沪科版九年级数学上册第22章相似形单元测试卷3含解析

相似形单元测试卷
一、单选题（每题4分共40分)
1．下列各组中的四条线段成比例的是
A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=4，c=6，d=8
2．如图l1∥l2∥l3，若，DF＝10，则DE＝(　　)

A.4 B.6 C.8 D.9
3．如图，在中，点为上一点，连接，若再添加一个条件使与相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（ ）

A． B．
C． D．
4．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似
②顶角对应相等的两个等腰三角形相似
③两条边对应成比例的两个直角三角形相似
其中正确的是( )
A.②③ B.①③ C.①② D.①②③
6．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，有下列结论：① ＝；②＝；③.

其中正确的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）

A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:2
8．如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为1.7m，AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是（　　）

A．5.1m B．6.8m C．8.5m D．9.0m
9．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题5分共20分)
11．若 ，则＝________．
12．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝2 cm，b＝4 cm，那么c＝_____cm．
13．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少_____m处．（结果精确到0.1m）

14．如图，AG：GD4∶1， BD ：DC2∶3，则 AE∶EC的值为_____．


三、解答题（共9题，满分90分)
15．已知，且，求a的值
16．如图，已知E是的中线AD上一点，且.求证：.

17．如图，在中，为的平分线，求证：.

18．在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度.

19．按下列要求在如图格点中作图：

（1）作出△ABC关于原点成中心对称的图形△A'B'C'；
（2）以点B为位似中心，作出△ABC放大2倍的图形△BA″C″．
20．如图，在中，D，E分别是边，上的点，且.

(1)若，，，求的长；
(2)若，且周长为，求的周长.
21．如图，在中， cm， cm，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t.
（1）用含t的代数式表示：________，
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少.

22．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．

23．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，，且DM交AC于F，ME交BC于G

求证：∽；
连接FG，如果，，，求FG的长．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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参考答案
1．C
【解析】试题解析：∵1×4≠3×2，故选项A中的四条线段不成比例，
∵4×10≠6×5，故选项B中的四条线段不成比例，
∵2×6=4×3，故选项C中的四条线段成比例，
∵2×8≠4×6，故选项D中的四条线段不成比例，
故选C．
2．B
【解析】
【分析】
由平行线分线段成比例的性质即可求解.
【详解】
解：由题意得，则DE=，
故选择B.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例.
3．D
【解析】
【分析】
△ACP与△ABC中，已知了公共角∠A，若使两个三角形相似，需添加一组对应角相等，或夹∠A的两组对应边成比例，可据此进行判断．
【详解】
△ACP和△ABC中，∠CAP=∠BAC；
若两个三角形相似，可添加的条件为：
①∠ACP=∠B；故A正确；
②∠APC=∠ACB；故B正确；
③AP：AC=AC：AB；故C正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查的是相似三角形的判定方法：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
4．C
【解析】
试题分析：根据相似线的定义，可知截得的三角形与△ABC有一个公共角.①公共角为∠A时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；②公共角为∠C时，根据相似三角形的判定：当过点P的角等于∠A时，即图中PE∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，根据∠CPB<60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.
解：①公共角为∠A时：当过点P的角等于∠C时，即图中PD∥BC时，△APD∽△ACB；当过点P的角等于∠B时，即图中当PF⊥AB时，△APF∽△ABC；
②公共角为∠C时：当过点P的角等于∠A时，即图中PE∥AB时，△CPE∽△CAB；当过点P的角等于∠B时，∵∠CPB=∠A+∠ABP，∴PB＞PC，PC=PA，∴PB＞PA，∴∠PBA＜∠A，∴∠CPB＜60°，可知此时不成立；③公共角为∠B，不成立.
综上最多有3条.
故选C．

5．C
【解析】
【分析】
利用相似三角形的判定定理即可直接判断．
【详解】
①任意两个等边三角形相似，利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得结论正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似。可得③错误.
故选C.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
6．C
【解析】
【分析】
BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质即可判断．
【详解】
∵BE、CD是△ABC的中线，即D.?E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴,即
DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴

