北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第18讲 弧长和扇形的面积

弧长和扇形面积—知识讲解

【学习目标】
1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2. 能准确计算组合图形的面积.
【要点梳理】
要点一、弧长公式　　半径为R的圆中　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：　　(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 要点二、扇形面积公式1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【典型例题】
类型一、弧长和扇形的有关计算
1．如图（1），AB切⊙O于点B，OA=，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧的弧长为（ ）．
A． B． C． D．

图（1）
【答案】A.
【解析】连结OB、OC，如图（2）
则，OB=，，，
由弦BC∥OA得，
所以△OBC为等边三角形，.
则劣弧的弧长为，故选A. 图（2）
【总结升华】主要考查弧长公式：.
举一反三：
【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】R=40mm，n=110　　　　∴的长==≈76.8(mm)　　　　因此，管道的展直长度约为76.8mm．
2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π）

【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB， OM=MC=OC=OA．
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=120°
∴S扇形=．
【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.
举一反三：
【变式】如图（1），在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（　　）．
A． B． C． D．

图（1）
【答案】连结AD，则AD⊥BC，
△ABC的面积是：BC?AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=． 图（2）故选B．
3.（2019?山西模拟）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．
【答案与解析】
解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD，
∵PF⊥AC，
∴∠OPF=30°，
∴OF=OP，
∵OA=OC，AD=BD，
∴BC=2OD，
∴OA=BC=2，
∴⊙O的半径为2，
∴劣弧PC的长===π；
（2）∵OF=OP，
∴OF=1，
∴PF==，
∴S阴影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．
【总结升华】本题考查了垂径定理的应用,弧长公式以及扇形的面积公式等知识，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键．
类型二、组合图形面积的计算
4．（2019?槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．
【答案与解析】
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=．
∵∠CDB=30°，
∴∠COE=60°，
在Rt△OEC中，OC==2，
∵CE=DE，
∠COE=∠DBE=60°
∴Rt△COE≌Rt△DBE，
∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．
【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．
弧长和扇形面积—巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. 已知⊙O的半径OA=6，扇形OAB的面积等于，则弧AB所对的圆周角的度数是（ ）.
A．120° B．90° C．60° D．30°
2．圆心角为120°，弧长为的扇形的半径为（ ）.
A．6 B．9 C．18 D．36
3．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，Rt△ABC中，∠BAC是直角，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为( )．
A．1 B．2 C． D．
5．（2019?新宾县模拟）如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（　　）
　 A．π B． π C． π D．π
6．如图，4个正方形的边长都为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2019?义乌市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则劣弧的长________．
8．如图，某传送带的一个转动轮的半径为40cm，转动轮转90°传送带上的物品A被传送 厘米.

第8题图 第9题图 第11题图
9．如图所示，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为________cm2(结果保留π)．
10．已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为________．(劣弧为弓形的弧)
11．如图所示，把一块∠A＝30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置．若BC的长为15cm，求顶点A从开始到结束所经过的路径长 ．
12．如图所示，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于 ．

三、解答题
13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心， AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB=24．
问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．

14. 圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连接AC、BD．
(1)求证：△AOC≌△BOD；
(2)若OA＝3cm，OC＝1cm，求阴影部分的面积．
15．如图所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙0于点D，已知OA＝OB＝6cm，AB＝cm，求：(1)⊙O的半径；(2)图中阴影部分的面积．
16.（2019?温州模拟）已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，．请求出：
（1）∠AOC的度数；
（2）线段AD的长（结果保留根号）；
（3）求图中阴影部分的面积．
【答案与解析】
一、选择题1. 【答案】C
2. 【答案】C；
【解析】设该扇形的半径是r,根据弧长公式
3.【答案】B；
4. 【答案】A；
【解析】连接AD，．
5.【答案】B；
【解析】因为正五边形ABCDE的内角和是（5﹣2）×180=540°，
则正五边形ABCDE的一个内角==108°；
连接OA、OB、OC，
∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠OAB=∠OCB=108°﹣90°=18°，
∴∠AOC=144°
所以劣弧AC的长度为=π．故选B．
6. 【答案】A；
【解析】由观察知道三个扇形的半径相等，都为1，而且左边上下两个扇形的圆心角和正好等于90°，右上面扇形圆心角的度数为45°，所以阴影部分的面积应为：
二、填空题
7.【答案】π；
【解析】连接OA、OC，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°﹣135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则的长==π．
8．【答案】20π（cm）；
【解析】(cm)．
9．【答案】3π；
【解析】由扇形面积公式得(cm2)．
10．【答案】 ；
【解析】由弓形的弧长等于半径，可得弓形的弧所对的圆心角为60°．
11．【答案】；
【解析】顶点A经过的路径是一段弧，弧所在的扇形的圆心角是120°，半径AC=2BC=30cm, .
12．【答案】 ；
【解析】 连接AC，知AC＝AB＝BC，
∴ ∠BAC＝60°，
∴ 弧．
三、解答题
13.【答案与解析】
将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，过O作OC⊥AB于C点，则AC=BC=12，∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC为小圆的半径，∴S阴影部分=S大半圆-S小半圆=π?OB2-π?OC2=π（OB2-OC2）=πAC2=72π．故答案为72π．
14.【答案与解析】
(1)证明：同圆中的半径相等，即OA＝OB，OC＝OD．
再由∠AOB＝∠COD＝90°，得∠1＝∠2，
所以△AOC≌△BOD．
(2)解：．
15.【答案与解析】
(1)如图所示，连接OC，则OC⊥AB，
∴ OA＝OB，
∴ AC＝BC＝．
在Rt△AOC中，
．
∴ ⊙O的半径为3 cm．
(2)∵ OC＝3cmOB，∠B＝30°，∠COD＝60°．
∴ 扇形OCD的面积为．
∴ 阴影部分的面积为 ．
16. 【答案与解析】
解：（1）∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°；
（2）∵∠AOC=60°，AO=CO，
∴△AOC是等边三角形；
∵OH=，
∴AO=4；
∵AD与⊙O相切，
∴AD=；
（3）∵S扇形OAC==π，S△AOD=×4×4=8；
∴．