北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第19讲《圆》全章复习与巩固(基础)含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第19讲《圆》全章复习与巩固(基础)含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 558.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-20 10:15:20 | ||
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文档简介
《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）
【学习目标】
1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 要点诠释：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法 当时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. (1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. (3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算 1．圆中有关计算 圆的面积公式：，周长. 圆心角为、半径为R的弧长. 圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【典型例题】
类型一、圆的有关概念及性质
1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为 ．
【答案】；
【解析】由已知得BC∥x轴，则BC中垂线为 那么，△ABC外接圆圆心在直线x=1上， 设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r得到：PA2=PB2 即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2 化简得 4+a2-6a+9=9+a2+4a+4 解得 a=0 即△ABC外接圆圆心为P(1,0) 则
【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心P（设△ABC的外心为P）必在直线x=1上；由图知：BC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P（1，0）；连接PA、PB，由勾股定理即可求得⊙P的半径长．
类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，
求CD的长．
【思路点拨】
作OF⊥CD于F，构造Rt△OEF，求半径和OF的长；连接OD，构造Rt△OFD，求CD的长．
【答案与解析】
作OF⊥CD于F，连接OD．∵ AE＝1，EB＝5，∴ AB＝6．
∵ ，∴ OE＝OA-AE＝3-1＝2．
在Rt△OEF中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°，
∴ ，∴ ．
在Rt△DFO中，OF＝，OD＝OA＝3，
∴ (cm)．
∵ OF⊥CD，∴ DF＝CF，∴ CD＝2DF＝cm．
【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．
举一反三：
【变式】如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝ ．
【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M、N分别为AB、AC的中点（垂径定理），则MN是△ABC的中位线，BC=2MN=6.
3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．
【答案】65°.
【解析】连结OD，则∠DOB = 40°，
设圆交y轴负半轴于E，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°.
【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求.
举一反三：
【变式】（2019?黑龙江）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
【答案】C.
【解析】作OD⊥AB，如图，
∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，
∴OD=1，
∴∠OAB=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∵∠E+∠F=180°，
∴∠F=120°，
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．
类型三、与圆有关的位置关系
4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.
【答案与解析】
直线CE与⊙O相切
理由：连接OE
∵OE=OA
∴∠OEA=∠OAE
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB
∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC
又∠DCE=∠ACB
∴∠DEC+∠DAC=90°
∵OE=OA
∴∠OEA=∠DAC
∴∠DEC+∠OEA=90°
∴∠OEC=90°
∴OE⊥EC
∴直线CE与⊙O相切.
【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．
举一反三：
【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y). (1)求与直线相切时点P的坐标. (2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.
【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为. 当点在直线右侧时，，得， (5，7.5). 当点在直线左侧时，，得， (，). 当与直线相切时，
点的坐标为(5，7.5)或(，). (2)当时，与直线相交. 当或时，与直线相离.
类型四、圆中有关的计算
5．（2019?丽水）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
【答案与解析】
（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．
（2）解：连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，
∴S阴影=4π﹣8．
【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．
类型五、圆与其他知识的综合运用
6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．
【思路点拨】
求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求的长．
【答案与解析】
连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于点F，如图(2)．
由垂径定理，可知E是AB中点，F是的中点，
∴ ，EF＝2．
设半径为R米，则OE＝(R-2)m．
在Rt△AOE中，由勾股定理，得．
解得R＝4．
∴ OE＝2，，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．
∴ 的长为(m)．
∴ 帆布的面积为(m2)．
【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，
这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．
举一反三：
【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面. ①请你补全这个输水管道的圆形截面图； ②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.
【答案】①作法略.如图所示.
②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C， ∵ OC⊥AB， ∴ . 由题意可知，CD=4cm. 设半径为x cm，则. 在Rt△BOD中，由勾股定理得： ∴. ∴ . 即这个圆形截面的半径为10cm.
《圆》全章复习与巩固—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题 1.对于下列命题：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中，正确的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2019?海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．30° C．75° D．60°
3．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为( ). A.米 B.米 C.米 D.米
4. 在直角坐标平面中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与圆M的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
5．如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为( )．
A．12 B．10 C．4 D．15
6．如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为( )．
A．(2，-1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)
7．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于( )．
A．55° B．90° C．110° D．120°
8.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
二、填空题
9.如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= ．
10.如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上任意两点，设∠BAC=y，∠BOD=x，则y与x之间的函数关系式是 __________ ．
11．如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.