故①正确，②错误，③正确；
故选：C.
【点睛】
考查三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
7．D
【解析】
【分析】
根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
【详解】
解：∵?ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴．
故选：D．
8．C
【解析】
【分析】
因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
【详解】
设旗杆高度为h，
由题意得：，
解得：h=8.5．
故选C．
【点睛】
本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
9．D
【解析】
【分析】
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．
【详解】
∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．
故选D．
【点睛】
此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．
10．D
【解析】
【分析】
①根据四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②根据点E是AD边的中点，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=
BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，可得S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=S△ABF，故④正确．
【详解】
如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，∴＝，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，∴CF＝2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．-1
【解析】
【分析】
根据两内项之积等于两外项之积整理即可得解.
【详解】
,
,
,
.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了比例的性质,主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质,熟记性质是解题的关键.
12．8
【解析】
【分析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【详解】
解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，
所以b2＝ac，即42＝2c，c＝8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了比例中项的定义，一般的，如果三个数a，b，c满足比例式a∶b=b∶c，则b就叫做a，c的比例中项.
13．7.6
【解析】
【分析】
要求至少走多少米，根据黄金比，只需保证走到AB的1-0.618=0.382倍处即可，因为此点为线段AB的一个黄金分割点．
【详解】
根据黄金比得：20×（1-0.618）≈7.6米或20×≈12.4米（舍去），
则主持人应走到离A点至少7.6米处．
故答案为：7.6
【点睛】
本题考查了黄金分割，即较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的
．此题注意要求的是至少走多少，即为黄金分割中的较短线段．
14．8:5
【解析】
【分析】
过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到，则CE=DF，由DF∥AE得到，则AE=4DF，然后计算的值．
【详解】
过点D作DF∥CA交BE于F，如图，

∵DF∥CE，
∴，
而BD：DC=2：3，
∴，则CE=DF，
∵DF∥AE，
∴，
∵AG：GD=4：1，
∴，则AE=4DF，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
15．
【解析】
【分析】
设=k，得出a=6k，b=5k，c=4k，代入得出6k+5k-8k=3，求出k即可．
【详解】
设，
则a=6k，b=5k，c=4k，
∵a+2b-2c=3，
∴6k+10k-8k=3，
8k=3，
，
∴a=.
【点睛】
本题考查了解三元一次方程组，比例的性质的应用，解此题的关键是求出k的值．
16．证明见解析
【解析】
【分析】
根据三角形中线性质得，故，可进一步得.
【详解】
证明：∵AD是的中线，
∴.
∵，
∴，
即，
又∵，
∴.
【点睛】
考核知识点：相似三角形的判定.理解“两边成比例且夹角相等”的判定方法是关键.
17．见解析.
【解析】
【分析】
过点C作，交的延长线于点E，得，，，由平分，则有，得，即可得到结论成立.
【详解】
证明：如图，过点C作，交的延长线于点E.

∵，
∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴，.
∴.
∴.
∴.
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质．解题的关键是正确作出辅助线，熟记性质定理.
18．2.3米
【解析】
【分析】
先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长,再根据此影长列出比例式即可
【详解】
解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM，

∴△ABC∽△QDN，
.
∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，
=1.5（米），
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）.
答：木杆PQ的长度为2.3米.
【点睛】
此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握运算法则
19．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接利用关于原点对称图形的性质即可画出对应图形；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出对应图形．
【详解】
解：（1）如图所示：△A'B'C'，即为所求；
（2）如图所示：△BA″C″，即为所求．

【点睛】
此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
20．（1）的长为；（2）的周长为.
【解析】
【分析】
（1）设AD为x，建立关于的方程，从而通过解方程组来得到的长.
（2）通过比例的性质，可得，而的周长由组成，即可求解.
【详解】
解：（1)设，则.
∵，∴，
解得.
∴的长为.
(2)∵，
∴.
∴
.
∴的周长为.
【点睛】
此题考查比例的性质，解题关键在于设未知数x.
21．（1）2t，（2）运动时间为s或4s
【解析】
【分析】
（1）利用速度公式求解；
（2）由于∠PAQ=∠BAC，利用相似三角形的判定，当时，△APQ∽△ABC，即；当时，△APQ∽△ACB，即，然后分别解方程即可．
【详解】
（1）2t , ;
（2）连接PQ，∵，∴当时，，此时，解得；
∵，∴当时，，此时，解得.
∴运动时间为s或4s.

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,关键是能灵活运用.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.
解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角，
∴△ABE∽△ACD．
∴，即，
又∵∠A是公共角，
∴△AED∽△ABC．
（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，
在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，
∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACB，
∴EF=EC，
∴DE=CE．
23．(1)详见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由∠DME=∠A=∠B=α，易得∠AMF+∠BMG=180°-α，∠AMF+∠AFM=180°-α，即可得∠AFM=∠BMG，然后由有两角对应相等的三角形相似，即可证得△AMF∽△BGM；
（2）由α=45°，可得AC⊥BC且AC=BC，又由△AMF∽△BGM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的长，继而可求得CF与CG的长，然后由勾股定理求得FG的长．
【详解】
证明：，
，
，
，
，
∽；

解：当时，可得且，
为AB的中点，
，
∽，
，
，，
，，
．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
答案第14页，总15页
答案第15页，总15页