北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第14讲 圆周角和圆心角的关系(基础)含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第14讲 圆周角和圆心角的关系(基础)含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 215.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-20 07:23:20 | ||
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文档简介
圆周角和圆心角的关系--知识讲解（基础）
【学习目标】
1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；
2．理解圆周角定理及推论；
3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．
【要点梳理】
要点一、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
要点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义：
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
2.圆内接四边形性质：
圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.
【典型例题】
类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数. 【答案与解析】
. 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )
A．45° B．60° C．30° D．55°
【答案】A.
∵ AB＝BC＝CD＝DA，
∴ ，
∴ ∠BEC＝45°．
类型二、圆周角定理及应用
2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?
【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
【答案与解析】
(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；
(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；
(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．
(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；
(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.
【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．
3.（2019?台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
【答案与解析】 （1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2．
【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．
4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，
证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
【答案与解析】
BD=CD.
理由是：如图，连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB，∴BD=CD.
【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.
举一反三：
【变式】（2019?安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）
A．2 B． 4 C． 4 D． 8
【答案】C.
提示：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=OC=2，
∴CD=2CE=4．
故选：C．
类型三、圆内接四边形及应用
5．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2:3:4，求∠D的度数.
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D的度数.
【答案与解析】
解：∵圆内接四边形的对角互补，
∴ ∠A：∠B：∠C：∠D=2:3:4：3
设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x，
∴2x+3x+4x+3x=360°，
∴x=30°.
∴∠D=90°.
【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用.
举一反三：
【变式】如图，⊙O中，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BOD=110°，则∠BCD的度数是（ ）.
A.110° B.70° C.55° D.125°
【答案】D.
圆周角和圆心角的关系—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，
则∠AEB等于( )．
A．70° B．90° C．110° D．120°
（第1题图） （第2题图）
2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（ ）．
A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1
3．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．
A．64° B．48° C．32° D．76°
4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．
A．37° B．74° C．54° D．64°
（第3题图） （第4题图） （第5题图）
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．
A．69° B．42° C．48° D．38°
6．（2019?酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B． 160° C． 100° D． 80°或100°
二、填空题
7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．
8.（2019?镇江一模）在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：5：6，则∠D= .
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，BD∥OC，则∠B的度数是 .
10．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD＝ .
11．如图，已知⊙O的直径MN＝10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP和⊙O上，
且∠POM＝45°，则AB＝ .
（第11题图） （第12题图）
12．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．
三、解答题
13. 如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．
14．（2019?嵊州市一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．
15．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．
(1)求证：AE=BF；
(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】C；
【解析】因为∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，所以∠D=∠A=50°，∠DBC=40°，
∠ABD=60°-40°=20°，∠ACD=∠ABD=20°，∠AED=∠ACD+∠D=20°+50°=70°，
∠AEB=180°-70°=110°.
2.【答案】D；
【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.
3.【答案】A；
【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.
4.【答案】B；
【解析】 ∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.
5.【答案】A；
【解析】 ∠BAD=∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.
6.【答案】D；
【解析】如图，∵∠AOC=160°，
∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，
∵∠ABC+∠AB′C=180°，
∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．
∴∠ABC的度数是：80°或100°．
故选D．
二、填空题
7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；
8．【答案】80°；
【解析】设每一份是x．则∠A=3x，∠B=5x，∠C=6x．
根据圆内接四边形的对角互补，得
∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
则3x+6x=180°，
解得x=20°．
所以∠D=9x﹣5x=4x=80°．
9．【答案】60°；
10．【答案】；
11．【答案】；
【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中: x2+（2x）2＝52， x＝, 即 AB的长＝.
第11题 第12题
12．【答案】90° ；
【解析】如图，连结AB、BC，则∠CAD + ∠EBD +∠ACE=∠CBD +∠EBD +∠ABE=∠ABC=90°.
三、解答题
13.【答案与解析】
BE=CF．
理由：∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴∠ABE=90°=∠ADC，
又∠AEB=∠ACB，
∴∠BAE=∠CAF，
∴．
∴BE=CF．
14.【答案与解析】
解：（1）∵OA=OD，∠D=70°，
∴∠OAD=∠D=70°，
∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠D=40°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
即OD⊥AC，
∴=，
∴∠CAD=∠AOD=20°；
（2）∵AC=8，OE⊥AC，
∴AE=AC=4，
设OA=x，则OE=OD﹣DE=x﹣2，
∵在Rt△OAE中，OE2+AE2=OA2，
∴（x﹣2）2+42=x2，
解得：x=5，
∴OA=5，
∴AB=2OA=10．
15.【答案与解析】
(1)如图，作OH⊥CD于H，利用梯形中位线易证OF=OE，OA=OB，
所以AF=BE，AF+EF=BE+EF，
即AE=BF．
(2)四边形CDEF的面积是定值.
