人教版 八年级上册数学 13.4课题学习(最短路径问题）课件（24张ppt）
文档属性
| 名称 | 人教版 八年级上册数学 13.4课题学习(最短路径问题）课件（24张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 567.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-26 11:56:53 | ||
图片预览
文档简介
(共27张PPT)
13.4课题学习
最短路径问题
人教版八年级上册第十三章轴对称
1 理解轴对称、平移知识解决简单的最短路径问题.（重点）
2 感受由实际问题转化数学问题，建模思想、转化思想。（难点）
教学目标
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
复习回顾
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小
的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A ′
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
一牧人饮马问题
两个定点和直线一动点的数学模型：
问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
实际问题转化
数学问题
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
A
B
l
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB,与直线l相交于一点C.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
C ′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
“饮马问题”的思想，结合初中的基本几何图形，及直角坐标系中的函数图象等利用轴对称思想，将该问题转化为“两点间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题。饮马问题可归结为“求定直线上一动点与直线外两点的距离之和的最小值”问题的数学模型。
总结归纳：
1 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________
练一练：
60°
2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置
A
B
C
D
●
N
解：AB＝AC ，△ABC为等腰三角形， AD平分∠CAB，故点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点M在AD上，故BM=CM.即MB+MN的最小值可转化为求MC+MN的最小值，故连接CN即可，线段CN的长即为MB+MN的最小值.
●
M
3 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
B′
C′
E
A
运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核
心，所有作法都相同.
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
B
A
A
B
N
M
造桥选址问题
思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？
B
A
●
●
?
N
M
N
M
N
M
折
移
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
小组讨论
各抒己见
1.把A平移到岸边.
2.把B平移到岸边.
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
B
A
Ｍ
Ｎ
B
A
Ｍ
Ｎ
A'
B'
1.把A平移到岸边.
AM+MN+BN长度改变了
2.把B平移到岸边.
AM+MN+BN长度改变了
B
A
Ｍ
Ｎ
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN长度有没有改变呢？
问题解决
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
A·
B
M
N
E
C
D
解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
归纳总结
实际问题
转为数学问题
用旧知解决新知
联想旧知
解决实
际问题
l
A
B
C
1 已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.
(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小
(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系
解：画法：
①作点M关于射线OP的对称点M′；
②连接M′N交OP于点A；
③作点N关于射线OQ的对称点N′；
④连接N′M交OQ于点B，
●
M′
●
●
●
●
A
N′
B
课堂练习：
(2)AM＋AN＝BM＋BN.
点A，B即为所求。
课堂小结
最短路径问题
原理：线段公理和垂线段最短
牧马人饮马问题
轴对称知识+线段公理
造桥选址问题
平移知识+线段公理
课外作业：
第93页
第15题
13.4课题学习
最短路径问题
人教版八年级上册第十三章轴对称
1 理解轴对称、平移知识解决简单的最短路径问题.（重点）
2 感受由实际问题转化数学问题，建模思想、转化思想。（难点）
教学目标
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
复习回顾
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小
的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A ′
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
一牧人饮马问题
两个定点和直线一动点的数学模型：
问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
实际问题转化
数学问题
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
A
B
l
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB,与直线l相交于一点C.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
B
l
B ′
C
C ′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
A
B
l
B ′
C
“饮马问题”的思想，结合初中的基本几何图形，及直角坐标系中的函数图象等利用轴对称思想，将该问题转化为“两点间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题。饮马问题可归结为“求定直线上一动点与直线外两点的距离之和的最小值”问题的数学模型。
总结归纳：
1 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________
练一练：
60°
2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置
A
B
C
D
●
N
解：AB＝AC ，△ABC为等腰三角形， AD平分∠CAB，故点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点M在AD上，故BM=CM.即MB+MN的最小值可转化为求MC+MN的最小值，故连接CN即可，线段CN的长即为MB+MN的最小值.
●
M
3 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
B′
C′
E
A
运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核
心，所有作法都相同.
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
B
A
A
B
N
M
造桥选址问题
思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？
B
A
●
●
?
N
M
N
M
N
M
折
移
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
小组讨论
各抒己见
1.把A平移到岸边.
2.把B平移到岸边.
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
B
A
Ｍ
Ｎ
B
A
Ｍ
Ｎ
A'
B'
1.把A平移到岸边.
AM+MN+BN长度改变了
2.把B平移到岸边.
AM+MN+BN长度改变了
B
A
Ｍ
Ｎ
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN长度有没有改变呢？
问题解决
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
A·
B
M
N
E
C
D
解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
归纳总结
实际问题
转为数学问题
用旧知解决新知
联想旧知
解决实
际问题
l
A
B
C
1 已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.
(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小
(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系
解：画法：
①作点M关于射线OP的对称点M′；
②连接M′N交OP于点A；
③作点N关于射线OQ的对称点N′；
④连接N′M交OQ于点B，
●
M′
●
●
●
●
A
N′
B
课堂练习：
(2)AM＋AN＝BM＋BN.
点A，B即为所求。
课堂小结
最短路径问题
原理：线段公理和垂线段最短
牧马人饮马问题
轴对称知识+线段公理
造桥选址问题
平移知识+线段公理
课外作业：
第93页
第15题