2019版 新教材人教版物理 必修一2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系 学案 Word版含解析

2.3　匀变速直线运动的位移与时间的关系
[学科素养与目标要求]　
物理观念：1.知道v－t图像中的“面积”与位移的对应关系.2.理解位移与时间的关系式的意义.3.理解速度与位移的关系式的意义．
科学思维：会推导位移与时间的关系式和速度与位移的关系式，并能利用两公式进行有关的计算．
一、匀变速直线运动的位移
1．利用v－t图像求位移
v－t图像与时间轴所围的梯形面积表示位移，如图1所示，x＝(v0＋v)t.
图1
2．匀变速直线运动位移与时间的关系式x＝v0t＋at2，当初速度为0时，x＝at2.
二、速度与位移的关系
1．公式：v2－v＝2ax
2．推导：由速度时间关系式v＝v0＋at
位移时间关系式x＝v0t＋at2
得v2－v＝2ax.
1．判断下列说法的正误．
(1)在v－t图像中，图线与时间轴所包围的“面积”与物体的位移相等．(　√　)
(2)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动，而v2－v＝2ax适用于任意运动．(　×　)
(3)初速度越大，时间越长，做匀变速直线运动的物体的位移一定越大．(　×　)
(4)因为v2－v＝2ax，v2＝v＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0.(　×　)
2．某质点的位移随时间的变化关系是x＝4t＋4t2 (m)，则质点的初速度是v0＝________ m/s，加速度a＝________ m/s2，2 s内的位移为________ m.
答案　4　8　24
3．汽车沿平直公路从A至B的过程中做匀加速直线运动，A、B间距离为15 m，经过A点的速度为5 m/s.已知加速度为2.5 m/s2，则汽车经过B点时的速度为________ m/s.
答案　10
一、匀变速直线运动的位移
1．位移公式的推导
某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为v，加速度为a.其v－t图像如图2所示．
图2
(1)把匀变速直线运动的v－t图像分成几个小段，如图所示．每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形的面积．故整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和．
(2)把运动过程分为更多的小段，如图3所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．
图3
(3)把整个运动过程分得非常细，很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC，梯形面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．
如图4所示，v－t图线下面梯形的面积
图4
x＝(v0＋v)t①
又因为v＝v0＋at②
由①②式可得
x＝v0t＋at2.
2．对位移时间关系式x＝v0t＋at2的理解
(1)适用条件：位移公式只适用于匀变速直线运动．
(2)矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向．
①匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值．
②若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反．
(3)两种特殊形式
①当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比．
②当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式．
某物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求：
(1)物体在2 s内的位移大小；
(2)物体在第2 s内的位移大小；
(3)物体在第二个2 s内的位移大小．
答案　(1)2 m　(2)1.5 m　(3)6 m
解析　(1)由v0＝0，t1＝2 s得
x1＝at＝2 m.
(2)第1 s末的速度(第2 s初的速度)
v1＝v0＋at2＝1 m/s
故第2 s内的位移大小
x2＝v1t3＋at＝1.5 m.
(3)第2 s末的速度v2＝v0＋at′＝2 m/s，这也是物体在第二个2 s内的初速度．
故物体在第二个2 s内的位移大小
x3＝v2t″＋at″2＝6 m.
针对训练1　一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1秒内的位移为2 m，则下列说法正确的是(　　)
A．物体运动的加速度为2 m/s2
B．物体第2秒内的位移为4 m
C．物体在第3秒内的平均速度为8 m/s
D．物体从静止开始通过32 m的位移需要4 s的时间
答案　D
解析　根据x1＝at得，物体运动的加速度a＝＝4 m/s2，故A错误．物体在第2 s内的位移x2＝at－at＝6 m，故B错误．物体在第3 s内的位移x3＝at－at＝10 m，则第3 s内的平均速度为10 m/s，故C错误．物体从静止开始通过32 m需要时间t＝＝4 s，故D正确．
二、匀变速直线运动速度与位移的关系
导学探究
如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？
答案　由v＝at可得飞机从开始运动到起飞所用时间
t＝.
所以飞机起飞所通过的位移为x＝at2＝.
知识深化
对速度与位移的关系v2－v＝2ax的理解
1．适用范围：仅适用于匀变速直线运动．
2．矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向：
(1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值．
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移．
(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度．
注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性．
3．公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量．
长100 m的列车通过长1 000 m的隧道时做匀加速直线运动，列车刚进隧道时的速度是10 m/s，完全出隧道时的速度是12 m/s，求：
(1)列车过隧道时的加速度的大小；
(2)通过隧道所用的时间．
答案　 (1)0.02 m/s2　(2)100 s
解析　(1)x＝1 000 m＋100 m＝1 100 m，v0＝10 m/s，
v＝12 m/s，由v2－v＝2ax得，
加速度a＝＝0.02 m/s2.
