北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第6讲 二次函数y=a（x-h)^2＋ k(a≠0)的图像与性质(提高)含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第6讲 二次函数y=a（x-h)^2＋ k(a≠0)的图像与性质(提高)含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 229.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-20 14:54:30 | ||
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文档简介
二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；
2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；
3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．
【要点梳理】
要点一、函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.函数的图象与性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
要点诠释：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
要点二、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
要点诠释：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
【典型例题】
类型一、二次函数图象及性质
1. 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．
(1)求出a、h、k的值；
(2)在同一坐标系中，画出与的图象；
(3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；
(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?
【答案与解析】
(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度，
再向右平移1个单位长度得到的抛物线是，
∴ ，，．
(2)函数与的图象如图所示．
(3)观察的图象知，当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．
(4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2．
【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．
举一反三：
【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），
当x≥1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大.
2. 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D；
【解析】函数 的图象如图：
，
根据图象知道当y=3时，对应成立的x恰好有三个，
∴k=3．
故选D．
【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
类型二、二次函数性质的综合应用
3.（2019秋?滨海县期末）已知：二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出该抛物线与x轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y＜0．
【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x+3，
∴y=（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为：直线x=2，
∴顶点（2，﹣1）；
（2）令y=0，
则，x2﹣4x+3=0，
∴（x﹣1）（x﹣3）=0，
∴x1=1，x2=3，
∴与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
（3）当1＜x＜3时，y＜0．
【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．
举一反三：
【变式】（2019秋?岑溪市期末）已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8．
（1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；
（2）x取何值时，y随x增大而增大？
【答案与解析】
解：（1）抛物线y=2（x﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；
故答案为（1，﹣8），直线x=1；
（2）当x＞1时，y随x增大而增大．
4. 如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足什么条件时，有?
【答案与解析】
(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得，
∴ ．由待定系数法可求出，，
∴ ．
(2)∵ 抛物线的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知．
∴ ．
(3)根据图象知或时，有．
【总结升华】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．
二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题 1. 不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都( )
A.在y=x直线上 B.在直线y=－x上 C.在x轴上 D.在y轴上
2．二次函数的最小值是( )．
A．-2 B．2 C．-l D．1
3．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )．
A． B． C． D．，
第3题 第5题
4．（2019?牡丹江）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ）．
A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7）
5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是( )．
A． B． C． D．
6．若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．=l B．>l C．≥l D．≤l
二、填空题
7．（2019?巴中模拟）抛物线y=x2+2x+7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 ．
8．若点A（３，－４)在函数的图象上，则_ _.这个抛物线的对称轴是 ；
点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是 ．
9．如果把抛物线向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线，则求的值为 ；的值为 .
10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x取何值，函数值y恒为正数．则此二次函数为______ __．
11．若二次函数中的x取值为2≤x≤5，则该函数的最大值为 ；最小值为 ．
12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_____.
三、解答题
13．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
14.（2019秋?湘西州期末）已知二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B、C．
（1）求B、C两点的坐标．
（2）求△ABC的面积．
15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】B；
【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点为（-m,m）,所以顶点在直线y=－x上.
2.【答案】B；
【解析】当时，二次函数有最小值为2．
3.【答案】B；
【解析】由两抛物线对称轴相同可知，且由图象知，，．
4.【答案】B；
【解析】抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），
所以平移后抛物线解析式为y=x2+3，
所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．
故选：B．
5.【答案】C；
【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小．
6.【答案】C；
【解析】画出草图进行分析得出结论.
二、填空题
7．【答案】上，x=﹣1，（﹣1，6）．
【解析】∵y=x2+2x+7，
而a=1＞0，
∴开口方向向上，
∵y=y=x2+2x+7=（x2+2x+1）+6=（x+1）2+6，
∴对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）．
8．【答案】５或１； 直线x=5或直线x=1； 或（－１，－４）；
【解析】因为点A（３，－４)在函数的图象上，所以把点A（３，－４)代入
函数得或；对称轴是直线x=5或直线x=1；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是或（－１，－４）.
9．【答案】 ，；
【解析】抛物线向上平移－３个单位得到，再向右平移３个单位长度得到，即与相同，故，.
10．【答案】 等；
【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即，所以或等均可．
11．【答案】50；5.
【解析】由于函数的顶点坐标为(1，2)，，
当时，y随x的增大而增大，
当x＝5时，函数在2≤x≤5范围内的最大值为50；
当x＝2时，函数的最小值为．
12．【答案】；
【解析】把代入y=x2+x+b2得，，
，代入即可求得.
三、解答题
13.【答案与解析】
∵ 抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴ A(2，0)，B(0，12)，
∴ S△AOB=12，△AOB的周长为14十．
14.【答案与解析】
解：由二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，得
m﹣1=0．
解得m=1．
函数解析式为y=﹣x2+1，
当y=0时，﹣x2+1=0．
解得x1=﹣1，x2=1，
即B（﹣1，0），C（1，0）；
（2）当x=0时，y=1，即A（0，1），
S△ABC=×2×1=1．
15.【答案与解析】
（1）连接ME，设MN交BE交于P，
根据题意得MB=ME，MN⊥BE．
过N作NF⊥AB于F，在Rt△MBP和Rt△MNF中，∠MBP+∠BMN=90°，
∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF，又AB=FN，Rt△EBA≌Rt△MNF，MF=AE=x．
在Rt△AME中，由勾股定理得
ME2=AE2+AM2，
所以MB2=x2+AM2，即（2-AM）2=x2+AM2，解得AM=1-x2．
所以四边形ADNM的面积
S=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-x2）+x=-x2+x+2．
即所求关系式为S=-x2+x+2．
（2）S=-x2+x+2=-（x2-2x+1）+=-（x-1）2+．
当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，此时最大值是．
【学习目标】
1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；
2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；
3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．
【要点梳理】
要点一、函数与函数的图象与性质
1.函数的图象与性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.函数的图象与性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
x=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
x=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
要点诠释：
二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
要点二、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
要点诠释：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
【典型例题】
类型一、二次函数图象及性质
1. 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．
(1)求出a、h、k的值；
(2)在同一坐标系中，画出与的图象；
(3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；
(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?
