15.3分式方程 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．下列各式中是分式方程的是（ ）
A． B．x2+1＝y C．+1＝0 D．
2．从﹣3，﹣2，﹣1，﹣，1，3这六个数中，随机抽取一个数，记为a．关于x的方程＝1的解是正数，那么这6个数中所有满足条件的a的值有（ ）个．
A．3 B．2 C．1 D．4
3．分式方程的解是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
4．“绿水青山就是金山银山”，为了加大深圳城市森林覆盖率，市政府决定在2019年3月12日植树节前植树2000棵，在植树400棵后，为了加快任务进程，采用新设备，植树效率比原来提升了25%，结果比原计划提前5天完成所有计划，设原计划每天植树x棵，依题意可列方程（ ）
A．﹣＝5
B．﹣＝5
C．﹣＝5
D．﹣＝5
5．用换元法解方程x2﹣2x+＝8，若设x2﹣2x＝y，则原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．y2+8y﹣7＝0 B．y2﹣8y﹣7＝0 C．y2+8y+7＝0 D．y2﹣8y+7＝0
6．甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（ ）
A．17小时 B．14小时 C．12小时 D．10小时
7．关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．甲、乙两人同时从圆形跑道（圆形跑道的总长小于700m）上一直径两端A，B相向起跑，第一次相遇时离A点100m，第二次相遇时离B点60m，则圆形跑道的总长为（ ）
A．240m B．360m C．480m D．600m
二．填空题（共6小题）
9．当x＝ 时，分式与分式的值相等．
10．某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15km，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是 km/h．
11．关于x的分式方程无解，则m＝ ．
12．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，依题意列方程为 ．
13．关于x的方程有增根，则k的值是 ．
14．一渔船在河中逆流而上，于某桥下遗失救生圈，被水冲走．渔船继续向前行驶了15min发现救生圈遗失，立即返回，在距该桥2km处追到救生圈．由此可知水流速度为 km/h．
三．解答题（共4小题）
15．（1）化简：．
（2）解方程．
16．关于x的方程+3＝．
（1）当k＝3时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值．
17．若数a使关于x的分式方程＝4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，求符合条件的所有整数a的和
18．在我市区某中学美化校园招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合做12天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天，需付工程款2万元．若该工程计划在35天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
15.3分式方程 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列各式中是分式方程的是（ ）
A． B．x2+1＝y C．+1＝0 D．
解：A、不是方程，故本选项错误；
B、方程x2+1＝y的分母中不含未知数x，所以它不是分式方程．故本选项错误；
C、方程 +1＝0的分母中不含未知数x，所以它不是分式方程．故本选项错误；
D、方程的分母中含有未知数，所以它是分式方程．故本选项正确；
故选：D．
2．从﹣3，﹣2，﹣1，﹣，1，3这六个数中，随机抽取一个数，记为a．关于x的方程＝1的解是正数，那么这6个数中所有满足条件的a的值有（ ）个．
A．3 B．2 C．1 D．4
解：由＝1得：2x+a＝x﹣1
∴x＝﹣1﹣a
∵解是正数，且x﹣1为原方程的分母，
∴﹣1﹣a＞0，且﹣1﹣a≠1
∴a＜﹣1，且a≠﹣2
故在﹣3，﹣2，﹣1，﹣，1，3这六个数中，符合题意得数有：﹣3，﹣，
故选：B．
3．分式方程的解是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
解：去分母得：3﹣x+3＝x﹣2，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解，
故选：D．
4．“绿水青山就是金山银山”，为了加大深圳城市森林覆盖率，市政府决定在2019年3月12日植树节前植树2000棵，在植树400棵后，为了加快任务进程，采用新设备，植树效率比原来提升了25%，结果比原计划提前5天完成所有计划，设原计划每天植树x棵，依题意可列方程（ ）
A．﹣＝5
B．﹣＝5
C．﹣＝5
D．﹣＝5
解：由题意可得，
＝5，
故选：D．
5．用换元法解方程x2﹣2x+＝8，若设x2﹣2x＝y，则原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．y2+8y﹣7＝0 B．y2﹣8y﹣7＝0 C．y2+8y+7＝0 D．y2﹣8y+7＝0
解：设x2﹣2x＝y．
∴y+＝8．
∴y2+7＝8y．
∴y2﹣8y+7＝0．
故选：D．
6．甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是（ ）
A．17小时 B．14小时 C．12小时 D．10小时
解：设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是甲的1.5倍，即，
依题意得：+＝1，
整理得：2x﹣12+3（x﹣8）＝2x，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是所列分式方程的解，
即甲打字员原计划完成此项工作的时间是12小时；
故选：C．
