2013?黄冈模拟）100个馒头100个和尚吃，大和尚每人吃3个，小和尚3人吃一个，则大和尚有________个，小和尚有_______个．
【答案】解：设小和尚有人，则大和尚有（100-）人，
÷3+（100-）×3=100
解得：=75；
大和尚的人数：100-=100-75=25（人），
答：大和尚有25人，小和尚有75人；
故答案为：25，75．
【解析】根据题意，如果设小和尚有人，则大和尚有（100-）人，再根据大和尚每人吃3个馒头，小和尚3人吃一个馒头，一共吃了100个馒头，即可得出数量关系等式，列方程解答即可．
【例题8】
【题干】岳池县城某居民小区的水、电、气的价格是：水每吨1.55元，电每度0.67元，天然气每立方米1.47元．某居民户在2013年11月份支付款67.54元，其中包括用了5吨水、35度电和一些天然气的费用，还包括交给物业管理4.00元的服务费．问该居民户在2013年11月份用了多少立方米天然气？
【答案】解：设该居民户在2013年11月份用了立方米天然气，
据题意列方程：1.55×5+0.67×35+1.47x+4=67.54
解得：=22．
答：该居民户在2013年11月份用了22立方米天然气．
【解析】等量关系为，5吨水费+35度电费+天然气费用+4=67.54，把相关数值代入即可求解．
【例题9】
【题干】某车间两个生产小组计划生产680个零件，实际两个小组共生产了798个零件，甲组生产的零件数比本组的任务多生产了，乙组生产的零件仅比本组任务多生产，两个小组原来的任务各是多少个？
【答案】解：设甲组原计划生产个，可得方程：

解得：=140．
680-140=540（个）．
答：甲组原计划生产140个，乙组原计划生产540个．
【解析】本题可列方程解答，设甲组原计划生产个，则乙组原计划生产680-个，甲组生产的零件数比本组的任务多生产了，即甲组实际生产的个数是原来的1+，所以甲组实际生产了个，同理可知，乙组实际生产了个，实际两个小组共生产了798个零件，由此可得方程：
【例题10】
【题干】在1点与2点之间，时钟的时针与分针在什么时刻成直角？
【答案】解：根据时针每分钟走0.5度，而分针每分钟就走6度，1点钟时针与分针角度为30度，
设时针在1点分钟时，时针与分针成直角，根据题意得：
（1）当时针在分针的后面则，
6x-30-0.5=90，
解得：=
时钟的时针与分针在1时分时刻成直角；
（2）当分针在时针的后面则
360-6+30+0.5=90，
解得：=
时钟的时针与分针在1时分时刻成直角；
答：时钟的时针与分针在1时分或1时分时刻成直角．
【解析】根据时针每分钟走0.5度，而分针每分钟就走6度，设时针在1点x分钟时，时针与分针成直角，然后分当时针在分针的后面和分针在时针的后面两种情况，分别列出方程，即可求出答案．


四、课堂运用
【基础】
1. 已知三个连续偶数的和是2004，求这三个偶数各是多少？
2. 列方程解应用题：某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制．某班与其他7个队各赛1场后，以不败战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？
3. 鸡兔同笼．共有56个头，160只脚，试问鸡、兔各多少只？
4. 已知：我市出租车收费标准如下：乘车里程不超过五公里的一律收费5元；乘车里程超过5公里的，除了收费5元外超过部分按每公里1.2元计费．
（1）如果有人乘计程车行驶了公里（＞5），那么他应付多少车费？
（2）某乘客准备坐出租车从A市到B市，距离35公里，他身上带了40元钱，够不够车费，说明理由．
（2）根据（1）的表达式，将的值代入即可计算出40元的车费够不够．
5. 小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄．
6. 某商品的进价是100元，标价为150元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可打（　　）
A．8折 B．7折 C．6折 D．9折
7. 芜湖供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8：00～22：00，14小时，谷段为22：00～次日8：00，10小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0.03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．
（1）问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元？
（2）如不使用分时电价结算，5月份小明家将多支付电费多少元？
【巩固】
1. 一个两位数，个位数字与十位数字的和为10，如果将个位数字与十位数字交换位置，得到的新的两位数比原来的两位数大18，求原来的两位数。若设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为________，原来的两位数为_______，新的两位数为_________，所列方程为____________．
2. （2011?安岳县模拟）爸爸今年43岁，女儿今年11岁，几年前女儿年龄是爸爸的20%？
3. 一家商店将某种商品按成本价提高40%后标价，元旦期间，欲打八折销售，以答谢新老顾客对本商厦的光顾，仍可获利24元，这件商品的成本价是多少元？
4. 某学校准备组织教师和学生去旅游，其中教师22名，现有甲、乙两家旅行社，其定价相同，并且都有优惠条件，甲旅行社表示教师免费，学生按八折收费；乙旅行社表示教师和学生一律按七五折收费，经核算后，甲、乙实际收费相同，问共有多少学生参加旅游？
5. A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差别：A公司，年薪20000元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪10000 元，每半年加工龄工资50元．
（1）第二年的年待遇：A公司为________元，B公司为__________元；
（2）若要在两公司工作n年，从经济收入的角度考虑，选择哪家公司有利（不考虑利率等因素的影响）？请通过列式计算说明理由
6. 某商场计划从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
（1）若甲、乙、丙三种型号的电视机的数量比为3：2：5，则该商场共需投资多少元？
（2）若该商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，恰好用去9万元，请你设计一下商场的进货方案．
7. 将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）．