【答案与解析】
(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度，
再向右平移1个单位长度得到的抛物线是，
∴ ，，．
(2)函数与的图象如图所示．
(3)观察的图象知，当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．
(4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2．
【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．
举一反三：
【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．
【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），
当x≥1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大.
2. 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D；
【解析】函数 的图象如图：
，
根据图象知道当y=3时，对应成立的x恰好有三个，
∴k=3．
故选D．
【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
类型二、二次函数性质的综合应用
3.（2019秋?滨海县期末）已知：二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出该抛物线与x轴的交点坐标；
（3）当x取何值时，y＜0．
【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x+3，
∴y=（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为：直线x=2，
∴顶点（2，﹣1）；
（2）令y=0，
则，x2﹣4x+3=0，
∴（x﹣1）（x﹣3）=0，
∴x1=1，x2=3，
∴与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
（3）当1＜x＜3时，y＜0．
【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．
举一反三：
【变式】（2019秋?岑溪市期末）已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8．
（1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；
（2）x取何值时，y随x增大而增大？
【答案与解析】
解：（1）抛物线y=2（x﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；
故答案为（1，﹣8），直线x=1；
（2）当x＞1时，y随x增大而增大．
4. 如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足什么条件时，有?
【答案与解析】
(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得，
∴ ．由待定系数法可求出，，
∴ ．
(2)∵ 抛物线的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知．
∴ ．
(3)根据图象知或时，有．
【总结升华】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．
二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题 1. 不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都( )
A.在y=x直线上 B.在直线y=－x上 C.在x轴上 D.在y轴上
2．二次函数的最小值是( )．
A．-2 B．2 C．-l D．1
3．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )．
A． B． C． D．，
第3题 第5题
4．（2019?牡丹江）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ）．
A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7）
5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是( )．
A． B． C． D．
6．若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．=l B．>l C．≥l D．≤l
二、填空题
7．（2019?巴中模拟）抛物线y=x2+2x+7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 ．
8．若点A（３，－４)在函数的图象上，则_ _.这个抛物线的对称轴是 ；
点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是 ．
9．如果把抛物线向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线，则求的值为 ；的值为 .
10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x取何值，函数值y恒为正数．则此二次函数为______ __．
11．若二次函数中的x取值为2≤x≤5，则该函数的最大值为 ；最小值为 ．
12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_____.
三、解答题
13．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．
14.（2019秋?湘西州期末）已知二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B、C．
（1）求B、C两点的坐标．
（2）求△ABC的面积．
15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】B；
【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点为（-m,m）,所以顶点在直线y=－x上.
2.【答案】B；
【解析】当时，二次函数有最小值为2．
3.【答案】B；
【解析】由两抛物线对称轴相同可知，且由图象知，，．
4.【答案】B；
【解析】抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），
所以平移后抛物线解析式为y=x2+3，
所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．
故选：B．
5.【答案】C；
【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小．
6.【答案】C；
【解析】画出草图进行分析得出结论.
二、填空题
7．【答案】上，x=﹣1，（﹣1，6）．
【解析】∵y=x2+2x+7，
而a=1＞0，
∴开口方向向上，
∵y=y=x2+2x+7=（x2+2x+1）+6=（x+1）2+6，
∴对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）．
8．【答案】５或１； 直线x=5或直线x=1； 或（－１，－４）；
【解析】因为点A（３，－４)在函数的图象上，所以把点A（３，－４)代入
函数得或；对称轴是直线x=5或直线x=1；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是或（－１，－４）.
9．【答案】 ，；
【解析】抛物线向上平移－３个单位得到，再向右平移３个单位长度得到，即与相同，故，.
10．【答案】 等；
【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即，所以或等均可．
11．【答案】50；5.
【解析】由于函数的顶点坐标为(1，2)，，
当时，y随x的增大而增大，
当x＝5时，函数在2≤x≤5范围内的最大值为50；
当x＝2时，函数的最小值为．
12．【答案】；
【解析】把代入y=x2+x+b2得，，
，代入即可求得.
三、解答题
13.【答案与解析】
∵ 抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴ A(2，0)，B(0，12)，
∴ S△AOB=12，△AOB的周长为14十．
14.【答案与解析】
解：由二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，得
m﹣1=0．
解得m=1．
函数解析式为y=﹣x2+1，
当y=0时，﹣x2+1=0．
解得x1=﹣1，x2=1，
即B（﹣1，0），C（1，0）；
（2）当x=0时，y=1，即A（0，1），
S△ABC=×2×1=1．
15.【答案与解析】
（1）连接ME，设MN交BE交于P，
根据题意得MB=ME，MN⊥BE．
过N作NF⊥AB于F，在Rt△MBP和Rt△MNF中，∠MBP+∠BMN=90°，
∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF，又AB=FN，Rt△EBA≌Rt△MNF，MF=AE=x．
在Rt△AME中，由勾股定理得
ME2=AE2+AM2，
所以MB2=x2+AM2，即（2-AM）2=x2+AM2，解得AM=1-x2．
所以四边形ADNM的面积
S=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-x2）+x=-x2+x+2．
即所求关系式为S=-x2+x+2．
（2）S=-x2+x+2=-（x2-2x+1）+=-（x-1）2+．
当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，此时最大值是．