连结OC，则，
＝54(cm2)．
【学习目标】
1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；
2．理解圆周角定理及推论；
3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．
【要点梳理】
要点一、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
要点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义：
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
2.圆内接四边形性质：
圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.
【典型例题】
类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数. 【答案与解析】
. 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )
A．45° B．60° C．30° D．55°
【答案】A.
∵ AB＝BC＝CD＝DA，
∴ ，
∴ ∠BEC＝45°．
类型二、圆周角定理及应用
2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?
【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
【答案与解析】
(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；
(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；
(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．
(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；
(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.
【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．
3.（2019?台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2．
【答案与解析】 （1）解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2．
【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．
4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，
证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
【答案与解析】
BD=CD.
理由是：如图，连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB，∴BD=CD.
【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.
举一反三：
【变式】（2019?安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）
A．2 B． 4 C． 4 D． 8
【答案】C.
提示：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=OC=2，
∴CD=2CE=4．
故选：C．
类型三、圆内接四边形及应用
5．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2:3:4，求∠D的度数.
【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D的度数.
【答案与解析】
解：∵圆内接四边形的对角互补，
∴ ∠A：∠B：∠C：∠D=2:3:4：3
设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x，
∴2x+3x+4x+3x=360°，
∴x=30°.
∴∠D=90°.
【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用.
举一反三：
【变式】如图，⊙O中，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BOD=110°，则∠BCD的度数是（ ）.
A.110° B.70° C.55° D.125°
【答案】D.
圆周角和圆心角的关系—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，
则∠AEB等于( )．
A．70° B．90° C．110° D．120°
（第1题图） （第2题图）
2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（ ）．
A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1
3．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．
A．64° B．48° C．32° D．76°
4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．
A．37° B．74° C．54° D．64°
（第3题图） （第4题图） （第5题图）
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．
A．69° B．42° C．48° D．38°
6．（2019?酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B． 160° C． 100° D． 80°或100°
二、填空题
7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．
8.（2019?镇江一模）在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：5：6，则∠D= .
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，BD∥OC，则∠B的度数是 .
10．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD＝ .
11．如图，已知⊙O的直径MN＝10，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP和⊙O上，
且∠POM＝45°，则AB＝ .
（第11题图） （第12题图）
12．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．
三、解答题
13. 如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE为⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．
14．（2019?嵊州市一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．
15．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．
(1)求证：AE=BF；
(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】C；
【解析】因为∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，所以∠D=∠A=50°，∠DBC=40°，
∠ABD=60°-40°=20°，∠ACD=∠ABD=20°，∠AED=∠ACD+∠D=20°+50°=70°，
∠AEB=180°-70°=110°.
2.【答案】D；
【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.
3.【答案】A；
【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.
4.【答案】B；
【解析】 ∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.
5.【答案】A；
【解析】 ∠BAD=∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.
6.【答案】D；
【解析】如图，∵∠AOC=160°，
∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，
∵∠ABC+∠AB′C=180°，
∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．
∴∠ABC的度数是：80°或100°．
故选D．
二、填空题
7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；
8．【答案】80°；
【解析】设每一份是x．则∠A=3x，∠B=5x，∠C=6x．
根据圆内接四边形的对角互补，得
∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
则3x+6x=180°，
解得x=20°．
所以∠D=9x﹣5x=4x=80°．
9．【答案】60°；
10．【答案】；
11．【答案】；
【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中: x2+（2x）2＝52， x＝, 即 AB的长＝.
第11题 第12题
12．【答案】90° ；
【解析】如图，连结AB、BC，则∠CAD + ∠EBD +∠ACE=∠CBD +∠EBD +∠ABE=∠ABC=90°.
三、解答题
13.【答案与解析】
BE=CF．
理由：∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴∠ABE=90°=∠ADC，
又∠AEB=∠ACB，
∴∠BAE=∠CAF，
∴．
∴BE=CF．
14.【答案与解析】
解：（1）∵OA=OD，∠D=70°，
∴∠OAD=∠D=70°，
∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠D=40°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
即OD⊥AC，
∴=，
∴∠CAD=∠AOD=20°；
（2）∵AC=8，OE⊥AC，
∴AE=AC=4，
设OA=x，则OE=OD﹣DE=x﹣2，
∵在Rt△OAE中，OE2+AE2=OA2，
∴（x﹣2）2+42=x2，
解得：x=5，
∴OA=5，
∴AB=2OA=10．
15.【答案与解析】
(1)如图，作OH⊥CD于H，利用梯形中位线易证OF=OE，OA=OB，
所以AF=BE，AF+EF=BE+EF，
即AE=BF．
(2)四边形CDEF的面积是定值.
连结OC，则，
＝54(cm2)．