【拔高】
1. （2012?鞍山）同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．某天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有的商品打八折销售，超市B全场购物满100元返30元购物券（不足100不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，若两家都可以选择，在哪一家购买较省钱？为什么？
2. 某公园门票价格规定如下：
购票张数 1-50张 51-100张 100张以上
每张票的价格 20 打九折 打八折
某校七年级一班和二班两个班共104人去公园玩儿，其中一班人数不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1964元，问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果一班单独组织去公园玩儿，如果你是组织者，你将如何购票更省钱？
课程小结
1. 用一元一次方程解实际问题的步骤
2. 解决利润问题的方法和技巧
3. 解决利息问题的方法和技巧
4. 解决其他问题的方法和技巧
课后作业
【基础】
1. 某推销员，卖出全部商品的后，得到400元，卖出全部商品共得到多少元？
2. 甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的年龄的2倍还大3岁，乙的年龄比丙的年龄的2倍小2岁，三个人年龄之和是109岁，求甲、乙、丙的年龄是
3. 商店分别以相同的价格n元卖出两件不同品牌的衬衣，其中一件盈利20%，另一件亏本20%，该商店在这次买卖中（　　）
A．不亏不赚 B．亏了 C．赚了 D．不能确定
4. 工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．问该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
5. 七年级一班学生在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品．下面是李小波和售货员的对话：
李小波：阿姨，你好！
售货员：同学，你好！想买点什么？
李小波：我只有100元钱，想买15支钢笔和15个笔记本．钱够用吗？
售货员：100元钱够用．每支钢笔比每个笔记本贵2元，结帐后还剩10元．
根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价是多少吗？
6. 某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．
（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求=__________．
（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电_______千瓦时，应交电费是_________元．
【巩固】
1. 某商品在进价的基础上加价20%以后的价格为120元，该商品的进价是多少元？（只列方程）
2. （2010?藤县一模）某班举行数学竞赛活动，需要购买圆珠笔、钢笔共22支作为奖品，已知圆珠笔每支5元，钢笔每支6元．若购买圆珠笔、钢笔刚好共用去120元，问圆珠笔、钢笔各买多少支？
3. 某文艺团为“希望工程”募捐组织了一场义演，成人票每张8元，学生票每张5元，共售出1000张票，筹得票款6950元，求成人票与学生票各售出多少张？
4. 甲、乙两种商品单价之和为100元，因季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原单价之和提高了2%，求甲、乙两种商品的单价．
5. 兄弟俩比年龄，哥哥说：“当我是你今年岁数的那一年，你刚5岁．”弟弟说：“当我长到你今年的岁数时，你就17岁了．”哥哥今年___________岁，弟弟今年_________岁．
6. 现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，则能锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
7. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案．
方案一：将蔬菜全部进行精加工．没来得及进行精加工的直接出售
方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没有来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
【拔高】
1.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费见价目表：
（1）若该户居民1月份用水12.5m3，则应收水费多少元；
（2）若某户居民2月份上缴水费40元，则2月份用水为多少立方米？
（3）若该户居民3、4月份共用水15m3（4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3，4?月份各用水多少立方米？
价目表
每月用水量 单价
不超过6立方米 每立方米2?元
超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元
超出10立方米的部分 每立方米8元
注：水费按月结算

错题总结
错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业






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