12．如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.
13．点M到⊙O上的最小距离为2cm，最大距离为10 cm，那么⊙O的半径为___ _____．
14．已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且，则AC的长
为_____ ___．
15．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，
∠ADE＝65°，则∠BOC＝___ _____．
16．（2019?酒泉）如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
17．如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆 于点，交于点
使．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论；
18．在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。
19． 如图，点P在y轴上，交x轴于A、B两点，连结BP并延长交于C，过点C的直线交轴于，且的半径为，. (1)求点的坐标； (2)求证：是的切线；
20.（2019?德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】B；
【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个．①③正确，②④错误，故选B．
2.【答案】D；
【解析】作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，
∴OD=OC=OA，
∴∠OAD=30°，
而OA=OB，
∴∠CBA=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°．
故选D．
3.【答案】B；
【解析】以实物或现实为背景，以与圆相关的位置关系或数量关系为考查目标.这样的考题，
背景公平、现实、有趣，所用知识基本，有较高的效度与信度.
4.【答案】C；
【解析】∵M（2，0），P（﹣2，3），∴MP==5，∵圆M的半径为4，
∴点P在圆外.
5.【答案】B；
【解析】圆周角是直角时，它所对的弦是直径．直径EF．
6.【答案】C；
【解析】横坐标相等的点的连线，平行于y轴；纵坐标相等的点的连线，平行于x轴．结合图形可以发现，由点(2，5)和(2，-3)、(-2，1)和(6，1)构成的弦都是圆的直径，其交点即为圆心(2，1)．
7．【答案】C；
【解析】能够由切线性质、等腰三角形性质找出数量关系式．由AC切O于A，则∠OAB＝35°，
所以∠AOB＝180°-2×35°＝110°．
8.【答案】A；
【解析】设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴=36°，解得n=10．
二、填空题
9.【答案】2；
10.【答案】y=90°﹣x．
【解析】∵∠BAC=y，∴∠BOC=2∠BAC=2y，∵∠BOD=x，∠BOC+∠BOD=180°，∴2y+x=180°，
∴y=90°﹣x.
11．【答案】147°； 【解析】因为DB是⊙O的切线，所以OA⊥DB，由∠AOM=66°， 得∠OAM=，∠DAM=90°+57°=147°.
12．【答案】∠6，∠2，∠5. 【解析】本题中由弦AB=CD可知，因为同弧或等弧所对的圆周角相等，
故有∠1 =∠6=∠2=∠5.
13.【答案】4 cm或6 cm ；
【解析】当点M在⊙O外部时，⊙O半径4(cm)；
当点M在⊙O内部时，⊙O半径．
点与圆的位置关系不确定，分点M在 ⊙O外部、内部两种情况讨论．
14.【答案】 或；
【解析】根据题意有两种情况：
①当C点在A、O之间时，如图(1)．
由勾股定理OC＝，故．
②当C点在B、O之间时，如图(2)．由勾股定理知，
故．
没有给定图形的问题，在画图时，一定要考虑到各种情况．
15．【答案】100°；
【解析】∠ADE＝∠ACB＝65°，∴ ∠BAC＝180°-65°×2＝50°，∠BOC＝2∠BAC＝100°．
在前面的学习中，我们用到了圆内接四边形的性质(对角互补，外角等于内对角)，
在解一些客观性题目时，可以使用．
16．【答案】π；
【解析】∵AB=BC，CD=DE，
∴=，=，
∴+=+，
∴∠BOD=90°，
∴S阴影=S扇形OBD==π．
故答案是：π．
三、解答题
17.【答案与解析】
AC与⊙O相切． 证明：∵弧BD是∠BED与∠BAD所对的弧， ∴∠BAD=∠BED， ∵OC⊥AD， ∴∠AOC+∠BAD=90°， ∴∠BED+∠AOC=90°， 即∠C+∠AOC=90°， ∴∠OAC=90°， ∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切.
18.【答案与解析】
一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形.
如图，HG为⊙O的直径，且HG⊥AB，AB＝16cm，HG＝20cm
故所求弓形的高为4cm或16cm
19.【答案与解析】 (1)连结. . ， ，. 是的直径， . ，， ， ，，.
(2)过点 . 当时，， . ，， ， . ， ， 是的切线.
20.【答案与解析】
（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB?PE，S△ABC=AB?CF，
∴S四边形APBC=AB?（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S四边形APBC=×2×=．
【学习目标】
1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质 (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
3．与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系
1．判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 要点诠释：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法 当时，在⊙O 上. 3．直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. (1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. (3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1．三角形的内心、外心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.
