项目 内容
课标要求 本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。能推导乘法公式：了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。
核心素养 本节课需要达成的素养有：数学抽象、数学运算。具体表现在：观察由多项式乘法得到的结果，前面两个因式和结果分别具有什么特点，抽象为一般形式，得到平方差公式，把握公式的结构特征。会用公式计算。
整合理念 将代数与几何相结合，从两方面推导平方差公式，为后面的因式分解做好铺垫。
教材分析 《平方差公式》是青岛版七年级下册第12章《乘法公式与因式分解》第1节的内容。平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。
学情分析 学生的知识技能基础：在七年级上册，学生已经学过有理数的运算、用字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算的知识基础和基本方法。第11章学过幂的运算、整式乘法 等知识，为本节课的学生的活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，养成了一定的符号感和推理能力。同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力。学习奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法。
学习目标 1、会推导平方差公式，了解公式的几何背景，会说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算。 2、经历探索平方差的过程，发展符号意识，体会“特殊---一般---特殊”的认识规律。
重点难点 平方差公式的推导和应用。
突破措施 通过几何图形的拼接探索出平方差公式，同时用多项式乘法法则进行证明，了解它的几何和代数意义。引领学生明确：要用平方差公式，关键是找出公式中的a和b，在套用公式的时候注意整体思想的应用，不要漏掉某一个数字或字母。
学习方法 自主--合作—探究--生成平方差公式
学习过程 学习活动设计 学生活动 设计意图
创设情景 小游戏：游戏规则：写出你最喜欢的一个个位数；计算100与这个数的和乘以100与这个数的差的积。只要你告诉我你写的个位数，我就知道你的计算结果。 学生选择一个个位数，并用学过的知识计算乘积。 根据学生的心理特点，利用小游戏激发学生的学习兴趣和求知欲望。
解读目标 本节课主要是借助几何图形和多项式乘法法则，探索平方差公式，说出公式的结构特征，会识别a和b，并能用公式简化计算过程。 学生认真倾听，对本节课的内容的重点、核心问题做好心中有数，结合学习目标展开探究学习。 通过解读学习目标首先使学生对本节的核心内容有系统的认识，在课堂上有的放矢，对与核心内容有关的核心素养有基本的了解。
探究新知，尝试发现 问题1：时代中学计划将一个边长为a米的正方形花坛，经改造长增加了3米、宽减少了3米。你会计算改造后的花坛面积吗？面积比原来有了怎样的变化？如果把原来正方形的长增加2米、宽减少2米呢？如果把原来正方形的长增加1米、宽减少1米呢？问题2：（1）观察上面三个乘式中的因式有什么特征？ （2）它们的乘积又有什么特征？ （3）能不能用字母表示出你的发现？ 问题3：你能验证刚才的结论吗？你能用几何方法验证这个公式吗？ 图1中阴影的面积为 ___________ 图2中阴影的面积为____________ 从而得出 ： ____________= _____________ 问题4，你能用自己的语言描述一下刚才验证了的平方差公式吗？你能发现公式的结构特征吗？ 学生利用学过的多项式的乘法完成问题1。 学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出： 学生用多项式乘法验证以上的猜想，再以几何的方式，通过图像拼接前后的面积关系来验证上面的结论。 学生用自己的语言描述平方差公式。鼓励学生认真观察、比较，小组内充分交流，互相讨论。 通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式 根据“最近发展区”理论，在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理。 培养学生“观察、比较、猜想、验证”的科学学习方法。利用图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题． 促进新知识的内化，鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力．让学生把自己的想法说出来，在学生表述的基础之上进行点拨和拔高，从而让学生内化、应用。通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．
内化新知，加深理解 找到每个乘法算式中的“a”和“b”. 下列各式可否用平方差公式计算。 利用平方差公式填空。 学生根据平方差结构特征，回答各题。第2题先自己独做，然后小组交流，如果不能运用公式，要说出为什么不能用。第3题由学生抢答。 在认清公式的结构特征的基础上，在特殊的乘法算式中找出”a””b”，使学生在公式的运用中内化新知，起到对公式加深理解的效果．第2题为下面利用平方差公式计算打好基础；第3题通过一组变式进一步加深对公式的理解。
应用新知，巩固提高 例：(3x+2y)(3x-2y) 例1．首先判断能否运用平方差公式计算，能用平方差公式计算的请算出结果。 例2 现在请同学们把刚才小游戏中的算式能不能用今天学过的知识再算一下，你现在知道其中的道理了吗？ 学生找出乘式中哪一项相当于公式中的a,哪一项相当于公式中的b,并注意观察老师板书，注意书写步骤和括号。 学生独立完成，小组内互相批改，做错的同学标注出错题目，由每组组长讲解正确做法。小组内讨论做这类题目的步骤是什么，有什么需要注意的地方。 学生用平方差的知识再计算小游戏中的算式。 找到a和b后，及时应用公式可以巩固公式，并提高学生对公式的理解。同时通过老师的板书养成了规范书写习惯。 解决操作层面问题．可提议用不同方法计算，以体现学生的创造 性． 使学生解开刚上课时的疑惑，同时对能用平方差公式计算的两个数的乘积加深了理解。
课堂总结 本节课学习哪些知识？ 让学生自己谈一谈本节课的收获，再和小组内的同学互相交流。 使学生对本节课的知识有系统全面的认识。
