14.3因式分解 同步练习
一．选择题（共9小题）
1．多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（ ）
A．a+5 B．a﹣5 C．a+25 D．a﹣25
2．若x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
3．化简（﹣2）2018+（﹣2）2019的结果是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣22018 D．22018
4．若多项式x2﹣3（m﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ）
A．6或﹣2 B．﹣2 C．6 D．﹣6或2
5．下列因式分解错误的是（ ）
A．2ax﹣a＝a（2x﹣1）
B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．4ax2﹣a＝a（2x﹣1）2
D．ax2+2ax﹣3a＝a（x﹣1）（x+3）
6．下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1
7．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a+b的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
8．下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（ ）
A．x2﹣2x+2 B．2x2﹣mx+1 C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1
9．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共5小题）
10．如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为 ．
11．分解因式：﹣12x3﹣6x2﹣9x＝﹣3x ．
12．因式分解：b2﹣b4＝ ．
13．已知a，b，c是三角形△ABC的三边，且满足a2﹣b2+bc﹣ac＝0，则△ABC为 三角形．
14．分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝ ．
三．解答题（共4小题）
15．已知，a+b＝5，ab＝6，求a3b+ab3的值．
16．阅读：分解因式x2+2x﹣3
解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x2+2x+1）﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法．此题为用配方法分解因式．
请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：
分解因式：x2﹣y2﹣8x﹣4y+12．
17．下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
18．材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数．
材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）
（1）求出最小的三位“明三礼”数；
（2）一个“明四礼”数与“明五礼”数的和为170，求出这两个数．
14.3因式分解 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（ ）
A．a+5 B．a﹣5 C．a+25 D．a﹣25
解：多项式a2﹣25＝（a+5）（a﹣5）与a2﹣5a＝a（a﹣5）的公因式是：a﹣5．
故选：B．
2．若x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
解：∵x﹣y＝2，xy＝3，
∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）
＝3×2
＝6．
故选：C．
3．化简（﹣2）2018+（﹣2）2019的结果是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣22018 D．22018
解：（﹣2）2018+（﹣2）2019
＝（﹣2）2018×（1﹣2）
＝﹣22018．
故选：C．
4．若多项式x2﹣3（m﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ）
A．6或﹣2 B．﹣2 C．6 D．﹣6或2
解：∵多项式x2﹣3（m﹣2）+36能用完全平方公式分解因式，
∴﹣3（m﹣2）＝±12．
∴m＝6或﹣2，
故选：A．
5．下列因式分解错误的是（ ）
A．2ax﹣a＝a（2x﹣1）
B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．4ax2﹣a＝a（2x﹣1）2
D．ax2+2ax﹣3a＝a（x﹣1）（x+3）
解：A、原式＝a（2x﹣1），不符合题意；
B、原式＝（x﹣1）2，不符合题意；
C、原式＝a（4x2﹣1）＝a（2x+1）（2x﹣1），符合题意；
D、原式＝a（x2+2x﹣3）＝a（x﹣1）（x+3），不符合题意，
故选：C．
6．下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1
解：A、两个平方项异号，可用平方差公式进行因式分解，故A正确；
B、两个平方项同号，不能运用平方差公式进行因式分解，故B错误；
C、可先运用提公因式法，再运用十字相乘法，原式＝a（a2﹣3a+2）＝a（a﹣1）（a﹣2），故C正确；
D、可先分组，再运用公式法，原式＝（a﹣b）2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D正确．
故选：B．
7．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a+b的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
解：x2+ax+b＝（x+1）（x﹣3）
＝x2﹣2x﹣3，
故a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣5，
故选：D．
8．下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（ ）
A．x2﹣2x+2 B．2x2﹣mx+1 C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1
解：选项A，x2﹣2x+2＝0，△＝4﹣4×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即x2﹣2x+2在数范围内不能分解因式；
选项B，2x2﹣mx+1＝0，△＝m2﹣8的值有可能小于0，即2x2﹣mx+1在数范围内不一定能分解因式；
选项C，x2﹣2x+m＝0，△＝4﹣4m的值有可能小于0，即x2﹣2x+m在数范围内不一定能分解因式；
选项D，x2﹣mx﹣1＝0，△＝m2+4＞0，方程有两个不相等的实数根，即x2﹣mx﹣1在数范围内一定能分解因式．
故选：D．
9．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+22]÷2
＝6÷2
＝3
故选：D．
二．填空题（共5小题）
10．如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为 6 ．
解：设3a2+7a﹣k＝B（3a﹣2），
B＝（3a2+7a﹣k）÷（3a﹣2）＝a+3，
∴（3a﹣2）（a+3）＝3a2+7a﹣k，
解得k＝6．
故答案为：6．
11．分解因式：﹣12x3﹣6x2﹣9x＝﹣3x （4x2+2x+3） ．
解：﹣12x3﹣6x2﹣9x＝﹣3x（4x2+2x+3）．
故答案为：（4x2+2x+3）．
12．因式分解：b2﹣b4＝ b2（1+b）（1﹣b） ．
解：原式＝b2（1﹣b2）
＝b2（1+b）（1﹣b）．
故答案为：b2（1+b）（1﹣b）．
13．已知a，b，c是三角形△ABC的三边，且满足a2﹣b2+bc﹣ac＝0，则△ABC为 等腰 三角形．
解：∵a2﹣b2+bc﹣ac＝0，
∴（a2﹣b2）+（bc﹣ac）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）+c（b﹣a）＝0，
∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，
∵a，b，c是三角形△ABC的三边，
∴（a+b）﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
14．分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝ （2x+1）（x﹣2） ．
解：原式＝（2x+1）（x﹣2），
故答案为：（2x+1）（x﹣2）
三．解答题（共4小题）
15．已知，a+b＝5，ab＝6，求a3b+ab3的值．
解：∵a+b＝5，ab＝6，
∴原式＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（25﹣12）＝78．
16．阅读：分解因式x2+2x﹣3
解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x2+2x+1）﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法．此题为用配方法分解因式．
请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：
分解因式：x2﹣y2﹣8x﹣4y+12．
解：x2﹣y2﹣8x﹣4y+12＝（x2﹣8x+16）﹣（y2+4y+4）＝（x﹣4）2﹣（y+2）2＝（x﹣4+y+2）（x﹣y﹣y﹣2）＝（x+y﹣2）（x﹣2y﹣2）．
17．下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 C ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣1）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
解：（1）运用了两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）原式＝[（x﹣1）2]2＝（x﹣1）4，
故答案为：不彻底，（x﹣1）4；
（3）设x2﹣4x＝y，
原式＝y（y+8）+16
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4，
即（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4．
18．材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数．
材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）
（1）求出最小的三位“明三礼”数；
（2）一个“明四礼”数与“明五礼”数的和为170，求出这两个数．
解：（1）由题意可知，“明三礼”数被3除余1，被2除余1，
∴此数被6除余1，
∵最小的三位数能被6除余1的是103，
∴最小的“明三礼”数是103；
（2）由题意可知，“明四礼”数被4除余1，被3除余1，被2除余1，
∴此数被12除余1，
∵“明五礼”数被5除余1，被4除余1，被3除余1，被2除余1，
∴此数被60除余1，
∵“明四礼”数与“明五礼”数的和为170，
∴满足条件的“明五礼”数有61，121，
当“明五礼”数为61时，“明四礼”数为109；
当“明五礼”数为121时，“明四礼”数为49（不符合题意）；
∴这两个数为61和109．