2．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算 1．圆中有关计算 圆的面积公式：，周长. 圆心角为、半径为R的弧长. 圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：.
【典型例题】
类型一、圆的有关概念及性质
1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为 ．
【答案】；
【解析】由已知得BC∥x轴，则BC中垂线为 那么，△ABC外接圆圆心在直线x=1上， 设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r得到：PA2=PB2 即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2 化简得 4+a2-6a+9=9+a2+4a+4 解得 a=0 即△ABC外接圆圆心为P(1,0) 则
【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心P（设△ABC的外心为P）必在直线x=1上；由图知：BC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P（1，0）；连接PA、PB，由勾股定理即可求得⊙P的半径长．
类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，
求CD的长．
【思路点拨】
作OF⊥CD于F，构造Rt△OEF，求半径和OF的长；连接OD，构造Rt△OFD，求CD的长．
【答案与解析】
作OF⊥CD于F，连接OD．∵ AE＝1，EB＝5，∴ AB＝6．
∵ ，∴ OE＝OA-AE＝3-1＝2．
在Rt△OEF中，∵ ∠DEB＝60°，∴ ∠EOF＝30°，
∴ ，∴ ．
在Rt△DFO中，OF＝，OD＝OA＝3，
∴ (cm)．
∵ OF⊥CD，∴ DF＝CF，∴ CD＝2DF＝cm．
【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．
举一反三：
【变式】如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝ ．
【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M、N分别为AB、AC的中点（垂径定理），则MN是△ABC的中位线，BC=2MN=6.
3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．
【答案】65°.
【解析】连结OD，则∠DOB = 40°，
设圆交y轴负半轴于E，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°.
【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求.
举一反三：
【变式】（2019?黑龙江）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°
【答案】C.
【解析】作OD⊥AB，如图，
∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，
∴OD=1，
∴∠OAB=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AEB=∠AOB=60°，
∵∠E+∠F=180°，
∴∠F=120°，
即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．
类型三、与圆有关的位置关系
4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.
【答案与解析】
直线CE与⊙O相切
理由：连接OE
∵OE=OA
∴∠OEA=∠OAE
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB
∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC
又∠DCE=∠ACB
∴∠DEC+∠DAC=90°
∵OE=OA
∴∠OEA=∠DAC
∴∠DEC+∠OEA=90°
∴∠OEC=90°
∴OE⊥EC
∴直线CE与⊙O相切.
【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．
举一反三：
【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y). (1)求与直线相切时点P的坐标. (2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.
【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为. 当点在直线右侧时，，得， (5，7.5). 当点在直线左侧时，，得， (，). 当与直线相切时，
点的坐标为(5，7.5)或(，). (2)当时，与直线相交. 当或时，与直线相离.
类型四、圆中有关的计算
5．（2019?丽水）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
【答案与解析】
（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．
（2）解：连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，
∴S阴影=4π﹣8．
【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．
类型五、圆与其他知识的综合运用
6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．
【思路点拨】
求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求的长．
【答案与解析】
连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交于点F，如图(2)．
由垂径定理，可知E是AB中点，F是的中点，
∴ ，EF＝2．
设半径为R米，则OE＝(R-2)m．
在Rt△AOE中，由勾股定理，得．
解得R＝4．
∴ OE＝2，，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°．
∴ 的长为(m)．
∴ 帆布的面积为(m2)．
【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，
这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．
举一反三：
【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面. ①请你补全这个输水管道的圆形截面图； ②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.
【答案】①作法略.如图所示.
②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C， ∵ OC⊥AB， ∴ . 由题意可知，CD=4cm. 设半径为x cm，则. 在Rt△BOD中，由勾股定理得： ∴. ∴ . 即这个圆形截面的半径为10cm.
《圆》全章复习与巩固—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题 1.对于下列命题：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中，正确的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2019?海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．30° C．75° D．60°
3．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为( ). A.米 B.米 C.米 D.米
4. 在直角坐标平面中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与圆M的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
5．如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为( )．
A．12 B．10 C．4 D．15
6．如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为( )．
A．(2，-1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)
7．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于( )．
A．55° B．90° C．110° D．120°
8.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
二、填空题
9.如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= ．
10.如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上任意两点，设∠BAC=y，∠BOD=x，则y与x之间的函数关系式是 __________ ．
11．如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.