7．关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：在方程两边同时乘以（x﹣4）得x+1＝a，
∵方程有增根，即x＝4满足方程x+1＝a，
将x＝4代入得4+1＝a，
∴a＝5
故选：D．
8．甲、乙两人同时从圆形跑道（圆形跑道的总长小于700m）上一直径两端A，B相向起跑，第一次相遇时离A点100m，第二次相遇时离B点60m，则圆形跑道的总长为（ ）
A．240m B．360m C．480m D．600m
解：如图，
设圆形跑道总长为2s，又设甲乙的速度分别为v，v′，再设第一次在C点相遇，根据题意得：
化简得：，
解此方程得S＝0（舍去）或S＝240．
所以2S＝480米．经检验是方程的解；
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．当x＝ 0 时，分式与分式的值相等．
解：根据题意得：＝，
去分母得：x﹣4＝2x﹣4，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解，
故答案为：0
10．某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15km，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是 20 km/h．
解：设骑车学生每小时走x千米，
据题意得：﹣＝，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
答：骑车学生每小时行20千米．
故答案是：20．
11．关于x的分式方程无解，则m＝ 2或4 ．
解：分式方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
mx﹣8＝2（x﹣2）
∴（m﹣2）x＝4
∴①当m﹣2＝0时，方程无解，此时m＝2；
②当m﹣2≠0时，x＝，
由x（x﹣2）＝0，可知当x＝0或x＝2时，原方程有增根，从而无解
∴当m﹣2＝2时，x＝2
∴m＝4时，原分式方程无解．
故答案为：2或4．
12．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间与乙做60个零件所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，依题意列方程为 ＝ ．
解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣60）个零件，
依题意，得：＝．
故答案为：＝．
13．关于x的方程有增根，则k的值是 2 ．
解：∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，
解得x＝3，
方程两边都乘（x﹣3），
得：x﹣1＝2（x﹣3）+k，
当x＝3时，3﹣1＝2（3﹣3）+k，
解得k＝2，
故答案为：2．
14．一渔船在河中逆流而上，于某桥下遗失救生圈，被水冲走．渔船继续向前行驶了15min发现救生圈遗失，立即返回，在距该桥2km处追到救生圈．由此可知水流速度为 4 km/h．
解：设该河水流的速度是每小时x千米，游泳者在静水中每小时游a千米．由题意，得
＝﹣．
解得：x＝4．
经检验，x＝4是原方程的解．
答：这条河的水流速度为4千米/小时．
三．解答题（共4小题）
15．（1）化简：．
（2）解方程．
解：（1）原式＝（﹣）×
＝×
＝×
＝；
（2）去分母得：1﹣3x+6＝x﹣1，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
16．关于x的方程+3＝．
（1）当k＝3时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值．
解：（1）把k＝3代入方程得：+3＝，
去分母得：1+3x﹣6＝x﹣3，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解；
（2）分式方程去分母得：1+3x﹣6＝x﹣k，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入方程得：2﹣k＝1，
解得：k＝1．
17．若数a使关于x的分式方程＝4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，求符合条件的所有整数a的和
解：分式方程+＝4的解为x＝且x≠1，
∵关于x的分式方程+＝4的解为正数，
∴＞0且≠1，
∴a＜6且a≠2．
，
解不等式①得：y＜﹣2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，
∴a≥﹣2．
∴﹣2≤a＜6且a≠2．
∵a为整数，
∴a＝﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，
（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5＝10．
故符合条件的所有整数a的和是10．
18．在我市区某中学美化校园招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合做12天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天，需付工程款2万元．若该工程计划在35天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，
依题意，得：+＝1，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是所列分式方程的解，且符合题意．
答：乙队单独完成这项工程需要45天．
（2）设甲、乙两队全程合作需要y天完成该工程，
依题意，得：+＝1，
解得：y＝18．
甲队单独完成该工程所需费用为3.5×30＝105（万元）；
∵乙队单独完成该工程需要45天，超过35天的工期，
∴不能由乙队单独完成该项工程；
甲、乙两队全程合作完成该工程所需费用为（3.5+2）×18＝99（万元）．
∵105＞99，
∴在不超过计划天数的前提下，由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱．