当堂达标 1．选择题： （1）下列各式中,能用平方差公式运算的是( ??? ) （2）下列多项式相乘,用平方差公式计算正确的是( ) 2．化简计算(1) (2)(3)(4) 学生独做，注意做题步骤和需要注意的地方。 进一步巩固本节课所学内容，进一步理解平方差公式的结构特征，培养学生整体意识和符号意识，其中（3）题式多项式的混合运算，既复习了前面内容，又巩固了本节课所学。
布置作业 必做：112页1,2 选作：112页5 学生课下选择合适自己的作业完成。 分层作业体现了作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足学生多样化的需求。
单县经济开发区实验中学 数学 导学案
课型 新授 上课时间 主备人 刘效龙 审核人 初二备课组
12.1 平方差公式
一、明标：
1、会推导平方差公式，了解公式的几何背景，会说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算。
2、经历探索平方差的过程，发展符号意识，体会“特殊---一般---特殊”的认识规律。
二、自主学习、合作探究
1.创设情境：
时代中学计划将一个边长为a米的正方形花坛，经改造长增加了3米、宽减少了3米。你会计算改造后的花坛面积吗？面积比原来有了怎样的变化？
改造成长为（a+2）米、宽为（a-2）米的长方形花坛。你会计算改造后的花坛面积吗？
如果改造成长为（a+1）米、宽为（a-1）米的长方形花坛呢？
根据上题的回答完成下面各问题：
（1）观察上面两个乘式的因式有什么特征？
（2）它们的乘积又有什么特征？
（3）能不能用字母表示出你的发现？_________________________
问题2：
（1）你能用我们学过的多项式乘法法则来验证刚才的猜想吗？
（2）你能结合图形验证出刚才的猜想吗？
图1 图2
图1中阴影的面积为 图2中阴影的面积为____________
从而得出 ： = _____________
问题3 ：你能用文字语言表示所发现的规律吗？
_____________________________________________________
问题4：你能自己说说平方差公式的结构特征吗？
公式左边_____________________________________________
公式右边_____________________________________________
三、例题解析
例1．首先判断能否运用平方差公式计算，能用平方差公式计算的请算出结果。
(1)(2);
(3)
例2
四、 课堂小结
这节课我学会了
有哪些疑惑
五、当堂达标
1．选择题：
（1）下列各式中,能用平方差公式运算的是( ??? )
? A ? ? B.
? C.? D.(-1.2m+n)(1.2m-n)
（2）下列多项式相乘,用平方差公式计算正确的是( )
A.????? B.
C.?? D.
2．化简计算
(1)
(2)
(3)
(4)
六、作业布置：
必做：112页1,2
选作：112页5
课题：平方差公式 课堂设计
现在请同学们把刚才小游戏中的算式能不能用
今天学过的知识再算一下，你现在知道其中的道理了吗？
(共19张PPT)
小游戏
游戏规则：
1.写出你最喜欢的个位数；
2.计算100与这个数的和乘以100与这个数的差的积。
3.只要你告诉我你写的个位数，我就知道你的计算结果。
1、会推导平方差公式，了解公式的几何背景，会说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算。
2、经历探索平方差的过程，发展符号意识，体会“特殊---一般---特殊”的认知规律。
7
时代中学计划将一个边长为a米的正方形花坛，经改造长增加了3米、宽减少了3米。你会计算改造后的花坛面积吗？面积比原来有了怎样的变化？
(a+3)(a-3)
(a+1)(a-1)
=a2-9
=a2-1
如果把原来正方形的长增加2米、宽减少2米呢？
如果把原来正方形的长增加1米、宽减少1米呢？
(a+2)(a-2)
=a2-4
(a+2)(a-2)
(a+1)(a-1)
（1）观察上面三个乘式中的因式有什么特征？
（2）它们的乘积又有什么特征？
（3）能不能用字母表示出你的发现？ _________________________
(a+b)(a-b)=a2-b2
=a2-4
=a2-1
(a+3)(a-3)
=a2-9
(a+b)(a-b)
（多项式乘法法则）
（合并同类项）
你能验证刚才的结论吗？
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)(a-b)
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的乘积，
等于这两个数的平方差。
你能自己说说平方差公式的结构特征吗？
4
注意：公式中的 a和b 可以代表数，也可以是代数式．
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
1.找一找、填一填
a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(a-b)(a+b)
(6) (3y ? x)(? x ? 3y）
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(1) ( 2x-3)(-2x+3)
(2) (2+3a2)(3a2-2)
(3)
(4) (-5-2x)(2x+5)
(5) (?2x+y)(y?2x).
2.下面各算式能否用平方差公式计算，为什么？
b2-a2
a2-b2
a2-b2
b2-a2
公式的应用
例、用平方差公式计算
解：原式
解：
解：
解：
原式=
原式=
原式=
1.首先认清a和b。
注意事项：
2.当“a或b”是一分数或是数与字母的
乘积时,要用括号把这个数整个括起来，
再平方。
能力养成
游戏规则：
1.写出你最喜欢的个位数；
2.计算100与这个数的和乘以100与这个数的差的积。
3.只要你告诉我你写的个位数，我就知道你的计算结果。
现在请同学们把刚才小游戏中的算式能不能用
今天学过的知识再算一下，你现在知道其中的道理了吗？
课堂小结
1、平方差公式是特殊的多项式乘法，会说出公式的结构特征.
2、应用平方差公式时要注意一些什么？
1．选择题：
（1）下列各式中,能用平方差公式运算的是( ??? )
? A ? ? B.
? C.? D.(-1.2m+n)(1.2m-n)
（2）下列多项式相乘,用平方差公式计算正确的是( )
A.????? B.
C.?? D.
当堂达标
A
D
2.计算：
(1) (2)
解：原式
解：原式
(3)
解：原式
(4)解：原式
必做：课本112页1，2
选做：课本112页5
THANKS !