(2)由v＝v0＋at得
所用时间为t＝＝100 s.
针对训练2　(2018·哈师大附中高一期中)假设某列车在某一路段做匀加速直线运动，速度由10 m/s增加到30 m/s时的位移为x，则当速度由30 m/s增加到50 m/s时，它的位移是(　　)
A．x B．1.5x C．2x D．2.5x
答案　C
解析　根据v2－v＝2ax，速度由10 m/s增加到30 m/s时，(30 m/s)2－(10 m/s)2＝2ax；速度由30 m/s增加到50 m/s时，(50 m/s)2－(30 m/s)2＝2ax′.联立解得x′＝2x，选项C正确．
三、刹车问题分析
一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯后便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
答案　(1)30 m　(2)40 m
解析　汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；
汽车运动的总时间t＝＝ s＝4 s.
(1)因为t1＝2 s故x1＝v0t1＋at＝[20×2＋×(－5)×22] m＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车在5 s时早已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝[20×4＋×(－5)×42] m＝40 m
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：
(1)先求出它从刹车到停止的刹车时间t刹＝；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．若t>t刹，不能盲目把时间代入；若t针对训练3　汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机而做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2，则它关闭发动机后通过37.5 m所需时间为(　　)
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
答案　A
解析　根据x＝v0t＋at2，将v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2，x＝37.5 m，代入得：t1＝3 s，t2＝5 s
但因刹车时间t0＝＝4 s，所以t2＝5 s应舍去．故只有选项A正确．
1．(位移公式的应用)飞机起飞的过程可看成是由静止开始在平直跑道上做匀加速直线运动．飞机在跑道上加速到某速度值时离地升空飞行．已知飞机在跑道上加速前进的距离为1 600 m，所用时间为40 s，则飞机的加速度a和离地速度v分别为(　　)
A．2 m/s2　80 m/s B．2 m/s2　40 m/s
C．1 m/s2　40 m/s D．1 m/s2　80 m/s
答案　A
解析　根据x＝at2得a＝＝ m/s2＝2 m/s2，
飞机离地速度为v＝at＝2×40 m/s＝80 m/s.
2．(位移公式的应用)一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为(　　)
A．0.5 m/s2 B．1.0 m/s2
C．1.5 m/s2 D．2.0 m/s2
答案　B
解析　第2 s末的速度v＝v0＋at2，第2 s末的速度是第3 s的初速度，故第3 s内的位移x3＝(v0＋at2)t＋at2，即4.5 m＝(2.0 m/s＋2 s·a)×1 s＋a×(1 s)2，解得a＝1.0 m/s2，故B正确．
3．(速度与位移关系的应用)汽车紧急刹车后，车轮在水平地面上滑动一段距离后停止，在地面上留下的痕迹称为刹车线．由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度．已知汽车刹车做减速运动的加速度大小为8.0 m/s2，测得刹车线长25 m．汽车在刹车前的瞬间的速度大小为(　　)
A．10 m/s B．20 m/s
C．30 m/s D．40 m/s
答案　B
解析　由匀变速直线运动规律v2－v＝2ax得到汽车在刹车前的瞬间的速度大小v0＝＝ m/s＝20 m/s，故A、C、D错误，B正确．
4．(速度与位移关系的应用)如图5所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与在水平面上的加速度a2的大小关系为(　　)
图5
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝a2 D．a1＝4a2
答案　B
解析　设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v2＝2a1x1，
对于匀减速运动阶段，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，故有v2＝2a2x2，
联立两式解得＝＝2，即a1＝2a2.
5．(刹车问题)(2019·豫南九校高一上学期期末联考)汽车在平直公路上以10 m/s的速度做匀速直线运动，发现前面有情况而刹车，获得的加速度大小是2 m/s2，求：
(1)汽车经3 s时速度的大小；
(2)汽车经6 s时速度的大小；
(3)从刹车开始经过8 s，汽车通过的距离．
答案　见解析
解析　设汽车经时间t0速度减为0，有：
t0＝＝ s＝5 s
(1)根据速度－时间公式有：v3＝v0＋at＝4 m/s
(2)经过6 s时速度为：v6＝0
(3)刹车8 s汽车的位移为：
x8＝x5＝v0t0＋at＝25 m.