12．如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有________________.
13．点M到⊙O上的最小距离为2cm，最大距离为10 cm，那么⊙O的半径为___ _____．
14．已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊥AB交半圆于点D，且，则AC的长
为_____ ___．
15．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，
∠ADE＝65°，则∠BOC＝___ _____．
16．（2019?酒泉）如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
17．如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆 于点，交于点
使．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论；
18．在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。
19． 如图，点P在y轴上，交x轴于A、B两点，连结BP并延长交于C，过点C的直线交轴于，且的半径为，. (1)求点的坐标； (2)求证：是的切线；
20.（2019?德州）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】B；
【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个．①③正确，②④错误，故选B．
2.【答案】D；
【解析】作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，
∴OD=OC=OA，
∴∠OAD=30°，
而OA=OB，
∴∠CBA=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°．
故选D．
3.【答案】B；
【解析】以实物或现实为背景，以与圆相关的位置关系或数量关系为考查目标.这样的考题，
背景公平、现实、有趣，所用知识基本，有较高的效度与信度.
4.【答案】C；
【解析】∵M（2，0），P（﹣2，3），∴MP==5，∵圆M的半径为4，
∴点P在圆外.
5.【答案】B；
【解析】圆周角是直角时，它所对的弦是直径．直径EF．
6.【答案】C；
【解析】横坐标相等的点的连线，平行于y轴；纵坐标相等的点的连线，平行于x轴．结合图形可以发现，由点(2，5)和(2，-3)、(-2，1)和(6，1)构成的弦都是圆的直径，其交点即为圆心(2，1)．
7．【答案】C；
【解析】能够由切线性质、等腰三角形性质找出数量关系式．由AC切O于A，则∠OAB＝35°，
所以∠AOB＝180°-2×35°＝110°．
8.【答案】A；
【解析】设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴=36°，解得n=10．
二、填空题
9.【答案】2；
10.【答案】y=90°﹣x．
【解析】∵∠BAC=y，∴∠BOC=2∠BAC=2y，∵∠BOD=x，∠BOC+∠BOD=180°，∴2y+x=180°，
∴y=90°﹣x.
11．【答案】147°； 【解析】因为DB是⊙O的切线，所以OA⊥DB，由∠AOM=66°， 得∠OAM=，∠DAM=90°+57°=147°.
12．【答案】∠6，∠2，∠5. 【解析】本题中由弦AB=CD可知，因为同弧或等弧所对的圆周角相等，
故有∠1 =∠6=∠2=∠5.
13.【答案】4 cm或6 cm ；
【解析】当点M在⊙O外部时，⊙O半径4(cm)；
当点M在⊙O内部时，⊙O半径．
点与圆的位置关系不确定，分点M在 ⊙O外部、内部两种情况讨论．
14.【答案】 或；
【解析】根据题意有两种情况：
①当C点在A、O之间时，如图(1)．
由勾股定理OC＝，故．
②当C点在B、O之间时，如图(2)．由勾股定理知，
故．
没有给定图形的问题，在画图时，一定要考虑到各种情况．
15．【答案】100°；
【解析】∠ADE＝∠ACB＝65°，∴ ∠BAC＝180°-65°×2＝50°，∠BOC＝2∠BAC＝100°．
在前面的学习中，我们用到了圆内接四边形的性质(对角互补，外角等于内对角)，
在解一些客观性题目时，可以使用．
16．【答案】π；
【解析】∵AB=BC，CD=DE，
∴=，=，
∴+=+，
∴∠BOD=90°，
∴S阴影=S扇形OBD==π．
故答案是：π．
三、解答题
17.【答案与解析】
AC与⊙O相切． 证明：∵弧BD是∠BED与∠BAD所对的弧， ∴∠BAD=∠BED， ∵OC⊥AD， ∴∠AOC+∠BAD=90°， ∴∠BED+∠AOC=90°， 即∠C+∠AOC=90°， ∴∠OAC=90°， ∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切.
18.【答案与解析】
一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形.
如图，HG为⊙O的直径，且HG⊥AB，AB＝16cm，HG＝20cm
故所求弓形的高为4cm或16cm
19.【答案与解析】 (1)连结. . ， ，. 是的直径， . ，， ， ，，.
(2)过点 . 当时，， . ，， ， . ， ， 是的切线.
20.【答案与解析】
（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=AB?PE，S△ABC=AB?CF，
∴S四边形APBC=AB?（PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=，
∴S四边形APBC=×2×=．